PanaMaths Juillet 2013
Déterminer :
( )
3
2
arccos 1
t t
dt
− t
∫
Analyse
Un exercice où, cela va de soi, il peut être très utile de connaître la dérivée de la fonction arccos ! Pour autant, on ne se précipitera pas nécessairement : le facteur « t3 » du numérateur requiert un peu d’attention …
Résolution
Du fait de la racine au dénominateur, on doit avoir 1− >t2 0 c'est-à-dire t∈ − +
]
1; 1[
. Il n’y a alors aucun problème au numérateur puisque la fonction arccos requiert t∈ − +[
1 ; 1]
.On travaille donc sur un intervalle I⊂ − +
]
1 ; 1[
.Rappelons que la dérivée, sur un tel intervalle, de la fonction arccos est la fonction
2
1 1 t
t
− − 6 .
On peut essayer d’en tirer immédiatement parti. Il vaut cependant mieux essayer de se débarrasser du facteur « t3 » du dénominateur :
(
2)
3
2
2 2 2
1 1
1 1 1
t t t
t t
t t
t t t
− −
= − = − − +
− − −
Il vient alors : 3
( )
2( ) ( )
2 2
arccos
1 arccos arccos
1 1
t t t
dt t t t dt t dt
t t
= − − +
− −
∫ ∫ ∫
.Æ Détermination de 2 arccos
( )
1
t t dt
−t
∫
Soit u t: 6arccos
( )
t de classeC
1 sur l’intervalle I et de dérivée2
1 1 t
t
− −
6 sur cet
intervalle.
PanaMaths Juillet 2013
(
2)
12' : 2 1
1
v t t t t
t
= − −
6 − continue sur I et admettant pour primitive
(
2)
12 2: 1 1
v t6− −t = − −t .
Une intégration par parties nous donne alors :
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
2
2
1
arccos 1 arccos 1 1
1 1
1 arccos 1 arccos
t t dt t t t dt
t t
t t dt
t t t C
⎛ ⎞
= − − − ⎜− ⎟ − −
− ⎝ − ⎠
= − − −
= − − − +
∫ ∫
∫
où C1 est une constante réelle quelconque.
Æ Détermination de
∫
t 1−t2arccos( )
t dtSoit u t: 6arccos
( )
t de classeC
1 sur l’intervalle I et de dérivée2
1 1 t
t
− −
6 sur cet
intervalle.
( )
12 2 2
' : 1 1
v t 6t − =t t −t continue sur I et admettant pour primitive
(
2)
32 2(
2)
1 1
: 1 1 1
3 3
v t6− −t = − −t −t .
Une intégration par parties nous donne alors :
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2
2
2 2 2
2 2 3
2
2 2 3
2
1 1 1
1 arccos 1 1 arccos 1 1
3 3 1
1 1
1 1 arccos 1
3 3
1 1 1
1 1 arccos
3 3 3
1 1
1 1 arccos 3
3 9
t t t dt t t t t t dt
t
t t t t dt
t t t t t C
t t t t t C
⎛ ⎞
⎛ ⎞
− = − − − − ⎜⎝− − − ⎟⎠⎜⎝− − ⎟⎠
= − − − − −
⎛ ⎞
= − − − − ⎜⎝ − ⎟⎠+
= − − − − − +
∫ ∫
∫
PanaMaths Juillet 2013
Finalement :
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
3
2
2 2
2 2 3 2
2 1
3 2 2
arccos
1 arccos arccos
1 1
1 1
1 1 arccos 3 1 arccos
3 9
1 1
6 2 1 arccos
9 3
t t t
dt t t t dt t dt
t t
t t t t t C t t t C
t t t t t C
= − − +
− −
= − − + − + − − − +
= − + − + − +
∫ ∫ ∫
où C est une constante réelle quelconque.
Résultat final
( ) ( ) ( ) ( )
3
3 2 2
2
arccos 1 1
6 2 1 arccos
9 3
1
t t
dt t t t t t C
t
= − + − + − +
∫
−où C est une constante réelle quelconque.
