PanaMaths Janvier 2012

PanaMaths Janvier 2012

Calculer :

( )

^{2 1}

0 2

1

4 1

n n

n

x n

+∞ +

=

−

∑ −

Analyse

On commence par déterminer le rayon de convergence de la série. Ensuite, une décomposition en éléments simples de la fraction ₂1

4n −1 permet de se ramener à deux calculs plus simples.

Résolution

Comme :

( )

^{2 1}

( ) ( )

²

2 2

1 1

4 1 4 1

n n

nx n x

n x n

+ −

− =

− − , on s’intéresse au rayon de convergence de la série entière

( )

2

1

4 1

n n

y n

−

∑

− ^{. Comme lim}

₍

^{4 2}

₎

^{21 1}

4 1 1

n

n

→+∞ n

− =

+ − , on peut conclure, grâce à la règle de D’Alembert que la série entière

( )

2

1

4 1

n n

y n

−

∑

− admet 1 pour rayon de convergence. Il en va donc de même pour les séries entières

( ) ( )

²

2

1

4 1

n n

x n

−

∑

− ^et

^{( )}

2 ^{2 1}

1

4 1

n n

x n

− +

∑

− ^. Pour x=1, on a :

( )

^{2 1}

( )

2 2

1 1

4 1 4 1

n n n

x

n n

− + −

− = − . Comme ₂1 1₂

4n −1^+∞∼ 4n et comme la série 1₂

∑

4n ^est une série de Riemann convergente, la série numérique

( )

2

1

4 1

n

n

−

∑

− est absolument convergente et donc convergente.

Pour x= −1, on a :

( )

^{2 1}

( ) ( )

^{2 1}

( )

¹

2 2 2

1 1 1 1

4 1 4 1 4 1

n n n n n

x

n n n

+ +

− + − − −

= =

− − − et, en raisonnant comme dans le cas

précédent, la série numérique

( )

¹

2

1

4 1

n

n

− +

∑

− est absolument convergente et donc convergente.

En définitive, la série

( )

^{2 1}

2

1

4 1

n n

x n

− +

∑

− converge pour tout réel x de l’intervalle

[

^{−1 ; 1}

]

^.

PanaMaths Janvier 2012

On a facilement :

( )( )

2

1 1 1 1 1

4n 1 2n 1 2n 1 2 2n 1 2n 1

⎛ ⎞

= = ⎜ − ⎟

− + − ⎝ − + ⎠

On peut alors écrire, les séries entières

( )

^{1 2 1}

2 1

n n

x n

− +

∑

− ^et

∑ ^{( )}

⁻¹_2nⁿ₊^x₁²ⁿ⁺¹ étant également convergentes sur l’intervalle

[

^{−1 ; 1}

]

^{(pour x= −1 ou x=1}, conclure à l’aide du critère spécial des séries alternées) :

( )

^{2 1}

( )

^{2 1}

( )

^{2 1}

2

0 0 0

1 1 1 1 1

4 1 2 2 1 2 2 1

n n n n n n

n n n

x x x

n n n

+ + +

+∞ +∞ +∞

= = =

− − −

= −

− − +

∑ ∑ ∑

Posons alors, pour tout x réel de l’intervalle

[

^{−1 ; 1}

]

^:

( ) ( )

^{2 1}

0

1

2 1

n n

n

g x x

n

+∞ +

=

= −

∑

− ^et

^{( ) ( )}

^{2 1}

0

1

2 1

n n

n

h x x

n

+∞ +

=

= −

∑

+ On a :

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 1

0

2 1 3

2

2 1

3 2

2

1 2 1

3 2

1

1

2 1

1

2 1

1

2 1

1

2 1

n n

n

n n

n

n n

n

n n

n

g x x

n x x x

n x x x x

n x x x x

n

+∞ +

=

+∞ +

= +∞ −

=

+ +

+∞

=

= −

−

= − − + −

−

= − − + −

−

= − − + −

+

∑

∑

∑

∑

Pour tout x réel de l’intervalle

]

^{−1 ; 1}

[

, en dérivant termes à termes la série entière

( )

^{1 2 1}

2 1

n n

x n

− +

∑

+ , on obtient la série entière

∑ ( )

^{−1 n+1x2n. On a :}

( )

^{1 2}

( )

²

( )

²

( )

²

( )

^{2 2}

1 1 1 0

1 1

1 1 1 1 1

1 1

n n

n n n n

n n n n

x x x x

x x

+∞ +∞ +∞ +∞

+

= = = =

− = − − = − − = − − = − = −

− − +

∑ ∑ ∑ ∑

Or, les primitives sur l’intervalle

]

^{−1 ; 1}

[

de la fonction 1 ₂ 1 1

x − x

+ sont les fonctions de la forme x x−arctanx C+ où C est une constante réelle.

PanaMaths Janvier 2012

Comme

( )

^{1 2 1}

1

1 0

2 1

n n

n

x n

+ +

+∞

=

− =

∑

+ ^{pour x=0}, il vient C=0 et, finalement :

( ) ( )

^{2 1 3 2}

( )

^{1 2 1 3 2}

( )

²

0 1

1 1

arctan arctan

2 1 2 1

n n n n

n n

x x

g x x x x x x x x x x x x

n n

+ + +

+∞ +∞

= =

− −

= = − − + = − − + − = − −

− +

∑ ∑

En raisonnant de façon similaire, on obtient :

( ) ( )

^{2 1}

0

1 arctan

2 1

n n

n

h x x x

n

+∞ +

=

= − =

∑

+

Finalement, pour tout x réel de l’intervalle

]

^{−1 ; 1}

[

^{, on a :}

( )

2 ^{2 1}

(

²

) (

²

)

0

1 1 1

arctan arctan 1 arctan

4 1 2 2

n n

n

x x x x x x x x

n

+∞ +

=

− − = − − − = − ⎡⎣ + + ⎤⎦

∑

Résultat final

] [ ( )

2 ^{2 1}

(

²

)

0

1 1

1 ; 1 , 1 arctan

4 1 2

n n

n

x x x x x

n

+∞ +

=

− ⎡ ⎤

∀ ∈ −

∑

− = − ⎣ + + ⎦

On a donc :

]

^{1 ; 1 ,}

[

¹

(

^{2 1 arctan}

)

^{3 5 7 ...}

2 3 15 35

x x x

x ⎡x x x⎤ x

∀ ∈ − − ⎣ + + ⎦= − − + − +