n n = 0Qab, avec a et b N0.Nous avons alors : f n = baf d'où : (f n)b = f a.

RÈGLES DE CALCUL DES DÉRIVÉES (suite)

1. RÈGLE 7 : DÉRIVÉE D'UNE PUISSANCE D'UNE FONCTION DÉRIVABLE 1.1 Cas où l'exposant de la puissance est un entier positif

n N₀ : f ⁿ = f . f . ... . f

produit de n facteurs

Appliquons la règle de dérivation d'un produit : (fⁿ)' = f ' . f . f . ... . f + f . f ' . … . f + ... + f . f . ... . f '

Nous obtenons ainsi une somme de n termes égaux à f ' . f ^{n 1}. D'où : (fⁿ)' = n . f ' . f ^{n 1}

Exemples : (x²)' = 2 . x' . x = 2x (x⁵)' = 5 . x' . x⁴ = 5x⁴

[(3x 2)³]' = 3 (3x 2)' (3x 2)²

= 3 . 3 . (3x 2)²

= 9 (3x 2)²

TAC 1

Calculez les dérivées suivantes : 1) (x⁴ 2x³ + 5 x² x + 1)' 2) [(x² + 1)²]'

3) [(2x 3)³ (3x + 1)²]'

1.2 Cas où l'exposant est un rationnel positif

n Q₀ n = a

b, avec a et b N0. Nous avons alors : f ⁿ = ^{b a}f

d'où : (f ⁿ)^b = f ^a.

Nous allons dériver les deux membres de cette égalité, en appliquant la formule obtenue au point 1.1 :

n b n

n n b 1 a

n a 1

n b 1

n a 1 nb n

f f

b . f f a . f . f

a f

f . f .

b f

f a . f . f b

1

En tenant compte que a

b = n, nous avons : (fⁿ)' = n . f ' . f ^{n 1} Exemple :

1 2

1 2

3x 5 3x 5

1 . (3x 5) . 3x 5 2

1 . 3 . 1

2 3x 5

3 2 3x 5

TAC 2

Calculez les dérivées suivantes :

1) ^{3 2} '

(2x 3) 2) ² '

x 3x 5 3) '

x . x

1.3 Cas où l'exposant est un rationnel négatif n Q₀ n = m, m Q₀.

Nous avons alors : (f ⁿ)' = (f ^m)' = _m 1 ' f

= (f )'_{m 2}^m

(dérivée de l'inverse d'une fonction) (f )

= m . f '. f_2m ^{m 1} f

= m . f ' . f ^{m 1} = n . f ' . f ^{n 1}

1.4 Conclusion

Nous pouvons donc écrire que n Q₀ : (fⁿ)' = n . f ' . f ^{n 1}

TAC 3

Calculez les dérivées suivantes : 1)

1 ' x 1

2) 3 2

1 '

x x 1

2. EXERCICES RÉSOLUS

Dans ces exercices, nous combinerons les règles de dérivation rencontrées jusqu'à présent.

Exercice 1

[(2x 1) (x² 6x + 3)]' = (2x 1)' (x² 6x + 3) + (2x 1) (x² 6x + 3)' (1)

= 2 (x² 6x + 3) + (2x 1) (2x 6) (2)

= 2x² 12x + 6 + 4x² 14x +6

= 6x² 26x + 12

(1) : application de la règle R.4 (dérivée du produit de deux fonctions dérivables) (2) : (2x 1)' = (2x)' + ( 1)' R.2 (x² 6x + 3)' = (x²)' + ( 6x)' + (3)' R.2

(2x)' = 2 . x' R.3 (x²)' = 2 . x' . x¹ = 2 . x R.7, R.1

x' = 1 R.1 ( 6x)' = 6 . x' = 6 R.3, R.1

3' = 0 R.1

Exercice 2

3 2

2

1 2

2

' '

2 x 3 2 x 2 x (1)

3 x ' 2 x (2

'

3 x 2 x (3)

)

1 2 2

2

3 . . x '. x1 . 2 x (4) 2

1 1

3 . . 1 . . 2 x (5)

2 x

3 2 x 2

2 x

(1) R.7 (2) R.2, R.1

(3) écriture de la racine de x sous forme d'une puissance de x (4) R.7

(5) R.1 et écriture de la puissance de x sous forme de l'inverse de la racine de x Exercice 3

2 2

2

2

' (x 3)' 2x 1 (x 3) 2x 1 '

x 3

2x 1 2x 1

(1)

Nous avons : (x² 3)' = (x²)' = 2x

1 2

1 2

' '

et 2x 1 2x 1

1(2x 1)' 2x 1 2

1 . 2 . 1

2 2x 1

1 2x 1

En remplaçant dans l'égalité (1), nous obtenons :

2 2

2

2

2 2

2x . 2x 1 (x 3) . 1

x 3 ' 2x 1

2x 1 2x 1

2x(2x 1) (x 3) 2x 1 2x 1

4x 2x x 3

(2x 1) 2x 1 3x2 2x 3 (2x 1) 2x 1

TAC 4

Calculez les dérivées des fonctions suivantes : 1) f : x ₂x³ 1

x x 2

2) f : x x 1 2x 3

3) f : x ⁴ 3x² x 1³

4) f : x 1 x 1 x

DEVOIR À ENVOYER

Calculez les dérivées des fonctions suivantes : 1. f : x x . (2x 1)

2. f : x x²₂ 3x 2

x 2x 3

3. f : x

2

x

x 1

4. f : x

4 2 3

1

x 3

5. f : x 1 3x x 3

CORRIGÉ DES TAC

TAC 1

1) (x⁴ 2x³ + 5 x² x + 1)' = (x⁴)' – 2 (x³)' + 5 (x²)' x' + 1'

= 4x³ 2 . 3x² + 5 . 2x 1 + 0

=4x³ 6x² + 10x 1

2) [(x² + 1)²]' = 2 . (x² + 1)' . (x² + 1) = 2 . (x²)' . (x² + 1) = 2 . 2x . (x² + 1) = 4x (x² + 1)

3) [(2x 3)³ (3x + 1)²]'

= [(2x 3)³]' (3x + 1)² + (2x 3)³ [(3x + 1)²]'

= 3 (2x 3)' (2x 3)² (3x + 1)² + (2x 3)³ . 2 . (3x + 1)' (3x + 1) = 3 . 2 . (2x 3)² (3x + 1)² + (2x 3)³ . 2 . 3 . (3x + 1)

= 6 (2x 3)² (3x + 1) (3x + 1 + 2x 3) = 6 (2x 3)² (3x + 1) (5x 2)

TAC 2

2 2

3 3

2 1 3 1 3

' '

1) (2x 3) (2x 3)

2 . (2x 3)'. (2x 3) 3

2 . 2. (2x 3) 3

3

4 3 2x 3

2) ² '

x 3x 5 =

2 12

'

x 3x 5 =

2 2 12

1(x 3x 5)'(x 3x 5) 2

= 2

1 1

(2x 3)

2 x 3x 5

= 2

2x 3 2 x 3x 5

3) ' x . x =

3 2

' x

=

1

3 2

. x '. x 2

= 3 x

2

TAC 3

1) 1 ' x 1 =

1 2

' (x 1)

=

3

1 2

(x 1) '(x 1) 2

=

3

1 2 (x 1)

2) 3 2

1 '

x x 1

=

2 13

'

x x 1

=

1 1

2 2 3

1(x x 1)'(x x 1) 3

=

2 43

1(2x 1)(x x 1) 3

= 3 2 4

(2x 1) 3 x x 1

TAC 4

3 2 3 2

3

2 2 2

2 2 3

2 2

4 3 2 4 3

2 2

' (x 1)'(x x 2) (x 1)(x x 2)'

x 1

1) x x 2 (x x 2)

3x (x x 2) (x 1)(2x 1)

(x x 2)

3x 3x 6x 2x x 2x 1

(x x 2)

4 3 2

2 2

x 2x 6x 2x 1

(x x 2)

2) ₂

' x 1 (2x 3)' x 1 (2x 3)' x 1

2x 3 (2x 3) (1)

Or :

1 1

2 2

' ' 1 1

x 1 (x 1) (x 1)'(x 1)

2 2 x 1

et (2x+3)' = 2.

Remplaçons dans (1) :

2 2

2

2

1 (2x 3) x 1 . 2 x 1 ' 2 x 1

2x 3 (2x 3)

2x 3 x 1 . 4

2 x 1 . (2x 3) 2x 3 4x 4 2 x 1 . (2x 3)

2

2x 7 2 x 1 . (2x 3)

3) ^{4 2 3}

'

3x x 1 =

3

2 4

'

3x x 1

=

3 1

2 ' 2 4

3 3x x 1 3x x 1

4

=

1

2 4

3 6x 1 3x x 1 4

= 4 2

3(6x 1) 4 3x x 1

4)

1 x ' 1 x =

1 2

' 1 x 1 x

=

1

' 2

1 1 x 1 x

2 1 x 1 x

= 1 . (1 x)'(1 x) (1 x)(1 x)'₂ . 1

2 (1 x) 1 x

1 x