Terminale S Bac Blanc 2005 le 24 mars 2005

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Terminale S Bac Blanc 2005 le 24 mars 2005

Nom : Prénom : Classe :

Calculatrice autorisée

L’exercice de spécialité sera rendu sur feuille séparée

Exercice 1 :

^{(4 points)}

Cet exercice se présente comme un questionnaire à choix multiple (QCM). Les quatre questions sont indépendantes. Pour chaque question, il y a deux conclusions correctes. Le candidat doit cocher au plus deux cases (celles qu’il juge correctes). Aucune justification n’est demandée.

A chaque question est affecté un certain nombre de points. Chaque réponse exacte rapporte la moitié des points affectés ; chaque réponse fausse enlève le quart des points affectés. Cocher trois cases ou plus à une question, ou n’en cocher aucune rapporte zéro point à cette question.

Si par application de ce barème le total des points de l’exercice est négatif, il est ramené à zéro.

Partie A : suites

On considère trois suites(un),(vn)et(wn)qui vérifient la propriété suivante : Pour tout entiernstrictement positif : un ≤vn≤wn

1. Si la suite(v_n)tend vers−∞,alors :

¤la suite(w_n)tend vers−∞

¤la suite(u_n)est majorée

¤la suite(u_n)tend vers−∞

¤la suite(w_n)n’a pas de limite 2. Si lim

n→+∞un =−2et lim

n→+∞wn= 2,alors :

¤la suite(v_n)est majorée

¤ lim

n→+∞v_n= 0

¤la suite(vn)n’a pas de limite

¤On ne sait pas dire si la suite(vn)a une limite ou non.

Partie B : Probabilités

1. Une urne contient 75 boules blanches et 25 boules noires. L’expérience consiste à tirer une boule. Les boules ont toutes la même probabilité d’être tirées. On eﬀectuen tirages indépendants avec remise,ndésignant un entier supérieur à 10. SoitX la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de boules blanches tirées.

¤X suit la loi binômiale de paramètresnet 1 4.

¤p(X = 0) = 1 2²ⁿ

¤p(X <5) = 1−p(X >5)

¤E(X) = 0.75n.

2. Une maladie atteint 1% d’une population donnée. Un test de dépistage de cette maladie a les caractéristiques suivantes :

• Chez les individus malades 99% des tests sont positifs et 1% négatifs.

• Chez les individus non malades, 98% des tests sont négatifs (les autre étant positifs).

On noteM l’événement : "l’individu est malade" etT l’événement " le test pratiqué est positif".

¤P_M(T) +P_M(T) = 1.02

¤P_M(T) +P_M(T) =P(T)

¤P(T) = 2.97·10⁻²

¤Sachant que le test est positif, il y a deux chances sur trois pour que l’individu testé ne soit pas malade.

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Exercice 2 :

(3 points) 1.Soit(un)la suite définie par :

⎧⎨

⎩ u0= 0 un+1= 1

2−u_n pour tout entier naturel n≥1

1.a. Calculeru1, u2etu3.On exprimera chacun de ces termes par une fraction irréductible.

1.b. Comparer les quatre premiers termes de la suite(un)aux quatre premiers termes de la suite (wn)définie pour tout entier naturelnparwn = n

n+ 1.

1.c. Démontrer que pour tout entier natureln, on au_n =w_n. 2. Soit(v_n)la suite de terme généralv_n défini parv_n= ln

µ n n+ 1

¶

oùlndésigne le logarithme népérien.

2.a. Montrer quev₁+v₂+v₃=−ln 4.

2.b. SoitS_nlasomme définie pour tout entier naturelnnon nul par : S_n =v₁+v₂+· · ·+v_n. ExprimerS_n en fonction den.

Déterminer la limite deS_n lorsquentend vers+∞.

Exercice 3

: (obligatoire pour les non spécialistes)(5 points)

Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal direct(O;−→u ,−→v),on apelleAetBles points d’aﬃxes respectives2 et−2.

A tout pointM d’affixezdifférent de2,on associe le pointN d’affixez et le pointM⁰ d’affixez⁰ tel quez⁰= 2z−4 z−2 1. Calculerz⁰ et|z⁰|lorsque z= 5puis lorsquez= 1 +i.

2.a. Interpréter géométriquement|z−2| et|z⁰+ 2|.

2.b. Montrer que pour toutz distinct de2,|z⁰|= 2.En déduire une information sur la position deM⁰. 3. Déterminer l’ensemble(E)des pointsM d’aﬃxez,(z6= 2)tels que M⁰=B.

4. On noteZ−−→AM etZ−−−→

BM⁰ les aﬃxes respectives des vecteurs−−→AM et−−−→

BM⁰.

Montrer que pour tout pointM distinct deAet n’appartenant pas à(E),le quotient Z−−→

AM

Z−−−→

BM⁰

est un nombre réel.

Interpréter géométriquement ce résultat.

5. Un point M distinct de A et n’appartenant pas à(E)étant donné, proposer une méthode géométrique pour construire le pointM⁰.On illustrera par unefigure.

Exercice 3 bis (spécialité)

: (5 points)

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct(O;−→u ,−→v). L’unité graphique est 4 cm.

On considère les pointsA, B, C etD d’aﬃxes respectivesa= 1,b=eⁱ^π³ ,c=3 2+i

√3 2 ,d=

√3 2 e⁻ⁱ^π⁶ . 1.a. Calculer la forme exponentielle decet la forme algébrique ded.

1.b. Représenter les pointsA, B, C etD.

1.c. Montrer que le quadrilatère OACB est un losange.

1.d. Montrer que les pointsD, AetC sont alignés.

2. Déterminer l’angleθ et le rapportkde la similitude directeS de centreO qui transformeAenC.

3. On noteF etGles images parS des pointsD etC respectivement. Prouver que les pointsF, C etGsont alignés.

4. Déterminer l’aﬃxef du pointF.

5. On considère la transformationφqui à tout pointM, d’aﬃxez,associe le point M⁰ d’aﬃxez⁰ =ze⁻ⁱ^2π³ +3 2+i

√3 5.a. Reconnaître la nature deφ. 2

5.b. Déterminer les images parφdes pointsAetB.

5.c. Justifier queφest la symétrie d’axe(AB).

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Exercice 4

: (4 points)

Restitution Organisée de Connaissances

Le but de l’exercice est de démontrer le résultat de cours suivant : lim

x→+∞

ln(x) x = 0 On rappelle la définition et le théorème suivants :

Définition : Soit f une fonction définie sur l’intervalle [A,+∞[, où Aest un réel positif, et soit L un nombre réel.

Dire que la fonction f a pour limite L en +∞, signifie que tout intervalle ouvert contenant L contient tous les nombres f(x) pour x assez grand.

Théorème: Soit L un nombre réel,f,get h des fonctions définies sur l’intervalle [A,+∞[, où A est un réel positif. Si f,g, et h vérifient les conditions suivantes :

— Pour tout x appartenant à l’intervalle [A,+∞[,g(x)≤f(x)≤h(x);

— Les fonctions g et h ont pour limite L en +∞ alors la fonction f a pour limite L en .+∞

1. Démonstration de cours.

En utilisant la définition précédente, démontrer le théorème énoncé ci dessus.

2. Application :

2.a. Etudier (seulement) les variations de la fonctionf définie sur l’intervalle[1,+∞[parf(x) =√

x−lnx.

2.b. Montrer que pour toutxappartenant à l’intervalle[1,+∞[on a les inégalités0≤lnx≤√ x.

2.c. En déduire la limite de lnx

x en+∞

Exercice 5

: (4 points)

Soit f la fonction définie sur R par : f(x) = ln(x+√

x²+ 9) et (C) sa représentation graphique relative à un repère orthonormal³

O;−→i ,−→j´ .

1. Déterminer les images de 0 et 4 parf, puis l’antécédent de 0 parf. 2.a. Calculer la limite def en+∞.

2.b. Montrer que pour tout réelx,x+√

x²+ 9 = ⁹

−x+√

x²+9 et en déduire la limite def en−∞. 3. Montrer que pour tout réelx,f ⁰(x) = √¹

x²+9 et en déduire le sens de variation de la fonctionf .

4. On considère la fonctiongdéfinie surRpar : g(x) = ¹₂e^x−⁹2e⁻^xet (C’) sa représentation graphique dans le même repère

³

O;−→i ,−→j´ .

4.a. Démontrer que pour tout réelx,(g◦f)(x) =x.

On admettra qe même que pour tout réelx,(f◦g)(x) =x.

4.b. En déduire que le point M(x; y)appartient à (C) si et seulement si le pointM ⁰(y; x)appartient à (C’).

4.c. Démontrer que la fonction gest négative sur[0 ; ln 3]