[ BACCALAURÉAT BLANC DE MATHÉMATIQUES S \ janvier 2008
EXERCICE1
Commun à tous les candidats
On considère la fonctionf définie surR
+par : f(x)=ex+e−x
2 .
On note (C) la courbe représentative def.
1. Étudier les variations def. Déterminer la limite def(x) en+∞.
2. On définit la fonctionhsurR+par :h(x)=f(x)−x.
a. Résoudre l’équation ex−e−x−2=0 ( on pourra poserX=ex) b. En déduire que ex−e−x−2=¡
ex−1−p 2¢ ¡
ex−1+p 2¢
. c. Étudier les variations deh.
d. Montrer quehadmet un minimumm, qui est strictement positif.
Calculermet en donner une valeur approchée à 10−2près.
3. On définit une suite (Un) de la façon suivante :
U0=1 etUn+1=f(Un) pournentier naturel.
a. Montrer que la différenceUn+1−Unpeut être minorée parm(calculé en 2. c.).
b. Démontrer par récurrence queUn−U0>n·m.
c. En déduire la limite de (Un).
EXERCICE2
Commun à tous les candidats
On considère la fonctionf définie sur ]0 ;+∞[ par f(x)=1+lnx
x .
SoitC la courbe représentative def dans le plan rapporté à un repère orthogonal
³O,−→ı ,→−
´
d’unité graphique : 5 cm.
1. Calculer les limites def en 0 et en+∞. Déterminer les asymptotes deC. 2. Étudier le sens de variation def.
Dresser le tableau de variation def.
3. Montrer que l’équation f(x)=0 admet sur l’intervalle
·1 e; 1
¸
une solution unique, notéeα.
Déterminer un encadrement deα, d’amplitude 10−2.
Donner, suivant les valeurs dex, le signe def(x) sur ]0 ;+∞[.
4. Tracer la courbeC.
EXERCICE3 5 points
Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
M. Descroix Lycée Louise Michel Bobigny Baccalauréat blanc S :
1. a. Soit (rn)n∈Nla suite géométrique réelle de premier termer0strictement positif et de raison2
3.
Exprimerrnen fonction der0etn.
b. Soit (θn)n∈Nla suite arithmétique réelle de premier termeθ0appartenant à l’intervalleh
0 ; π 2
het de raison2π 3 . Exprimerθnen fonction deθ0et den.
c. Pour tout entier natureln, on posezn=rn(cosθn+isinθn).
Sachant quez0,z1etz2sont liés par la relationz0z1z2=8, déterminer le module et un argument dez0,z1etz2.
2. Dans le plan complexe P muni d’un repère orthonormal direct³
O,→−u,−→v ´ (unité graphique : 4 cm), on appelleMnle point d’affixezn.
a. Placer les points M0, M1, M2et M3dans le planP. b. Pour tout entiern, exprimerzn+1en fonction dezn.
c. Calculer alorsMnMn+1en fonction den. d. On poseln=
Xn k=0
MkMk+1=M0M1+ · · · +MnMn+1.
Calculerln en fonction denet déterminer la limite deln quandntend vers+∞.
EXERCICE4 4 points
À chaque question est affecté un certain nombre de points. Pour chaque question, une réponse exacte rapporte le nombre de points affecté (ou la moitié s’il y a deux réponses exactes . . . ) ; une réponse inexacte enlève le quart du nombre de points affecté.
Le candidat peut décider de ne pas répondre à certaines de ces questions : la question ne rapporte alors aucun point et n’en coûte aucun.
Les réponses devront êtrejustifiées: en l’absence de justification la réponse ne sera pas prise en compte.
Pour chaque question, une ou plusieurs réponses sont exactes.
Si le total de points est négatif, la note est ramenée à zéro.
1. Une solution dez2+2z+4=0 est dansC:
1+i −p3−i 2ei2π3 −1−ip3 . 2. Soitz1etz2les nombres complexes définis parz1=p
3−i etz2=2i−z1. Alorsz2
z1=:
p3eiπ2 −e−i3π4 2eiπ3 p3ei5π6. 3. Soit deux points A et B d’affixes respectiveszA=i etzB=p
3 dans un repère orthonormal³
O,−→u,→−v´
. L’affixe de C, image de B par la rotation de centre A et d’angleπ
3 est :
−i 2i 3+i 3+2i
4. Dans le plan complexe, l’ensemble des pointsMd’affixez=x+iyvérifiant la relation arg
µz+2 z−2i
¶
=π
2 est inclus dans : La droite d’équationy= −x
Le cercle de centre I(−1+i) et de rayon R = 2 La droite d’équation y = x
Le cercle de diamètre [AB], A et B étant les points d’affixes respectiveszA=
−2 etzB=2i.
2
M. Descroix Lycée Louise Michel Bobigny Baccalauréat blanc S :
5. Soit A(−i) , B(3) et C(2+3i). Le triangle ABC est :quelconque isocèle
rectangle équilatéral
3
