DS n°2 MATHEMATIQUES TERM STG-CFE 2008-2009 Exercice 1 : 4 points
Le tableau suivant indique l’évolution du chiffre d’affaires (en milliers d’euros) d’une entreprise entre 2001 et 2005.
Année 2001 2002 2003 2004 2005
Rang xi 1 2 3 4 5
Chiffre d’affaires yi 340 341 343 341 344
Chaque affirmation ci-après comporte trois réponses possibles ; pour chaque question une seule réponse est exacte. Toute réponse exacte rapporte le nombre de points affectés à la question ; une réponse inexacte enlève la moitié des points affectés à la question ; l’absence de réponse ne rapporte aucun point et n’enlève aucun point. Si le total est négatif, la note de l’exercice est ramenée à 0.
1. Les coordonnées du point moyen G x y( ; )sont :
a. G( 2,5 ; 341,8 ) b. G( 3 ; 342,1 ) c. G( 3 ; 341,8 ) 2. La droite D d’ajustement affine obtenue par la méthode des moindres carrés a pour équation : a. y0,8x339, 4 b.y0,9x339,1 c. y0,8x341,8
3. Le chiffre d’affaires, en milliers d’euros, estimé pour 2006 à l’aide de l’ajustement précédent est de : a. 344,5 b. 346,6 c. 344,2.
Exercice 2 : ( 16 points)
Le tableau ci-après donne l'évolution du montant horaire brut du SMIC (Salaire Minimum Interprofessionnel de Croissance), en France, du 1er juillet 2000 au 1er juillet 2005.
1. Quel était le SMIC horaire brut au 1er juillet 1999 sachant qu'il a augmenté entre le 1er juillet 1999 et le 1er juillet 2000 de 3,2%. Arrondir au centime.
2. On construit un tableau d'indices en prenant comme base 100 le 1er juillet 2000.
(a) Compléter l'extrait de feuille de calcul ci-dessous.
Donner les valeurs décimales arrondies au dixième.
A B C D E F G H
1 1/07/00 1/07/01 1/07/02 1/07/03 1/07/04 1/07/05 1/07/06
2 Smic horaire brut 6,41 6,67 6,83 7,19 7,61 8,03 8,27
3 Indice 100 125 ,27
(b) Quelle formule, à recopier sur la plage D3 :H3, peut-on entrer dans la cellule C3 ?
(c) Déterminer le taux d'évolution du SMIC horaire brut entre le 1erjuillet 2000 et le 1er juillet 2006.
Arrondir à 0,01%
3. Dans cette question, vous arrondirez les taux à 0,01%
Calculer le taux d'évolution y du SMIC horaire brut entre le 1erjuillet 2004 et le 1er juillet 2006.
On suppose qu'au 1er juillet 2006, le SMIC horaire reprend la valeur du 1er juillet 2004.
Exprimer en fonction deyle taux d'évolution x du 1erjuillet 2005 au 1er juillet 2006.
Effectuer le calcul dex.
En utilisant une approximation pour les petits taux, quelle valeur approchée dexobtiendrait-on ? 4. Si la croissance relative du SMIC horaire brut avait été constante entre le 1er juillet 2000 et le 1erjuillet 2006, quel serait le taux d'évolution annuel moyen du SMIC horaire brut pour obtenir le même niveau au 1erjuillet 2006 ? Arrondir à 0,0001près
5. a Déterminer le taux d'évolution annuel moyen du SMIC horaire brut entre le juillet 2000 et le 1erjuillet 2005
b. On suppose que ce taux reste valable jusqu’au 2010 , déterminer le Smic horaire brut en 2009.
SMIC horaire brut en euros 1er juillet 2000 6,41
1er juillet 2001 6,67 1er juillet 2002 6,82 1er juillet 2003 7,19 1er juillet 2004 7,61
1er juillet 2005 8,05
1er juillet 2006 8,27
Partie B
Le tableau suivant donne la valeur en euros du SMIC (salaire minimum de croissance) horaire brut, des années 1999 à 2006.
Année 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006
Rang 1 2 3 4 5 6 7 8
SMIC Horaire brut 6,21 6,41 6,67 6,83 7,19 7,61 8,03 8,27
(Source INSEE) 1. Quelle sera en 2007 la valeur du SMIC horaire brut arrondi au centime s’il subit une augmentation de 2,7 % par rapport à celui de 2006 ?
2. Représenter dans un repère orthogonal, le nuage de points de coordonnées( ; )x yi i pour 1 i 10. Unités graphiques : • axe des abscisses : 1 cm pour une unité ;
• axe des ordonnées : 2 cm pour 1 € . 3. a. Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage.
L’ordonnée de G sera arrondie au centième. (arrondir à 0.01 près ) b. Placer le point G dans le même repère que précédemment.
4. On admet que le nuage de points associé à cette série peut être ajusté de manière affine.
On recherche un ajustement affine de la série ( ; )x yi i .
a. Déterminer à l’aide de la calculatrice, une équation de la droite D d’ajustement obtenue par la méthode des moindres carrés. ( arrondir à 0.1 près ).
Vérifier que le point G est un point de la droite D
b. Tracer la droite dans le même repère que précédemment.
c. Quelle serait alors la valeur du SMIC en 2011 (arrondir au centième)?
5. En quelle année, si l’évolution se poursuit, peut-on espérer que le SMIC dépasse les 10€ ? 6. On suppose que la valeur du SMIC en 2004 est égale au 5/6ème de sa valeur de 2010.
a. Quelle serait alors la valeur du SMIC en 2010 (arrondir au centième)?
b. Quel évolution aurait-il subit depuis 2000 (arrondir à 0.1%)?
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
7 8 9 10
0 1
5 6
x y
Exercice 1
1. Les coordonnées du point moyen G x y
; sont :1 2 3 3 4 5 5 3
x et 340 341 343 341 344
341,8
y 5 réponse c.
2. A l’aide de la calculatrice, la droite ( D) d’ajustement affine obtenu par la méthode de moindres carrés a
pour équation :y0,8x339,4 : réponse a .
3. Le rang de l’année est x6. Le chiffre d’affaires en milliers d’euros, estimé pour 2006 à l’aide de
l’ajustement précédent est de :y0,8 6 339, 4 334,2 réponse c.
Exercice 3
1) Soit x le SMIC horaire en 1999 :
2, 7 % (1 ) 1, 027
1 1999 1 2000
6,38
er er
t
juillet juillet
x
On sait que l’évolution a été une augmentation de 3,2% et que le SMIC de 2000 est de 6,41€
On a donc x1,032 6,41 d’où 6,41 6,21 1,032
x . Le SMIC de 1999 était donc de 6,21€ de l’heure.
2.a) Dans la cellule C3 : 100 6,67
104,06
I 6,41 . Dans la cellule D3 : 100 6,83
106,56 I 6,41 Dans la cellule E3 : 100 7,19
112,17
I 6,41 . Dans la cellule F3 : 100 7,61
118,72 I 6,41 Dans la cellule G3 100 8,03
125, 27
I 6,41 ; Dans la cellule H3 100 8,27
129,02 I 6,41 b) Dans la cellule C3 il faut écrire : 3 2 100
6, 41 C C
. On ne peut pas écrire 3 2 3 2
C B
C B
car sinon en recopiant
3 2 3 2
D C
D C
et ce n’est pas ce calcul qu'il faut faire en D3.
On peut utiliser les $ pour indiquer qu’il ne faut pas modifier B3et B2 en recopiant : C3(C $B$3)/ $B$22 c) le taux d’évolution entre le premier juillet 2000 et le premier juillet 2005 est :
1 2006 1 2000 8,27 6,41
0,2902 1 2000 6,41
er er
er
valeur le juillet valeur le juillet
T valeur le juillet
soit 29,02%.
3. 1 2006 1 2004 8,27 7,61
0,0867 1 2004 7,61
er er
g er
valeur le juillet valeur le juillet
t valeur le juillet
, soit environ 8,67 %.
2004 2006
1/ 2 1/ 2
(1 ) 1 (1 0,0867272798) 1 1,042462464 1 0,0424664
y t m tg ,soit 4,25
(1 ) 1 1,0424664
1er 2005 x 1er 2006
y
juillet juillet
. Le taux d’évolution x est le taux d’évolution réciproque de y : 1
1 1 x y
, donc 1
1 0,041 1,0425
x .soit 4,1. La formule d’approximation pour les petits taux est x y soit 4,1
4. Soit t le taux moyen annuel (1tm)61,2902d’où 1 tm
1,2902
1/ 6 tm
1,2902
1/ 6 1 1,04338 1 0,04338 L’augmentation moyenne sur les Six ans aura été de 4,338 %5. On calcule d’abord le taux global entre 2000 et 2006 : 8,03 6,41
0,25273 6, 41
tg
Le taux moyen annuel du SMIC horaire brut du 1er juillet 1999 au 1er juillet 2006 est le nombre tel que (1m)5 1 Tg, d’où m (1 Tg)1/ 5 1 (1,25273)1/ 5 1 1,04609 1 0,04609 soit m 4,61 %.
b . Smic20098,03 (1,04609) 49,61594€
Partie B
1. la valeur du SMIC horaire brut arrondi au centime s’il subit une augmentation de 2,7 % par rapport à celui de 2006 est 8,27 1,027 8,49329 €.
2.
Rang de l'année valeur du Smic horaire
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7
8 9 10
0 1
5 6
x y
3. Les coordonnées du point moyen G x y
; sont :1 2 3 4 5 6 7 8
8 4,5
x
et 6,21 6, 41 6,67 6,83 7,19 7,61 8,03 8,27
7,1525
y 8
soit G( 4,5 ; 7,15) arrondie au centième .
4. a. La calculatrice donne a0,3 etb5,8 donc l’équation de D est y0,3x5,8.
b. l’année 2011 correspond au rang x12 : on peut estimer le SMIC a y0,3 12 5,8 3,6 5,8 9,4€ .
5. On résout y10 0,3x5,8 10 0,3x4, 2 x 14, donc x14: dès 2013, on peut espérer que le SMIC dépasse les 10€.
6. a. Si on suppose que la valeur du SMIC en 2004 est égale au 4/5ème de sa valeur de 2010, on a :
2004 5 2010
Smic 6Smic , c’est – à –dire 7, 61 5 2010 2010 7, 61 6 9,132€
6Smic Smic 5
b. Entre 2000 (6.41€) et 2010 (9.132€), l’évolution est de 9,132 6,41 0, 424648 42, 46%
t 6,41
de hausse.
