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Terminale S – Lycée Desfontaines – Melle
Nom : ………..………..Prénom : ………..
Devoir surveillé n°7
Exercice 1 - 7 points (extrait Antilles Guyane juin 2007)
Pour chaque question, une seule des propositions est exacte. Le candidat entourera la valeur retenue pour chaque question. Aucune justification n’est demandée.
Pour chaque question, une réponse exacte rapporte le nombre de points indiqué; une réponse inexacte enlève la moitié des points; l’absence de réponse est comptée 0 point.
Si le total des points pour l’exercice est négatif, la note est ramenée à zéro.
On s’intéresse à deux types de pièces électroniques, P1 et P2, qui entrent dans la fabrication d’une boîte de vitesse automatique.
Une seule pièce de type P1 et une seule pièce de type P2 sont nécessaires par boîte.
L’usine se fournit auprès de deux sous-traitants et deux seulement S1 et S2.
Le sous-traitant S1 produit 80% des pièces de type P1 et 40% de pièces de type P2. Le sous-traitant S2 produit 20% des pièces de type P1 et 60% de pièces de type P2.
1. Un employé de l’usine réunit toutes les pièces P1 et P2 destinées à être incorporées dans un certain nombre de boîtes de vitesses. Il y a donc autant de pièces de chaque type.
Il tire une pièce au hasard.
(a) La probabilité que ce soit une pièce P1 est
0,8 0,5 0,2 0,4 0,6 0,5 point
(b) La probabilité que ce soit une pièce P1 et qu’elle vienne de S1 est
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,5 point
(c) La probabilité qu’elle vienne de S1 est
0,2 0,4 0,5 0,6 0,8 1 point
2. Il y a 200 pièces au total. Cette fois l’employé tire deux pièces simultanément. On suppose tous les tirages équiprobables.
(a) Une valeur approchée à 10-4 près de la probabilité que ce soit deux pièces P1 est :
0,1588 0,2487 0,1683 0,0095 1 point
(b) Une valeur approchée à 10-4 près de la probabilité que ce soit deux pièces P1 et P2 est :
0,5000 0,2513 0,5025 2 points
(c) La probabilité que ce soient deux pièces fabriquées par le même fournisseur est : 357
995
103 199
158
995 2 points
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Exercice 2 (Antilles Guyane septembre 2007) - 10 points
Question de cours Soit I un intervalle de Ë.
Soient u et v deux fonctions continues, dérivables sur I telles que u′ et v′ soient continues sur I.
Rappeler et démontrer la formule d’intégration par parties sur un intervalle [a;b] de I.
Partie A
Soit f la fonction définie et dérivable sur l’intervalle [0;1].
On note f ′ la fonction dérivée de f.
On suppose que f ′ est continue sur l’intervalle [0;1].
1. Utiliser la question de cours pour montrer que : ⌡⌠
0
1f(x)dx=f(1)−
⌡⌠
0
1xf′(x)dx 2. En déduire que ⌡⌠
0
1(f(x)−f(1))dx=-
⌡⌠
0
1xf′(x)dx Partie B
On désigne par ln la fonction logarithme népérien.
Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]-2;2[ par f(x)=ln
2+x 2−x .
Soit C la courbe représentative de f sur l’intervalle ]-2;2[ dans un repère orthonormé d’unité graphique 2 cm.
1. Déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.
2.
a. Montrer que pour tout réel x de l’intervalle ]-2;2[ on a f′(x)= 4 4−x2. b. En déduire les variations de f sur l’intervalle ]-2;2[.
Partie C
La courbe C est tracée sur la feuille annexe.
Hachurer sur cette feuille la partie P du plan constituée des points M(x;y) tels que 0ÂxÂ1 et f(x)ÂyÂln3.
En utilisant la partie A, calculer en cm2 l’aire de P.
Exercice 3 - Questions 1 et 2 (3 points). Questions 3 et 4 (Bonus : 2 points) Soit
( )
In la suite d’intégrales définie pour n☻É par In =⌡⌠
0 1tnetdt 1. Etudier la monotonie de
( )
In .2. Trouver une relation de récurrence entre In et In−1 pour nÃ1.
3. Montrer que pour tout nÃ1, 0ÂIn e n+1. 4. Déterminer la limite de la suite
( )
In .Bonus (2 points)
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