EXAMEN BLANC : DÉCEMBRE 2008
MATHÉMATIQUES
SERIE : S
Durée de l’épreuve : 4 heures
Ce sujet comporte 6 pages.Il est noté sur 21 pts.
Une feuille annexe (page 6) est jointe au sujet et concerne la grille de réponses de l’exercice 1.
Ce sujet est à rendre avec la copiepuisque des graphiques fournis sont à compléter sur le sujet.
L’utilisation d’une calculatrice est autorisée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.
Exercice 1 (7 points)
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct(O;~u, ~v).
On considère les pointsA etΩd’affixes respectives : a=−1 +√
3 +i etω=−1 + 2i.
On appellerla rotation de centreΩet d’angle 2π 3 ethl’homothétie de centreΩet de rapport−1
2. - I -
Placer sur la figure les pointsAetΩ.
Après avoir calculé leurs affixes, placer sur la figure les points :
B image du pointAparr; C image du pointB parr; etD image du pointAparh.
−
→u
−
→v
- II - On noteb,cet dles affixes respectives des pointsB, Cet D.
Le tableau ci-dessous contient une suite de 18 affirmations, dont chacune débute dans la première colonne et s’achève sur la même ligne colonne 2, colonne 3 ou colonne 4.
Le candidat doit se prononcer sur chacune de ces affirmations. Pour cela il doit remplir le tableau de lafeuille annexe page 6, en faisant figurer dans chacune des cases la mentionVRAIouFAUXen toutes lettres.
Aucune justification n’est demandée sur la copie.
A chaque affirmation est affecté un certain nombre de points. Pour chaque affirmation, une réponse exacte rapporte le nombre de points affecté ; une réponse inexacte enlève la moitié du nombre de points affecté.
Le candidat peut décider de ne pas se prononcer sur certaines de ces affirmations. Elles ne lui rapporteront alors aucun point et n’en enlèveront aucun. Si le total est négatif, la note de cette partie- II - est ramenée à0.
Question proposition 1 proposition 2 proposition 3
1. |a−ω|= 2 4 √
3−i
2. arg(a−ω) = −5π
6 [2π] 47π
6 [2π] π
6 [2π]
3. −→ v ,−−→
ΩC
= arg((ω−c)i) [2π]
−−→ v ,−−→
CΩ
[2π] 2π
3 [2π]
4. ω= 1
3(a+b+c) a+b+c b−2i
5. b−d a−d =
√3
2 i −
√3 3 i
√3 3 i
SoitIl’intervalle [0,1]. On considère la fonction f définie surI parf(x) = 3x+ 2 x+ 4 .
1. Étudier les variations de f et en déduire que, pour toutxélément deI,f(x)appartient à I.
2. On considère la suite (un)n∈N définie paru0= 0 et, pour toutn∈N, un+1= 3un+ 2 un+ 4 Montrer que, pour toutnappartenant àN,un appartient àI.
On se propose d’étudier la suite (un)n∈N par deux méthodes différentes.
3. Première méthode
a. On a représenté graphiquementf sur l’intervalle[0; 1]dans un repère orthonormal d’unité graphique 10 cm.
Compléter le graphique ci-dessous : placer les pointsA0, A1, A2 etA3d’ordonnée nulle et d’abscisses respectives u0, u1, u2 etu3.
b. Quelle conjecture pouvez vous faire concernant le sens de variation de (un)n∈N et sa convergence éventuelle ?
c. Établir la relationun+1−un=(1−un)(un+ 2)
un+ 4 et en déduire le sens de variation de la suite(un)n∈N. d. Démontrer que la suite(un)n∈Nest convergente.
e. Prouver que la limite ℓde la suite(un)n∈Nvérifieℓ=f(ℓ)et calculerℓ.
4. Deuxième méthode
On considère la suite (vn)n∈Ndéfinie parvn =un−1 un+ 2·
a. Prouver que(vn)n∈N est une suite géométrique de raison 2 5· b. Calculerv0 et exprimervn en fonction den.
c. Exprimer un en fonction devn, puis en fonction den.
d. En déduire la convergence de la suite(un)n∈Net déterminer sa limite.
1 1
y=f(x)
Exercice 3 (4 points)
Pour toutnentier,n≥1, on poseIn = Z 1
0
e3x(x+ 2)ndx 1. En intégrant par parties, calculer : I1=
Z 1
0
e3x(x+ 2)dx
2. Montrer que la relation de récurrence liant In+1 et In est : In+1= 3ne3−2n+1
3 −n+ 1 3 In. 3. Que peut-on dire des variations de la suite (In)n≥1? Justifier.
4. La suite(In)n≥1 est-elle convergente ? Justifier.
Exercice 4 ( 5 points )
non spécialité 1. On considère l’équation d’inconnue complexe z:z2+ 2√
3z+ 4 = 0
a. Résoudre cette équation dans l’ensemble Cdes nombres complexes.
b. Écrire les solutions sous forme trigonométrique.
2. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct(O;−→ u;−→
v)(unité graphique2 cm).
Les pointsI etJ du plan ont pour affixes respectives :z1=−√
3 +i etz2=−√ 3−i.
a. Tracer le cercle de centreO et de rayon2, et placer les pointsI etJ sur la figure.
b. Montrer que le pointJ est l’image du pointI par la rotation de centreO et d’angle π 3. c. En déduire la nature du triangleOIJ.
3. SoitB le milieu du segment[OI].
a. Déterminer l’affixe du pointB et placer le point B sur la figure.
b. Préciser la nature du triangleJ BO.
4. SoitAle point du plan défini par l’égalité vectorielle−−→
BA =−1 2
−−→OJ a. Déterminer l’affixe du pointA et placer le pointAsur la figure.
b. Vérifier que le pointA est l’image du pointB par la rotation de centreO et d’angle−π 3
c. Montrer que le point A est le barycentre des pointsJ, O, B affectés de coefficients que l’on déter- minera.
1. On considère l’équation (E) :
109x−226y= 1 oùxety sont des entiers relatifs.
a. Déterminer le pgcd de 109 et 226. Que peut-on en conclure pour l’équation (E) ?
b. Montrer que l’ensemble de solutions de (E) est l’ensemble des couples de la forme(141 + 226k, 68 + 109k), oùkappartient àZ.
En déduire qu’il existe un unique entier naturel non nul dinférieur ou égal à 226 et un unique entier naturel non nuletels que109d= 1 + 226e. (On précisera les valeurs des entiersdet e.)
2. Démontrer que 227 est un nombre premier.
3. On note A l’ensemble des 227 entiers naturelsatels quea6226.
On considère les deux fonctions f et gde A dans A définies de la manière suivante : à tout entierade A,f associe le reste de la division euclidienne dea109 par 227.
à tout entierade A,g associe le reste de la division euclidienne dea141par 227.
a. Vérifier que g[f(0)] = 0.
b. On rappelle le résultat suivant appelé petit théorème de Fermat :
Si p est un nombre premier eta un entier non divisible parp alors ap−1≡1 modulo p.
Justifier que, quel que soit l’entier non nul ade A, a226≡1 [modulo227].
c. En utilisant 1. b., en déduire que, quel que soit l’entier non nulade A, en composantf puisgon a : g(f(a)) =a.
d. Peut-on dire quef(g(a)) =a?
Bon travail et un joyeux anniversaire à ceux et celles né(e)s un 19 ou 20 décembre ! Saintes fêtes de Noël à chacun(e).
NOM : . .
. .. .. . . .. .. .
. .. .. . . . Classe
: . . . .. .. .
. ..
Feuille annexe
A rendre avec la copie
Exercice 1
Partie -II-
1. |a−ω|= 2 4 √
3−i
2. arg(a−ω) = −5π
6 [2π] 47π
6 [2π] π
6 [2π]
3. −→
v ,−−→
ΩC
= arg((ω−c)i) [2π]
−−→ v ,−−→
CΩ
[2π] 2π
3 [2π]
4. ω= 1
3(a+b+c) a+b+c b−2i
5. b−d
a−d =
√3
2 i −
√3 3 i
√3 3 i
6. Le point D est l’image de Ωpar la translation de vecteur
−−→
l’image deΩpar l’homothétie de centre
l’image deΩpar la rotation de centreB
