E1 Réponse Points Obtenus

TS GRILLE de correction DS2 NOM : Note

E1 Réponse Points Obtenus

Q.A.1

b b

G n

p n

b

G n+1

2/5

b

G n+1

3/5

b

G n

1 − p n

b

G n+1

1/5

b

G n+1

4/5

0.5

Q.A.2 G n+1 = {G n+1 ∩ G n ; G n+1 ∩ G n } et d’après la formule des probabilités totales, 1 p n+1 = p(G n+1 ) = p(G n+1 ∩ G n ) + p(G n+1 ∩ G n )

= p(G n ) × p G

(G n+1 ) + p(G n ) × p _G

(G n+1 ) = p n × 2

5 + (1 − p n ) × 1 5 = 1

5 p n + 1 5 Q.A.3.a ∀n ∈ N , u n+1 = p n+1 − 1

4 = 1 5 p n + 1

5 − 1 4 = 1

5 p n − 1 20 = 1

5

p n − 1 4

= 1

5 u n . 1

(u n ) est bien géométrique de raison 1

5 et de premier terme u 1 = 1 − 1 4 = 3

4 0.5

Q.A.3.b ∀n ∈ N ^∗ , u n = u 1 q ⁿ⁻¹ = 3 4

1 5

n −1

. Or p n = u n + 1

4 pour n ∈ N ^∗ , ce qui implique que : ∀n ∈ N ^∗ , p n = 3

4 1

5 ^{n −1}

+ 1 4

1

Q.A.3.c 1

5 ∈] − 1; 1[ donc 1

5

n→+∞ −→ 0, donc par opérations sur les limites, p n −→

n→+∞

1

4 . 0.5

Q.A.3.d

Variables : p est un nombre réel et n est un nombre entier naturel.

Initialisation : Affecter à p la valeur 1.

Affecter à n la valeur 1.

Traitement : Tant que p>0,251

Affecter à n la valeur n+1 Affecter à p la valeur 3

4 × 1

5 n −1

+ 1 4 . Fin de Tant que.

Sortie : Afficher n.

1 (1res)

La valeur de n que l’algorithme affiche est 6. ou 1.5

Q.B.1.a Chaque partie de ce second jeu est une épreuve de Bernoulli : on gagne ou l’on perd. On répète de manière indépendante 10 épreuves de Bernoulli, donc la variable aléatoire X qui compte le nombre de parties gagnées suit donc une loi binomiale de paramètres 10 et 1/4.

0.5

Q.B.1.b (X = 0) et (X > 1) sont des événements contraires donc : p(X > 1) = 1 − p(X = 0) = 1 −

3 4

¹⁰

≈ 0, 944 0.5

Q.B.1.c Un joueur a en moyenne « l’espoir » de gagner 2,5 parties sur 10 parties jouées. 0.5 Q.B.2.a L’espérance de gain du joueur est E(X) × 8 = 20 e , alors que son engagement pour

10 parties est 30 e . Le joueur perdrait en moyenne 10 e .

0.5 Q.B.2.b Pour un bénéfice supérieur à 40 e , compte-tenu de l’engagement de 30 e , il faut gagner

au moins 9 parties ( 9 × 8 − 30 > 40) p(X > 9) = p(X = 9) + p(X = 10) = ¹⁰ ₉

0, 25 ⁹ × 0, 75 + 0, 25 ¹⁰ ≈ 0, 00003 0.5 Total −→ 8.5 points

1

E2 Réponse Points Obtenus Conj.1 f semble strictement croissante sur [−3; 2].

Conj.2 C f paraît sous l’axe des abscisses sur ] − ∞; 0] et au-dessus sur [0; +∞[ 0.5 Q.A.1 f = ue ^v − u/2 avec u : x 7−→ x ² dérivable sur R et u ^′ : x 7−→ 2x, v : x 7−→

x − 1, également dérivable sur R avec v ^′ : x 7−→ 1. Ainsi f est dérivable sur R et h ^′ = u ^′ e ^v + u(v ^′ e ^v ) − u ^′ /2.

1.5

∀x ∈ R , f ^′ (x) = 2xe ^{x −1} + x ² × 1 × e ^{x −1} − x ⇔

f ^′ (x) = xe ^x−1 (2 + x) − x ⇔ f ^′ (x) = x[e ^x−1 (x + 2) − 1] ⇔ f ^′ (x) = xg(x) Q.A.2.a g(x) = (x + 2)e ^x−1 − 1 = xe ^x−1 + 2e ^x−1 − 1 = e ⁻¹ xe ^x + 2e ⁻¹ e ^x − 1 = 1

e xe ^x + 2

e e ^x − 1 0.5 xe ^x −→

x→+∞ +∞ et e ^x −→

x→+∞ +∞ donc par opérations sur les limites, g(x) −→

x→+∞ +∞. 0.5+0.5 xe ^x −→

x →−∞ 0 et e ^x −→

x →−∞ 0 donc par opérations sur les limites, g(x) −→

x →−∞ −1.

Q.A.2.b g = ue ^v − 1 avec u : x 7−→ x + 2 dérivable sur R et u ^′ : x 7−→ 1, v : x 7−→

x − 1, également dérivable sur R avec v ^′ : x 7−→ 1. Ainsi g est dérivable sur R et g ^′ = u ^′ e ^v + u(v ^′ e ^v ).

∀x ∈ R , g ^′ (x) = 1 × e ^{x −1} + (x + 2) × 1 × e ^{x −1} ⇔ g ^′ (x) = e ^{x −1} (x + 3) 1 Comme ∀x ∈ R , e ^x−1 > 0, le signe de g ^′ (x) est le même que celui de x + 3. De plus, g ^′ (x) = 0 ⇔ x = −3 et pour x > −3, g ^′ (x) > 0, puis pour x < −3, g ^′ (x) < 0.

0.5 Q.A.2.c g est strictement décroissante sur ]−∞; −3] car g ^′ (x) < 0 sur ]−∞; −3[ et strictement

croissante sur [−3; +∞[ car g ^′ (x) > 0 sur ] − 3; +∞[.

x Signe de g ^′ (x)

Variations de g

−∞ −3 +∞

− 0 +

−1

−1

−e ⁻⁴ − 1

−e ⁻⁴ − 1

+∞

+∞

α

0

0.5

Q.A.2.d L’image de l’intervalle ] − ∞; −3] par la fonction g continue sur R est l’intervalle [−e ⁻⁴ −1; −1[ qui ne contient pas 0 donc g(x) = 0 n’a pas de solution dans ] − ∞; −3].

g est continue et strictement croissante sur [−3; +∞[, g(−3) < 0 et g(x) −→

x→+∞ +∞, d’après le théorème de la bijection, l’équation g(x) = 0 admet une unique solution α dans [−3; +∞[ (voir tableau ci-dessus). Ainsi, une seule solution sur R .

0.5

Par balayage à la calculatrice, on trouve 0, 20 < α < 0, 21 (g(0.2) < 0 et g(0.21) > 0). 0.5 Q.A.2.e Signe de g(x) résumé dans un tableau :

x Signe de g(x)

−∞ α +∞

− 0 +

0.5

Q.A.3.a D’après A.1, f ^′ (x) = xg(x) pour x ∈ R . Compte-tenu de ce qui précède :

x Signe de x) Signe de g(x) Signe de f ^′ (x)

−∞ 0 α +∞

− 0 + +

− − 0 +

+ 0 − 0 +

0.5

Q.A.3.b Par lecture du signe de la dérivée de f dans le tableau précédent, on peut dire que f est strictement croissante sur ] − ∞; 0] et sur [α; +∞[, mais strictement décroissante sur [0; α].

0.5

Q.A.3.c La conjecture 1 n’est pas validée, au regard de la question précédente. 0.5

2

E2 Réponse Points Obtenus Q.B.1 D’après A.2.d, g(α) = 0 ⇔ (α + 2)e ^α−1 − 1 = 0 ⇔ e ^α−1 = 1

α + 2 . 0.5

Et f (α) = α ² e ^{α −1} − α ² 2 = α ²

α + 2 − α ²

2 = −α ³

2(α + 2) 0.5

Q.B.2.a h est une fonction rationnelle dérivable sur [0, 1] (x + 2 ne s’annule pas sur [0, 1]) et ∀x ∈ [0, 1], h ^′ (x) = −x ² (x + 3)

(x + 2) ² . h ^′ (x) = 0 ⇔ x = 0 et sur ]0, 1], −x ² < 0, puis x + 3 > 0 et (x + 2) ² > 0 : h ^′ (x) < 0. Ainsi h est strictement décroissante sur [0, 1].

1

f (α) = h(α), comme 0 < 0, 20 < α < 0, 21 < 1 et h strictement decroissante sur [0, 1], on obtient −1/6 < f (α) < 0

0.5+0.5

Q.B.3.a f (0) = 0 donc 0 est l’abscisse d’un point d’intersection entre C f et l’axe des abscisses. 0.5 Q.B.3.b Si l’on note β la valeur comprise entre 0,30 et 0,31 pour laquelle f (β) = 0, comme

f (α) < 0 et compte-tenu des variations de f sur R : f (x) est strictement négatif sur ]0, β[. La courbe C f est sous l’axe des abscisses sur ]0, β[

0.5

La conjecture 2 n’est pas validée, au regard de la question précédente. 0.5 Total −→ 13.5 points

BONUS Réponse Points Obtenus

Ex1.A.3.d ∀n ∈ N ^∗ , p n+1 − p n = 3

4 1

5 ⁿ

+ 1 4

− 3 4

1 5

ⁿ⁻¹ + 1

4

!

= 3 4

1 5

ⁿ⁻¹ 1 5 − 1

= − 3 5

1 5

ⁿ⁻¹

; ∀n ∈ N ^∗ , 1

5 ⁿ⁻¹

> 0 donc p n+1 − p n < 0 et (p n ) est décroissante. 1

Ex2.B.3.a ∀x ∈ R , f (x) = x ² e ^{x −1} − x ² 2 = x ²

e ^{x −1} − 1 2

et f (x) = 0 ⇔ x ² = 0 ou e ^{x −1} = 1 2

⇔ x = 0 ou x − 1 = ln 1

2

⇔ x = 0 ou x = ln 1

2

+ 1. C’est la valeur exacte de β comprise entre 0,30 et 0,31.

1

Total BONUS −→ 2 points 2

3