SUJET STG-M-CFE-ANTILLES -juin-2007

Baccalauréat STG Antilles-Guyane juin 2007

Spécialités :Mercatique, Comptabilité et Finance d’Entreprise, Gestion des systèmes d’information Exercice 4 : 2 points

Le tableau suivant indique l’évolution du chiffre d’affaires (en milliers d’euros) d’une entreprise entre 2001 et 2005.

Année 2001 2002 2003 2004 2005

Rang xi 1 2 3 4 5

Chiffre d’affaires ^y_i 340 341 343 341 344

Chaque affirmation ci-après comporte trois réponses possibles ; pour chaque question une seule réponse est exacte. On demande de compléter le tableau de l’annexe, en indiquant la lettre correspondant à la réponse qui vous semble correcte. Aucune justification n’est demandée.

Toute réponse exacte rapporte le nombre de points affectés à la question ; une réponse inexacte enlève la moitié des points affectés à la question ; l’absence de réponse ne rapporte aucun point et n’enlève aucun point. Si le total est négatif, la note de l’exercice est ramenée à 0.

1. Les coordonnées du point moyen ^{G x y( ; )}sont :

a. G( 2,5 ; 341,8 ) b. G( 3 ; 342,1 ) c. G( 3 ; 341,8 ) 2. La droite D d’ajustement affine obtenue par la méthode des moindres carrés a pour équation : a. ^{y0,8x339, 4} b.^{y0,9x339,1} c. ^{y0,8x341,8}

3. Le chiffre d’affaires, en milliers d’euros, estimé pour 2006 à l’aide de l’ajustement précédent est de : a. 344,5 b. 346,6 c. 344,2.

Exercice 2 : ( 6 points )

On s'intéresse à l'évolution de la population d'une ville V et on veut étudier plusieurs modèles d'évolution. En 2005, la population de la ville V est estimée à 10 000 habitants.

Partie A - Étude de deux modèles 1) Première hypothèse de croissance

En analysant l'évolution récente, on fait d'abord comme hypothèse que la population de la ville V va augmenter de 500 habitants par an.

On note u010000la population en 2005, et un la population en (2005 + n).

a) Quelle est la nature de la suite (un) ? b) Exprimer unen fonction de n.

c) En quelle année la population atteindra-t-elle 20 000 habitants ? 2) Deuxième hypothèse de croissance

On travaille avec l'hypothèse d'une augmentation de 4,7 % par an.

On note vn la population en (2005 + n). Nous avons alors v0 = 10 000.

a) Quelle sera alors la population en 2006 ? En 2007 ?

b) Quelle est la nature de la suite (vn) ? Exprimer vn, en fonction de n.

c) Calculer la population de la ville en 2020.

En examinant l'évolution de villes comparables, des experts ont estimé que la population de la ville V considérée allait doubler en 15 ans.

d) Le résultat trouvé en 2.c) vous parait-il correspondre à ce que pensaient les experts ?

Partie B - Analyse des résultats sur tableur

On veut utiliser un tableur pour comparer l'évolution de la population suivant les deux modèles :

A B C D

1 Année u_n v_n 500

2 2005 10000 10000 1,047

3 2006

4 2007

5 2008

6 2009

7 2010

8 2011

9 2012

10 2013

11 2014

12 2015

1) Quelle formule faut-il entrer en B3, pour obtenir, par recopie vers le bas, les valeurs de la suite (un) ? 2) Quelle formule faut-il rentrer en C3, pour obtenir, par recopie vers le bas, les valeurs de la suite (vn) ? 3) En cellule B8, quel sera alors le résultat affiché ?

Exercice 3

Un établissement scolaire compte 130 élèves en terminale STG. Ces élèves sont répartis en trois spécialités:

CGRH, mercatique et CFE.

50 % des élèves sont en mercatique et 45 d'entre eux sont des garçons.

30 élèves sont en CFE et dans cette spécialité, il y a autant de filles que de garçons.

En CGRH, il ya 6 fois plus de filles que de garçons.

1. Reproduire et compléter le tableau suivant : Faire figurer sur la copie le détail des calculs.

2. Dans cette question, les réponses seront données sous la forme d'une fraction irréductible.

Un élève est choisi au hasard parmi les 130 élèves de terminale STG.

On considère les événements suivants : M : « l'élève choisi est en mercatique » ; F : « l'élève choisi est une fille » ; H : « l'élève choisi est en CGRH ».

a. Calculer ^{P M( )} et ^{P H( )}.

b. Définir par une phrase l'événement MH puis calculer ^{P M( H)}. c. Calculer la probabilité conditionnelle sachant M de F notéeP FM^{( )}. Traduire par une phrase le résultat obtenu.

Exercice 4 6 points

On donne ci-dessous la courbe représentative (C) d’une fonction f définie sur [−2;5]. La tangente à (C) au point d’abscisseln 2 est parallèle à l’axe des abscisses et (D) est la droite d’équation ^y2x3. Partie A

1. Par lecture graphique, déterminer ^f(0), ^{f '( ln 2)} .

2. a. Déterminer graphiquement le nombre de solutions, sur l’intervalle [−2 ; 5], de l’équation f (x) = 0.

b. Résoudre graphiquement l’inéquation ^{f x'( ) 0} . Partie B

La fonction de la partie A est définie sur [−2 ; 5 ] par : f x( ) 2 x 3 e^x .

1. On note f ′ la fonction dérivée de f . Montrer que, pour tout x de [−2;5], f x'( ) 2 e^x . 2. a. Résoudre algébriquement l’équation ^{f x'( ) 0} .

b. Donner le signe de ^{f x'( )}suivant les valeurs de x dans l’intervalle [−2 ;5 ].

c. En déduire le tableau de variations de f .

3. On rappelle que (D) est la droite d’équation ^y2x3.

CGRH Mercatique CFE Total Filles

Garçons

Total 130

a. Résoudre l’inéquation ^{f x( ) 2 x3}.

b. Interpréter graphiquement, à l’aide de (C) et (D), le résultat précédent.

-1-2ln2 -ln2

2 3 4 5

-1 -2

2 3 4 5 6 7

-1 -2 -3

0 1

1

x y

Exercice 1

Année 2001 2002 2003 2004 2005

Rang ^x_i 1 2 3 4 5

Chiffre d’affaires yi 340 341 343 341 344 1. Les coordonnées du point moyen ^{G x y}

 

1 2 3 3 4 5

5 3

x       et 340 341 343 341 344

341,8

y   5    : réponse c.

2. A l’aide de la calculatrice, la droite ( D) d’ajustement affine obtenu par la méthode de moindres carrés a

pour équation :^{y0,8x339, 4} : réponse a .

3. Le rang de l’année est ^x6. Le chiffre d’affaires en milliers d’euros, estimé pour 2006 à l’aide de

l’ajustement précédent est de :y0,8 6 339, 4 334, 2  

:réponse c.

Exercice 2

En 2005, la population de la ville est estimée à 10000 habitants.

Partie I

1. On suppose que la population augmente de 500 habitants par an et on pose unla population en 2005n. a. Par définition, pour passer d’un terme au suivant, on ajoute 500 : la suite un est donc arithmétique de raison 500, de premier terme u0 10000 .

b. D’après les résultats sur les suites arithmétiques, un u0nr soit ici un ^{10000 500} n . c. Cherchons n tel que 10000

20000 10000 500 20000 500 10000 20

500 n u   + n  n   n = : donc c’est à partir de l’année 2025 que la population a plus que doublé par rapport à son premier terme.

2. Supposons maintenant que la population augmente de 4.7% par an.

a. Pour augmenter un nombre de 4.7% on le multiplie par 1.047 : en 2006 : il y a 100001.047 = 10470 habitants.

en 2007 : il y a 104701.047 » 10962 habitants environ.

b. Notons n v la population en 2005+n : pour passer d’un terme au suivant, on augmente de 4.7%

donc on multiplie par 1.047. La suite est donc géométrique, de raison 1.047 et de premier terme v0 10000 D’après le cours, v_n v b₀ ⁿ soit ici v_n 10000 (1,047) ⁿ .

c. En 2020, soit pour n = 15, la population est estimée à v₁₅ 10000 (1,047) ¹⁵ 19916 habitants.

d. La population double quand elle atteint les 20000 habitants. Selon le modèle précédent, en 15 ans, la population atteint 19916 habitants environ. L’estimation des experts est donc valable.

Partie II

1. En cellule B3, la formule à rentrer est la suivante : «=B2 +500 »ou B2 $ $1 D 2. En cellule C3, la formule à rentrer est la suivante : « =C2 * 1.047 ».ou C2*$ $2D 3. Le résultat affiché en B8 sera u8 , c’est-à-dire 14000.

Exercice 3

1. 50 % des élèves sont en mercatique soit

130 50 65

100 élèves en mercatique

50 % des élèves sont en mercatique et 45 d'entre eux sont des garçons soit: 45 garçons en mercatique.

CGRH Mercatique CFE Total

Filles 30 20 15 65

Garçons 5 45 15 65

Total 35 65 30 130

30 élèves sont en CFE et dans cette spécialité, il y a autant de filles que de garçons. Soit : 30 élèves en CFE dont 15 filles et 15 garçons

En CGRH: on a 130 65 30 =35 soit 35 élèves. En CGRH, il y a 6 fois plus de filles que de garçons soit 5 garçons et 30 filles

2. a. Sur 130 élèves en STG il yen a 65 en mercatique donc: 65 1

( ) 0,5

130 2

P M    .

Sur 130 élèves en STG il yen a 35 en CGRH donc: 35 7 ( ) 130 26

P H   .

b. L'événement MF signifie l'élève est une fille et est en mercatique

Sur 130 élèves en STG il y a 20 filles qui sont en mercatique donc: 20 2

( )

130 13

P M F   .

c. Pam1i 65 élèves en mercatique il y a 20 filles donc: ( ) 2 /13 4

( ) ( ) 1/ 2 13

M

P M F

P F P M

   

Autre méthode en utilisant le tableau 20 4

( ) 65 13

P FM   .

4

( ) 13

P FM  signifie que en mercatique, 4 élèves sur 13 sont des filles.

Exercice 4 Partie I

1. a. On lit ^{f(0) 2}.

Rappelons que par définition, ^{f a'( )} est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse a.

Ici, la tangente au point d’abscisse ln 2 est par hypothèse parallèle à l’axe des abscisses, donc de coefficient directeur nul : ^{f '( ln 2) 0 } .

b. La courbe intercepte deux fois l’axe des abscisses, l’équation ^{f x( ) 0} admet donc deux solutions.

c. Graphiquement, ^{f x'( ) 0} quand la courbe est décroissante donc^{S  ] 2; ln 2[} . Partie II

On admet ici que f x( ) 2 x 3 e^x . 1. Puisque (e^x) ' e^x , on a : _2e^x .

2. a. Par conséquent, ^{f x'( ) 0}  _2e^x _0_2e^x _{ln 2 ln e}^xln 2 x  x ln 2 ce qui est cohérent avec le graphique puisque c’est seulement au point d’abscisse – ln2 qu’il y a un

tangente horizontale.

b. On a ^{f x'( ) 0}  _2e^x _0 _2e^x _{ln 2 ln e}^xln 2 x x ln 2qui est cohérent avec le Ic.

De même, ^{f x'( ) 0}  _2e^x _0 _2e^x _{ln 2 ln e}^xln 2 x x ln 2. c. On en déduit le signe de la dérivée donc les variations de la fonction :

3. a. On a ^{f x( ) 2 x3} _{2x 3 e}^x _2x3 _e^x _0: or une exponentielle est toujours positive donc cette inéquation est toujours vraie.

Ainsi, f x( ) 2 x3pour tout x de [-2 ;5].

b. Résoudre l’inéquation f x( ) 2 x3revient à étudier les positions des courbes C et D :

par conséquent, la courbe C est toujours strictement au dessus de la droite D.

-1-2ln2 -ln2

2 3 4 5

-1 -2

2 3 4 5 6 7

-1 -2 -3

0 1

1

x y

x 2 ln 2 5

'( )

f x  +

( ) f x

2 7

e 

1 2 ln 2

 

7e^5