PanaMaths Mars 2012

PanaMaths Mars 2012

Soit f la fonction 2 π − périodique sur \ définie par :

( ) max 0 ; sin ( )

f x = x

Déterminer les coefficients de Fourier trigonométriques de f.

Analyse

Une application directe du cours sans difficulté majeure.

Résolution

Pour tout entier naturel n, on a :

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

0

0 0

0

0

1 cos

1 cos max 0 ; sin

1 1

cos max 0 ; sin cos max 0 ; sin

1 1

cos 0 cos sin

1 cos sin

an nx f x dx

nx x dx

nx x dx nx x dx

nx dx nx x dx

nx x dx

π π π

π

π π

π π

π

π π

π π

π π

π

−

−

−

−

=

=

= +

= × +

=

∫

∫

∫ ∫

∫ ∫

∫

En utilisant la relation : ^{cos sin 1 sin}

( )

^sin

( )

a b=2⎡⎣ a b+ − a b− ⎤⎦, on obtient :

( ) ( )

( ) ( ( ) )

0

0

1 cos sin

1 sin 1 sin 1

2

an nx x dx

n x n x dx

π

π

π π

=

⎡ ⎤

= ⎣ + − − ⎦

∫

∫

Pour n=1, on a :

( ) ( )

1 0

0

1 1 1

sin 2 cos 2 0

2 2 2

a x dx x

π π

π π

⎡ ⎤

=

∫

= ⎢⎣− ⎥⎦ =

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Pour n>1, on a :

( ) ( )

( ) ( ^{( )} )

( )

( ) ( ^{( )} )

( )

( ) ( ^{( )} )

( ) ( )

0

0

0

1 1

1 cos sin

1 sin 1 sin 1

2

1 1 1

cos 1 cos 1

2 1 1

1 1 1 1 1

cos 1 cos 1 cos 0 cos 0

2 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1

2 1 1 1 1

n

n n

a nx x dx

n x n x dx

n x n x

n n

n n

n n n n

n n n n

π

π

π

π π π

π π

π π

+ −

=

⎡ ⎤

= ⎣ + − − ⎦

⎡ ⎤

= ⎢⎣− + + + − − ⎥⎦

⎛ ⎞

= ⎜⎝− + + + − − + + − − ⎟⎠

⎛ ⎞

= ⎜⎝− + − + − − + + − − ⎟⎠

∫

∫

On doit donc ici distinguer suivant la parité de n :

• Si n est pair (n=2k) alors :

( ) ( )

( )

2 1 2 1

2

2

1 1 1 1 1

1 1

2 2 1 2 1 2 1 2 1

1 1 1 1 1

2 2 1 2 1 2 1 2 1

1 1 1

2 1 2 1

2

4 1

k k

a k

k k k k

k k k k

k k

k π π π π

+ −

⎛ ⎞

= ⎜⎝− + − + − − + + − − ⎟⎠

⎛ ⎞

= ⎜⎝ + − − + + − − ⎟⎠

⎛ ⎞

= ⎜⎝ + − − ⎟⎠

= −

−

On a, en particulier : ₀ 2 a ⁼π ^.

• Si n est impair (n=2k+1) alors :

( )

^{2 1 1}

( )

^{2 1 1}

2 1

1 1 1 1 1

1 1

2 2 1 2 1 2 1 2 1

1 1

2 2 1

k k

a k

k k k k

k π π

+ + + −

+ = ⎛⎜⎝− + − + − − + + − − ⎞⎟⎠

= −

+

1 2k 1

+ −

1 2k 1

+ +

1 2k 1

− −

0

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

=

Pour tout entier naturel n non nul, on a cette fois :

( ) ( )

( ) ( )

0

( )

1 sin

1 sin max 0 ; sin

1 sin sin

bn nx f x dx

nx x dx

nx x dx

π π π

π π

π π π

−

−

=

=

=

∫

∫

∫

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En utilisant la relation : ^{sin sin 1 cos}

( )

^cos

( )

a b= 2⎡⎣ a b− − a b+ ⎤⎦, on obtient :

( ) ( )

( ) ( ^{( )} )

0

0

1 sin sin

1 cos 1 cos 1

2

bn nx x dx

n x n x dx

π

π

π π

=

⎡ ⎤

= ⎣ − − + ⎦

∫

∫

Pour n=1, on a :

( ) ( )

( ) ( )

1 0

0

1 1 1

1 cos 2 sin 2

2 2 2

1 1

sin 2 0 sin 2 0

2 2 2

1 2

b x dx x x

π π

π π

π π π

π π

⎡ ⎤

= ⎡⎣ − ⎤⎦ = ⎢⎣ − ⎥⎦

⎛ ⎞

= ⎜⎝ − − + × ⎟⎠=

=

∫

Pour n>1, on a :

( ) ( )

( ) ( ^{( )} )

( )

( ) ( ^{( )} )

0

0

0

1 sin sin

1 cos 1 cos 1

2

1 1 1

sin 1 sin 1

2 1 1

bn nx x dx

n x n x dx

n x n x

n n

π

π

π

π π π

=

⎡ ⎤

= ⎣ − − + ⎦

⎡ ⎤

= ⎢⎣ − − − + + ⎥⎦

∫

∫

Comme, pour tout entier p on a : ^sin

( )

^{pπ =sin 0=0}, il vient : b_n =0. Finalement, la série de Fourier de f est définie par :

(

^{S f}

( ) ) ^{( )}

^{x π1 12sinx k 1π}

(

^{4k22 1}

)

^{cos 2}

^{( )}

^{kx π1 12sinx π2 k 1cos 24k}

^{( )}

^{2 kx1}

+∞ +∞

= =

= + + − = + −

− −

∑ ∑

Résultat final

La fonction f définie sur \, 2π−périodique et définie par : f x

( )

=max 0 ; sin

(

x

)

admet pour coefficients de Fourier trigonométriques :

( )

2 2

2

4 1

a k

π k

= −

− , a_2k+1=0, ₁ 1

b =2 et, pour n>1 : b_n =0

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Complément

A titre de complément, nous fournissons ci-dessous les courbes représentatives des

restrictions à l’intervalle

[

^{−π π;}

]

de la fonction f et des trois sommes partielles S1

( )

f (en pointillés noirs), S2

( )

f (en pointillés bleus) et S3

( )

f (en pointillés verts).