PanaMaths Mars 2012

(1)

PanaMaths Mars 2012

Soit f une fonction de classe C

²

^de

^*+

dans .

Soit alors F la fonction de

ⁿ

\ 0 ; 0 ;...; 0 { ( ) } dans définie par :

(

1 2

)

1² 2² ²

F x x , , , x

_n

f

^⎛_⎜

x x ... x

_n ^⎞_⎟

⎝ ⎠

= + + +

…

Donner le Laplacien de F en fonction de f.

Analyse

Dans cet exercice, on s’intéresse au Laplacien d’une fonction qui est fondamentalement une fonction de la seule distance euclidienne x₁²+x₂²+ +... x_n². On est ainsi amené à dériver partiellement des fonctions composées et on obtient un résultat classique.

Résolution

Introduisons la fonction g de ⁿ dans définie par :

(

1, 2, ..., _n

)

1² 2² ... _n² g x x x = x +x + +x

Dans ces conditions : F

(

x x1, 2, ...,x_n

)

= f g x x

( (

1, 2, ...,x_n

) )

=

(

f g

)(

x x1, 2, ...,x_n

)

.

On cherche :

(

1 2

)

²2

(

1 2

)

1

F , , ..., F , , ...,

n

n n

i i

x x x x x x

= x

Δ = ∂

∑

∂ ^. Soit alors i un entier quelconque dans 1 ;n .

On a :

(

1 2

) (

1 2

) ( )(

1 2

)

F , , ..., _n , , ..., _n ' , , ..., _n

i i

x x x g x x x f g x x x

x x

∂ = ∂ ×

∂ ∂ .

En tenant compte de :

(

1 2

)

, , ..., _n 2

i

g x x x

x

∂ =

∂ 2

xi

2 2 2 2 2 2

1 2 ... 1 2 ...

i

n n

x

x x x x x x

+ + + = + + + , il vient :

( ) ( ) ( )( )

( )

1 2 1 2 1 2

2 2 2

1 2

2 2 2

1 2

F , , ..., , , ..., ' , , ...,

' ...

...

n n n

i i

i

n n

x x x g x x x f g x x x

x x

x f x x x

x x x

∂ = ∂ ×

∂ ∂

= × + + +

+ + +

(2)

PanaMaths Mars 2012

On peut dériver partiellement une deuxième fois par rapport à x_i.

Introduisons d’abord la fonction h_i définie ⁿ^\

{ (

0 ; 0 ; ... ; 0

) }

dans définie par :

(

¹ ²

) (

¹ ²

)

₂ ₂ ₂

(

¹² ²² ²

)

¹²

1 2

, , ..., , , ..., ...

...

i

i n n i n

i n

x

h x x x g x x x x x x x

x x x x

∂ −

= = = + + +

∂ + + +

Dans ces conditions :

( ) ( )

( ) ( )( )

2 2 2

1 2 2 2 2 1 2

1 2

1 2 1 2

F , , ..., ' ...

...

, , ..., ' , , ...,

i

n n

i n

i n n

x x x x f x x x

x x x x

h x x x f g x x x

∂ = × + + +

∂ + + +

= ×

On a alors :

( ) ( ) ( )

( )

1 1

2 2 2 2 2 2 2 2 1

1 2 1 2 1 2

2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 2 1 2 1 2

2 2 2 2

1 2

2 2 2 2 2 2

1 2 1 2

, , ..., ... 1 2 ...

2 1

... ... ...

...

... ...

i

n n i i n

i

n n n

n i

n n

h x x x x x x x x x x x

x

x x x x x x x x x

x x x x

x x x x x x

− − −

∂ = + + + + × −⎛⎜ ⎞⎟× × + + +

∂ ⎝ ⎠

= −

+ + + + + + + + +

+ + + −

= + + + + + +

Puis :

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

( )

( ) ( )( )

( )

2

1 2 1 2 1 2

2

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

2

1 2 1 2

2 2 2 2

1 2

2 1

F , , ..., , , ..., ' , , ...,

, , ..., , , ..., '' , , ...,

, , ..., ' , , ...,

, , ..., '' , , ...,

...

i

n n n

i i

i n n n

i i

n n

i

i n n

n i

x x x h x x x f g x x x

x x

h x x x g x x x f g x x x

x

h x x x f g x x x

x

h x x x f g x x x

x x x x

x

∂

∂ = ×

∂ ∂

+ ×∂ ×

∂

= ∂ ×

∂

+ ×

+ + + −

=

(

+

) ( )

( )

( ) ( )

( )

2 2 2

1 2

2 2 2 2 2

2 1 2

2

2 2 2

1 2

2 2 2

1 2

2 2 2 2

1 2 2 2 2

1 2

2 2 2 2 2 2

1 2 1 2

2

2 2 2

1 2

2 2 2

1 2

' ...

... ...

'' ...

...

... ' ...

... ...

'' ...

...

n

n n

i

n n

n i

n

n n

i

n n

f x x x

x x x x x

x f x x x

x x x

x x x x

f x x x

x x x x x x

x f x x x

x x x

× + + +

+ + + + +

⎛ ⎞

⎜ ⎟

+⎜⎝ + + + ⎟⎠ × + + + + + + −

= × + + +

+ + + + + +

+ × + + +

+ + +

(3)

PanaMaths Mars 2012

En sommant alors sur l’indice i, il vient :

( ) ( )

( )

2 2 2 2

2 1 2 2 2 2

1 2 1 2

2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 2 1 2

2

2 2 2

1 2

2 2 2

1 1 2

2 2 2

1 2

2 2 2 2 2

1 2 1 2

F ...

, , ..., ' ...

... ...

'' ...

...

' ...

... ...

n n

n i

n n

i i i n n

n

i

n

i n

n

x x x x

x x x f x x x

x x x x x x x

x f x x x

x x x

f x x x

x x x x x

= =

=

⎧ + + + − ⎫

∂∂ = ⎪⎨⎪⎩ + + + + + + × + + + ⎪⎬⎪⎭

⎧ ⎫

+ ⎨⎩ + + + × + + + ⎬⎭ + + +

= + + + + +

∑ ∑

∑

( )

{ }

( )

( ) ( )

( )

2 2 2 2

1 2

2 1

2 2 2

1 2

2

2 2 2

1 2 1

2 2 2

1 2

2 2 2 2

1 2

2 2 2 2 2 2

1 2 1 2 1

2 2 2

1 2

2 2

1 2

2 2 2

1 2

...

'' ...

...

' ...

...

... ...

'' ...

... ...

n

n i

n n

i n i

n n

n i

n n i

n n

x x x x

x

f x x x

x x x x

f x x x

n x x x x

x x x x x x

f x x x

x x x

=

× + + + −

+ + + +

+ ×

+ + +

+ + + ⎧ ⎫

= ×⎨ + + + − ⎬

⎩ ⎭

+ + + + + +

+ + +

+ × + + +

+ + +

∑

( )

( ) ⁽ ⁾ ( )

( )

( ) ( )

2

2 2 2

1 2

2 2 2

1 2

2 2 2 2 2 2

1 2 1 2

2 2 2

1 2

2 2 2 2 2 2

1 2 1 2

2 2 2

1 2

' ...

1 ...

... ...

'' ...

1 ' ... '' ...

...

n

n n

n

n n

n

f x x x

n x x x

x x x x x x

f x x x

n f x x x f x x x

x x x

+ + +

= × − + + +

+ + + + + +

+ + + +

= − + + + + + + +

+ + + En définitive :

( ) ( )

2

1 2 2 1 2

1

2 2 2 2 2 2

1 2 1 2

2 2 2

1 2

F , , ..., F , , ...,

1 ' ... '' ...

...

n

n n

i i

n n

n

x x x x x x

x

n f x x x f x x x

x x x

=

Δ = ∂

∂

= − + + + + + + +

+ + +

∑

En posant classiquement r= x₁²+x₂²+ +... x²_n , on a :

(

1 2

)

²2

(

1 2

) ( ) ( )

1

F 1

F , , ..., , , ..., ' ''

n

n n

i i

x x x x x x n f r f r

x r

=

∂ −

Δ = = +

∑

∂

(4)

PanaMaths Mars 2012

Résultat final

(

1 2

)

²2

(

1 2

) ( ) ( )

1

F 1

F , , ..., , , ..., ' ''

n

n n

i i

x x x x x x n f r f r

x r

=

∂ −

Δ = = +

∑

∂

où r= x₁²+x₂²+ +... x_n²