IU T SRC2 TD2 matrices
TD2 : pivot de gauss
La méthode du pivot de gauss permet de transformer un système linéaire en un autre système équivalent, triangulaire (donc facile à résoudre). Pour cela on peut :
• échanger deux lignes du système,
• multiplier une ligne par un nombre non nul,
• additionner le multiple d’une ligne à une autre ligne.
Exercice 1 : systèmes triangulaires
Résoudre le système :
2 −1 −2 1
0 1 1 1
0 0 2 −2 0 0 0 −1
x y z t
=
1
−1 1
−1
Pourquoi résoudre un système triangulaire est-il facile ?
Résoudre
2 0 0 0
0 −1 0 0
0 0 6 0
0 0 0 −13
x y z t
=
1
−1 1
−1
Pourquoi résoudre un système diagonal est-il encore plus facile ?
Remarque : un système à n équations n inconnues a une et une seule solution si et seulement si la matrice de ce système a un déterminant non nul. Voir en bas du TD pour la définition du déterminant d’une matrice2×2et d’une matrice triangulaire.
Exercice 2 : pivot de gauss
Il s’agit d’obtenir unsystème triangulaire. Soit à résoudre :
x −y +2z = 5
3x +2y +z = 10 2x +3y −2z = −10
• Le premier monôme de la première ligne va nous servir de premier pivot : on ôte ou on rajoute la première ligne le nombre de fois qu’il faut pour faire disparaître lesxsur les autres lignes.
• Ensuite, on passe à la deuxième ligne (on ne s’occupe plus de la première). Le nouveau pivot est le deuxième monôme (y). On fait disparaître les y des lignes suivantes (3,4,...).
• Si l’un des pivots vaut zéro, il faut intervertir avec une des lignes suivantes.
• etc. A la fin on obtient un systèmetriangulaire.
• On peut résoudre ce système en remontant :
le premier pivot est désormais le dernier de la dernière ligne (le seul non nul), le suivant l’avant-dernier de l’avant dernière ligne, etc...
– On commence à diviser la ligne par la valeur du pivot6= 0, de façon à avoir un pivot valant 1.
– On retranche la ligne courante le nombre de fois qu’il faut pour faire apparaître des zéros au-dessus du pivot.
– On recommence avec le pivot du dessus.
• Par commodité, on note le système (que l’on va résoudre ensemble, vous ferez les autres sur le même modèle) ainsi souvent :
1 −1 2 5 3 2 1 10 2 3 −2 −10
1. Résoudre par pivot de gauss les systèmes :
x +2y −3z = 4 2x +y +3z = 9 x −y +2z = 3
puis
2x +y −2z +t = 0 3x −y +2z −2t = 6
−x +2y −2z −t = −3
x −y +2z −t = 3
puis
x +2y −3z = 3 2x +4y +2z = 2 x −y +2z = 3
IU T SRC2 TD2 matrices
Exercice 3 : cas où la matrice n’est pas inversible
Essayez de résoudre les systèmes suivants par la méthode du pivot de gauss :
x +y +z = 1 x +2y +3z = 2 x +5y +7z = 5
puis
x +y +z = 1 x +2y +3z = 2 x +5y +7z = 6
Que se passe-t-il ? Vérifiez grâce aux formules ci- dessous qu’en fait le déterminant de la matrice de ces systèmes est nul et qu’elles ne sont donc pas inversibles.
Quelques rapides notions sur le déterminant
• Le déterminant est un réel qui caractérise une matricecarrée. Ce qui va nous intéresser, c’est de voir s’il est nul ou non nul.
• Si le déterminant d’une matrice est nulle, celle-ci n’est pas inversible (impossible de trouver une matriceB telle queA×B =I). Une des lignes de la matrice peut dans ce cas être écrite comme une combinaison linéaire des autres lignes (autrement dit, une des équations du système sous-jacent peut être déduite des autres équations, elle n’apporte donc aucune information nouvelle, ou elle est en contradiction avec d’autres équations).
• Le déterminant d’une matrice2×2
µ a b c d
¶
estac−bd.
• Le déterminant d’une matrice triangulaire est le produit des éléments de sa diagonale ; une matrice triangulaire est donc inversible si et seulement si tous ses éléments diagonaux sont non nuls.
• Le déterminant d’une matrice3×3
a b c d e f h i j
estaej+bf h+dic−ceh−bdj−f ia.
• det(AB) =det(A)det(B)(le déterminant d’un produit de matrice est le produit des déterminants).
Exercice 4
SoientAetBdeux matrices inversibles. Montrez qu’alorsABest inversible et que(AB)−1=B−1A−1. Qu’en est-il deBA?
