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2650uh17 Pivot de Gauss.doc/1402
Méthode du pivot de Gauss
Soit le système S1 :
=
−
=
−
=
−
1 0 0 z y
z x
y x
. Par
+
←
−
← +
←
3 2 3
2 1 2
3 1 1
L L L
L L L
L L L
, il devient S2 :
=
− +
= +
−
=
−
1 2
0 1 z y x
z y
z x
.
Le triplet (x, y, z) = (1, 0, 0) est solution de S2. Et il y en a d’autres !
Or, S1 n’a pas de solution, car les deux premières lignes impliquent que x = y = z, en contradiction avec la troisième.
En fait, S1 implique S2, mais ne lui est pas équivalent.
La méthode du pivot de Gauss précise les combinaisons qui fournissent un système équivalent à un système donné : Li← Li± aLj a ≠ 0, i ≠ j.
Sa non-application peut conduire à des erreurs.
Résoudre les systèmes suivants par la méthode du pivot de Gauss : 1)
−
=
− +
−
= +
−
−
=
− +
9 2 3
12 4
2
9 3 2
z y x
z y x
z y x
2)
−
= + +
−
= +
−
=
− +
3 2 2 2
5 3 10
z y x
z y x
z y x
3)
−
= +
−
−
=
−
−
=
−
−
33 2
5
3 2 5 2
11 2
3
z y x
z y x
z y x
4)
−
=
−
−
−
= + +
= + +
9 14 3 3
7 6 7 2
3 4 2
z y x
z y x
z y x
5)
−
=
−
−
−
= + +
= + +
8 14 3 3
7 6 7 2
3 4 2
z y x
z y x
z y x
.
Solutions
1)
−
=
− +
−
= +
−
−
=
− +
9 2 3
12 4
2
9 3 2
z y x
z y x
z y x
1 3 3
1 2 2 1
L 3 L L
L 2 L L L
+
←
−
← ⇔
−
=
−
= +
−
−
=
− +
36 11 6
30 7 8
9 3 2
z y
z y
z y x
2 3 3 2 1
4L L 3 L L L
+
←
⇔
−
=
−
= +
−
−
=
− +
2 33 4
33 30 7 8
9 3 2
z z y
z y x
2 3 3 2 1
4L L 3 L L L
+
←
⇔
=
−
=
=
2 2 1 z y x
2 3 3 2 1
4L L 3 L L L
+
←
: S = {(1, −2, 2)}.
2) S = {(2, 0, −1)}.
3) S = {(4, 3, −5)}.
4)
−
=
−
−
−
= + +
= + +
9 14 3 3
7 6 7 2
3 4 2
z y x
z y x
z y x
1 3 3
1 2 2 1
L 3 L L
L 2 L L L
+
←
−
← ⇔
=
−
=
−
= + +
0 2 3
1 2 3
3 4 2
z y
z y
z y x
: S = ∅.
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5)
−
=
−
−
−
= + +
= + +
8 14 3 3
7 6 7 2
3 4 2
z y x
z y x
z y x
1 3 3
1 2 2 1
L 3 L L
L 2 L L L
+
←
−
←
⇔
=
−
=
−
= + +
1 2 3
1 2 3
3 4 2
z y
z y
z y x
:
S = {(
3 16 7− z
, 3 2 1+ z
, z) / z ∈} = {(5−8y, y,
2 1 3y−
) / y ∈}
= {(x, 8 5−x
, 16 3 7− x
) / x ∈}.
