Lycée Louis-Le-Grand,Paris 2020/2021 MPSI 4– Mathématiques
A. Troesch
Programme des colles de la semaine 15 (01/02 – 05/02)
TOUS LES ÉLÈVES DEVRONT ÊTRE INTERROGÉS DANS UN PREMIER TEMPS SUR UN CALCUL ÉLÉ- MENTAIRE D’ÉQUIVALENT, ou de limite nécessitant des équivalents, afin de tester leur maîtrise des équivalents (connaissance et utilisation des équivalents classiques et des règles usuelles de manipulation ; en particulier équivalent d’une somme par un argument de négligeabilité ou en revenant auxo)
Chapitre 12 : Suites
Ce chapitre pourra faire l’objet d’un exercice de révision s’associant à des techniques asymptotiques.
Chapitre 13 : Calcul asymptotique
ATTENTION, TOUJOURS PAS DE DÉVELOPPEMENT LIMITÉ CETTE SEMAINE.
1. Domination, négligeabilité
‚ Domination pour les suites, parM, caractérisation par l’existence d’une suite bornéeµtelle queun“µnvn
‚ Négligeabilité pour les suites de même.
‚ Reformulation sur le quotient lorsque la suite à laquelle on compare ne s’annule pas.
‚ Notations de Bachmann (O) et Landau (o)
‚ Notations de KnuthΘetΩ, peu utilisées en mathématique mais beaucoup en informatique.
‚ Réexpression des crossances comparées avec notation de Landau.
‚ Interprétation deOp1q,op1q.
‚ Propriétés de trasitivité deo, O
‚ Sommes et produits deo,O
‚ (HP)oest une relation d’ordre stricte sur l’ensemble des suites non ultimement nulles.
‚ (HP)O est une relation d’ordre sur le quotient parΘ.
‚ Extension au cas des fonctions au voisinage d’un point aPR. Caractérisation séquentielle.
2. Équivalents
‚ Équivalence entre deux suites (définie parun“αnvn,αnÑ1)
‚ C’est une relation d’équivalence
‚ Caractérisationun “vn`opvnq
‚ Équivalent d’un polynôme.
‚ Propriété de conservation des limites, réciproque vraieseulement siℓ‰0,˘8.
‚ Propriété de conservation du signe
‚ Produit, quotient d’équivalents,uαn.
‚ Substitution dans unoouO d’un terme par un équivalent.
‚ Cas des fonctions, caractérisation séquentielle.
‚ Reformulation des limites remarquables : équivalents classiques pour les fonctions usuelles.
‚ Formule de Stirling (démonstration vue en DM,non exigible)
‚ Attention aux sommes et aux compositions d’équivalents.
‚ Passage d’un équivalent auln par mise en facteur du terme dominant.
‚ Obtention d’un équivalent d’une exponentielle en développant l’exposant à la précisionop1q.
Chapitre 18 : Pivot de Gauss
Nous n’abordons dans ce chapitre que la résolution des systèmes linéaires par la méthode du pivot. Les autres ap- plications de la méthode du pivot (calcul de rang, inversion de matrices, calcul de déterminants...) seront abordées ultérieurement.
PEU DE PRATIQUE POUR LE MOMENT. NOUS N’AVONS TRAITÉ EN COURS QUE DES SYSTÈMES SIMPLES ET SANS PARAMÈTRES.
1. Reformulation matricielle
‚ Définition coefficient par coefficient de la somme et du produit de matrices (aucune pratique n’est requise pour le moment concernant le calcul matriciel).
‚ On admet pour le moment les propriétés usuelles (associativité, distributivité etc.). Mise en garde sur la non commutativité du produit.
‚ Reformulation matricielle d’un système linéaire.
‚ Théorème de structure (solution particulière + solutions de l’équation homogène).
2. Échelonnement d’une matrice par la méthode du pivot
‚ Opérations admissibles sur les lignes.
‚ Matrice augmentée d’un système (avec second membre)
‚ Le système dont la matrice augmentée est obtenue en effectuant une opération admissible sur la matrice augmentée du système initial est équivalent au système initial.
‚ Équivalence par lignes entre deux matrices (fermeture transitive de la relation consistant à faire une opération admissible)
‚ Matrice échelonnée. Système échelonné.
‚ Description de l’algorithme du pivot de Gauss. Terminaison et correction.
‚ Réduite de Gauss d’une matrice.
3. Résolution d’un système échelonné
‚ Inconnues principales et secondaires d’un système échelonné (la définition générale d’inconnues principales et secondaires n’a pas été vue).
‚ Recherche d’une solution particulière en annulant les inconnues secondaires.
‚ Recherche de la solution de l’équation homogène en annulant le second membre, et en exprimant les inconnues principales en fonction des inconnues secondaires, en remontant à partir du bas.
‚ Expression du résultat comme combinaison linéaire de vecteurs, en séparant le vecteur constant et les contributions de chaque inconnue secondaire. On n’a pas évoqué l’indépendance linéaire des vecteurs ainsi obtenus pour la partie homogène.
‚ Remarque 1 : on peut regrouper les deux étapes (solution particulière et solutions générales).
‚ Remarque 2 : on peut au préalable prolonger la méthode du pivot (effectuer un pivot remontant), en reprenant les pivots en sens inverse (pour minimiser les calculs) et en annulant les coefficients au-dessus des pivots. À l’issue d’un pivot remontant, l’expression des solutions est quasi-immédiate et ne demande plus de calcul.
‚ Remarque 3 : La présentation matricielle n’est qu’une commodité, on pourrait tout faire sur le système directement. Mais c’est une présentation commode, économique (on n’a pas à réécrire les inconnues) et rationnelle (tout est bien rangé, notamment les alignements sont plus clairs)
Chapitre 19 : Structures algébriques
UNIQUEMENT LE COURS CETTE SEMAINE. MERCI DE NE PAS DONNER D’EXERCICE SUR CE SUJET.
1. Lois de composition
‚ Loi de composition interne, externe.
‚ Associativité, associativité généralisée.
‚ Commutativité, commutativité généralisée en cas d’associativité (démonstration non exigible)
‚ Usage :`est réservé à des lois commutatives.
‚ Neutre à droite, neutre à gauche, neutre. L’existence d’un neutre à droite et à gauche entraîne l’existence d’un neutre, et unicité du neutre, du neutre à gauche et du neutre à droite.
‚ Usage :0E pour un neutre additif, 1E ouepour un neutre multiplicatif.
‚ Symétrique à gauche, à droite. Symétrique. En cas d’associativité, unicité du symétrique. Symétrique de x‹y.
‚ usage : inversex´1 pour une loi multiplicative, opposé´xpour une loi additive.
‚ Élément absorbant.
‚ Élément régulier (ou simplifiable). Régularité des éléments symétrisables. La réciproque est fausse.
‚ Distributivité. Distributivité généralisée (`commutative,`etˆassociatives).
‚ Associativités externes :
˚ entre une loi externe surE, d’opérateursΩet une loi interne surΩ:pλ‹µq ¨x“λ¨ pµ¨xq
˚ entre une loi externe surE et une loi interne surE : λ¨ pxˆyq “ pλ¨xq ˆy.
‚ Sous-ensemble stable par une loi. Loi induite.
2. Notion de structure algébrique
‚ Qu’est-ce qu’une structure algébrique ? Ensemble muni d’une structure.
‚ Exemples évoqués : magma, monoïde, groupe.
‚ Structure induite sur un sous-ensemble. Elle peut être moins riche que la structure initiale. Les propriétés universelles sont préservées, mais pas toujours les propriétés existencielles.
‚ Sous-truc d’un truc.
‚ Notion de morphisme (ou homomorphisme) de truc : respect des lois et des neutres.
‚ Endomorphisme, isomorphisme, automorphisme.
‚ La composée de deux applications respectant une loi (interne ou externe) ou un neutre respectent encore cette loi ou ce neutre. Ainsi, la composée de deux homomrophismes est un homomorphisme (on ne le redémontrera plus dans les situations particulières évoquées plus tard).
‚ Si f est bijective et respecte une loi (interne ou externe) ou un neutre, alorsf´1 respecte également la loi ou le neutre. Ainsi, la réciproque d’un isomorphisme est un isomorphisme ; nous ne le redémontrerons pas par la suite dans les situations particulières.
