Lycée Louis-Le-Grand,Paris 2020/2021 MPSI 4– Mathématiques
A. Troesch
Programme des colles de la semaine 16 (08/02 – 12/02)
Chapitre 18 : Pivot de Gauss
Nous n’abordons dans ce chapitre que la résolution des systèmes linéaires par la méthode du pivot. Les autres ap- plications de la méthode du pivot (calcul de rang, inversion de matrices, calcul de déterminants...) seront abordées ultérieurement.
1. Reformulation matricielle
‚ Définition coefficient par coefficient de la somme et du produit de matrices (aucune pratique n’est requise pour le moment concernant le calcul matriciel).
‚ On admet pour le moment les propriétés usuelles (associativité, distributivité etc.). Mise en garde sur la non commutativité du produit.
‚ Reformulation matricielle d’un système linéaire.
‚ Théorème de structure (solution particulière + solutions de l’équation homogène).
2. Échelonnement d’une matrice par la méthode du pivot
‚ Opérations admissibles sur les lignes.
‚ Matrice augmentée d’un système (avec second membre)
‚ Le système dont la matrice augmentée est obtenue en effectuant une opération admissible sur la matrice augmentée du système initial est équivalent au système initial.
‚ Équivalence par lignes entre deux matrices (fermeture transitive de la relation consistant à faire une opération admissible)
‚ Matrice échelonnée. Système échelonné.
‚ Description de l’algorithme du pivot de Gauss. Terminaison et correction.
‚ Réduite de Gauss d’une matrice.
3. Résolution d’un système échelonné
‚ Inconnues principales et secondaires d’un système échelonné (la définition générale d’inconnues principales et secondaires n’a pas été vue).
‚ Recherche d’une solution particulière en annulant les inconnues secondaires.
‚ Recherche de la solution de l’équation homogène en annulant le second membre, et en exprimant les inconnues principales en fonction des inconnues secondaires, en remontant à partir du bas.
‚ Expression du résultat comme combinaison linéaire de vecteurs, en séparant le vecteur constant et les contributions de chaque inconnue secondaire. On n’a pas évoqué l’indépendance linéaire des vecteurs ainsi obtenus pour la partie homogène.
‚ Remarque 1 : on peut regrouper les deux étapes (solution particulière et solutions générales).
‚ Remarque 2 : on peut au préalable prolonger la méthode du pivot (effectuer un pivot remontant), en reprenant les pivots en sens inverse (pour minimiser les calculs) et en annulant les coefficients au-dessus des pivots. À l’issue d’un pivot remontant, l’expression des solutions est quasi-immédiate et ne demande plus de calcul.
‚ Remarque 3 : La présentation matricielle n’est qu’une commodité, on pourrait tout faire sur le système directement. Mais c’est une présentation commode, économique (on n’a pas à réécrire les inconnues) et rationnelle (tout est bien rangé, notamment les alignements sont plus clairs)
Chapitre 19 : Structures algébriques
1. Lois de composition
‚ Loi de composition interne, externe.
‚ Associativité, associativité généralisée.
‚ Commutativité, commutativité généralisée en cas d’associativité (démonstration non exigible)
‚ Usage :`est réservé à des lois commutatives.
‚ Neutre à droite, neutre à gauche, neutre. L’existence d’un neutre à droite et à gauche entraîne l’existence d’un neutre, et unicité du neutre, du neutre à gauche et du neutre à droite.
‚ Usage :0E pour un neutre additif, 1E ouepour un neutre multiplicatif.
‚ Symétrique à gauche, à droite. Symétrique. En cas d’associativité, unicité du symétrique. Symétrique de x‹y.
‚ usage : inversex´1 pour une loi multiplicative, opposé´xpour une loi additive.
‚ Élément absorbant.
‚ Élément régulier (ou simplifiable). Régularité des éléments symétrisables. La réciproque est fausse.
‚ Distributivité. Distributivité généralisée (`commutative,`etˆassociatives).
‚ Associativités externes :
˚ entre une loi externe surE, d’opérateursΩet une loi interne surΩ: pλ‹µq ¨x“λ¨ pµ¨xq
˚ entre une loi externe surE et une loi interne surE : λ¨ pxˆyq “ pλ¨xq ˆy.
‚ Sous-ensemble stable par une loi. Loi induite.
2. Notion de structure algébrique
‚ Qu’est-ce qu’une structure algébrique ? Ensemble muni d’une structure.
‚ Exemples évoqués : magma, monoïde, groupe.
‚ Structure induite sur un sous-ensemble. Elle peut être moins riche que la structure initiale. Les propriétés universelles sont préservées, mais pas toujours les propriétés existencielles.
‚ Sous-truc d’un truc.
‚ Notion de morphisme (ou homomorphisme) de truc : respect des lois et des neutres.
‚ Endomorphisme, isomorphisme, automorphisme.
‚ La composée de deux applications respectant une loi (interne ou externe) ou un neutre respectent encore cette loi ou ce neutre. Ainsi, la composée de deux homomrophismes est un homomorphisme (on ne le redémontrera plus dans les situations particulières évoquées plus tard).
‚ Si f est bijective et respecte une loi (interne ou externe) ou un neutre, alorsf´1 respecte également la loi ou le neutre. Ainsi, la réciproque d’un isomorphisme est un isomorphisme ; nous ne le redémontrerons pas par la suite dans les situations particulières.
ATTENTION, QUASIMENT PAS D’EXERCICES TRAITÉS EN COURS POUR LE MOMENT SUR LES GROUPES : 3. Groupes
‚ Structure de groupe
˚ Axiomatique de la structure de groupe. Unicité du neutre et des symétriques. Régularité des éléments.
˚ Groupe abélien.
˚ Notation multiplicative, additive. Notations pour l’itération de la loi :xn,nx.
˚ Homomorphisme de groupe. Le respect du neutre découle du respect des lois.
˚ Exemples de groupes : les ensembles de nombres usuels, avec `ou ˆ (en enlevant 0) ; U, Un, Z{nZ, pZ{pZzt0u,ˆq,SX et en particulierSn (aucune étude approfondie deSn n’est faite à ce stade, cela fera l’objet d’un chapitre ultérieur)
˚ Exemples de morphismes :exp,ln, ZÑUn,ZÑZ{nZ,Z{nZÑUn...
‚ Sous-groupes
˚ Sous-groupe. Appartenance du neutre à un sous-groupe.
˚ Caractérisation des sous-groupes en 3 points (en séparant stabilité par la loi et par la prise de symétrique) et en 2 points.
˚ Notion de sous-groupe propre.
˚ Intersection de sous-groupes.
˚ Sous-groupe xXyengendré par une partieX de G. Description par le haut (intersection) et par le bas (produits d’éléments deXYX´1). CNS sur X pour quexXysoit abélien.
˚ Cas où X “ txu. Notation simplifiée xxy au lieu de xtxuy. Sous-groupe monogène. Description des éléments dexxy.
˚ Sous-groupes deZ. Sous-groupes de pR,`q. Rapprochement avec la démonstration qu’on avait faite de la description des périodes d’une fonction.
‚ Classes à gauche et droite, groupes quotients, théorème de Lagrange.
On limitera en colle l’utilisation des quotients pas trop au programme. On pourra utiliser plus largement le théorème de Lagrange en revanche.
˚ Classes à gauche et à droite (définies directement par produit, sans définir la relation de conngruence associée).
˚ Égalité des cardinaux des classes.
˚ Théorème de Lagrange pour l’ordre des sous-groupes.
˚ (HP) Notion de sous-groupe distingué (ou normal) par l’égalité des classes à gauche et à droite. Équiva- lence à la stabilité par conjugaison. Description du produit des classes (i.e. produit élément par élément) par l’égalité (ensembliste) paHqpbHq “ pabqH.
˚ (HP) Groupe quotient (démo de la structure de groupe non exigible). Exemple important :Kerpfq.
˚ (HP) Premier théorème d’isomorphisme (démonstration non exigible)
˚ Cas d’un groupe abélien : tout sous-groupe est distingué et on peut donc toujours construire le groupe quotient.
‚ Groupes monogènes, ordre d’un élément, encore Lagrange
˚ Notion de (sous)-groupe monogène.
˚ Notion d’ordre d’un élément. Description de l’ensemble des entiers n tels que xn “ e en fonction de l’ordre de x.
˚ Classification des groupes monogènes (isomorphes à Zou Z{nZ). Lien entre l’ordre de x et l’ordre de ăxą. Groupe cyclique.
˚ Théorème de Lagrange pour l’ordre des éléments. Exemple : petit théorème de Fermat.
UNIQUEMENT LE COURS POUR LE PARAGRAPHE SUIVANT : 4. Anneaux et corps
‚ Définitions
˚ Définition d’un anneau (un anneau est par définition unifère). Anneau commutatif.
˚ 0 est absorbant.
˚ 1‰0dans tout anneau ayant au moins 2 éléments.
˚ Homomorphisme d’anneaux (respect des lois et de1)
‚ Sous-anneaux
˚ Définition, caractérisations, exemples.
˚ Intersection d’anneaux.
˚ Image (directe, réciproque) d’un sous-anneau par un homomorphisme d’anneau.
‚ Calculs dans un anneau
˚ Formule de Bernoulli : factorisation dean´bn lorsqueaetb commutent
˚ Formule du binôme lorsqueaetbcommutent. La démonstration (vu dans le cadre complexe) n’a pas été refaite, mais doit être revue, en comprenant bien où interviennent les différentes propriétés, notamment l’associativité, la distributivité et surtout la commutativité deaet b.
‚ Éléments inversibles, régularité
˚ Groupe des inversibles d’un anneau
˚ Diviseurs de0.
˚ Dans un anneau, un élément non nul est régulier ssi il n’est pas diviseur de0.
˚ Avertissement : il peut exister des éléments réguliers non inversibles (cf Z).
˚ Anneau intègre.
‚ Corps
˚ Définition. Attention, par définition, un corps est commutatif.
˚ Exemples. NotammentZ{pZ, renomméFp lorsqu’on considère sa structure de corps.
˚ Sous-corps. Caractérisation.
˚ Homomorphisme de corps. Injectivité des homomorphismes de corps (HP)
˚ Caractéristique d’un corps. Si la caractéristique est non nulle, elle est première.
‚ Idéaux
Dans ce paragraphe, l’anneauA est supposé commutatif.
˚ Définition. Exemples. Idéaux deZ.
˚ Idéal engendré para, notationpaq, paq “aA.
˚ Notion d’idéal principal. Anneau principal. Exemple :Z.
