Université Paris 13, Institut Galilée MACS 1 – Intégration et probabilités Année universitaire 2012-2013
Examen partiel du 15 mars 2013
Durée : 3 heures
Documents autorisés, appareils électroniques interdits.
Toute réponse doit être soigneusement rédigée et justifiée.
Exercice 1. Soit(E,E, µ)un espace mesuré, etf :E→Rune fonction mesurable positive.
1.Pourn∈N, on note
An={x∈E|f(x)≥n}.
1.a)Montrer que
Z
An
f dµ≥nµ(An).
1.b)En déduire que, sif est intégrable, alorsnµ(An)−→
n 0.
2.Pourn∈N, on note
Bn ={x∈E|n≤f(x)< n+ 1}.
2.a)Montrer que les ensemblesBn (oùn∈N) sont disjoints. Quelle est leur réunion ? 2.b)Donner un encadrement de
Z
Bn
f dµ (en fonction deBn) et en déduire que
X
n≥0
nµ(Bn)≤ Z
f dµ≤µ(E) +X
n≥0
nµ(Bn).
Exercice 2. On considère la fonction
F :x7→F(x) = Z
R
cos(tx)e−t2dt.
1.Justifier queF est bien définie surR. 2.Montrer queF est continue surR.
3.Montrer queF est de classeC1 surRet donner une expression (intégrale) de F0(x).
4.À l’aide d’une intégration par parties, montrer queF est solution de l’équation différentielle
y0 =−x 2y.
Indication : On remarquera quet7→2te−t2 est la dérivée det7→ −e−t2.
5.On en déduit donc que F(x) = Ce−x2/4 où C est une constante. Déterminer C. On rappelle l’intégrale R
Re−t2dt=√
π, vue en TD.
6.Justifier l’existence de l’intégrale suivante, et la calculer à l’aide de ce qui précède : Z
R2
cos(xy)e−(x2+y2)dx dy.
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Exercice 3.
1.Soitf ∈L1(R2), telle queR
R2f(x, y)dxdy= 1. Calculer Z
R2
f(2x−y, x+y)dxdy.
2.Soit α∈ R. On note D = {(x, y) ∈ R2|x2+y2 ≤ 1} le disque unité de R2. À l’aide d’un changement de variables, calculer l’intégrale suivante :
Iα= Z
D
(x2+y2)αdxdy et préciser pour quelles valeurs deαon aIα<∞.
Exercice 4. Soitf ∈L1(R). On définit, pourx∈R,
F(x) = Z x+1
x
f(t)dt.
1.Soity∈R. Pour quelles valeurs de x∈Ra-t-on1[x,x+1](y) = 1? En déduire la valeur de Z
R1[x,x+1](y)dx.
2.Montrer queF est intégrable et que Z
F(x)dx= Z
f(t)dt.
On pourra supposer d’abord que f est positive, puis en déduire le cas général.
3.On souhaite étudier la limite deF en+∞.
Soit (xn)n une suite qui diverge vers +∞. Pour y ∈ R, quelle est la limite de 1[xn,xn+1](y)? En déduire que F(xn) −→
n→+∞0. Conclure.
4.On suppose maintenant non plusf ∈L1(R)maisf ∈L2(R).
4.a)Montrer que
Z x+1
x
|f(y)|dy≤ s
Z x+1
x
f(y)2dy en déduire queF(x)est encore bien défini pour toutx∈R, et que
F(x)
≤
s Z x+1
x
f(y)2dy.
4.b)À l’aide de la question 3 (et de 4.a)), déterminer lim
x→∞F(x).
4.c)À l’aide de la question 2 (et de 4.a)), montrer que Z
F(x)2dx≤ Z
f(t)2dt.
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