Université Paris 13, Institut Galilée MACS 2 – Probabilités Année universitaire 2012-2013
Devoir maison n
o2
La qualité de la présentation et de la rédaction seront prises en considération.
Exercice 1. Soit un espace de probabilité(Ω,F,P), des variables aléatoires réellesX et Y intégrables sur cet espace, etG ⊂ F une tribu.
1. À l’aide de la définition de l’espérance conditionnelle (et en veillant à une bonne rédaction), démontrer les propriétés suivantes :
a) pour tout λ∈R, E[X+λY|G] =E[X|G] +λE[Y|G];
b) SiX etY sont indépendantes, etf :R×R→R+ est une fonction mesurable, montrer que
E[f(X, Y)|X] =h(X) où on a défini la fonction
h:x7→h(x) =E[f(x, Y)] = Z
R
f(x, y)dPY(y).
(On pourra être amené à écrire une espérance comme une intégrale double et penser au théorème de Fubini)
Autrement dit, ceci montre que siX etY sont indépendantes alors on calcule E[f(X, Y)|X] en pro- cédant comme siX était une constante et en prenant l’espérance par rapport àY seulement.
2. On suppose queX etY sont indépendantes, de loiN(0,1).
2.a)Soitλ∈R. Montrer queE[eλX] =eλ2/2.
(Il pourra être utile de mettre un polynôme du second degré « sous la forme canonique », à la façon de x2+ 2ax+b= (x+a)2−a2+b)
2.b)Calculer (en fonction deY, bien sûr) E[X1+Y2+Y|Y]etE[Y eXY|Y].
Exercice 2. Soit(X, Y)un couple de variables aléatoires de densité
f(x, y) = 4y(x−y)e−(x+y)1{0≤y≤x}.
1. Calculer la densité deY puis la densité de la loi conditionnelle deX sachantY. La représenter graphi- quement (pour une valeur quelconque deY).
2. CalculerE[X|Y].
3. CalculerP(X <1|Y)(c’est-à-direE[1{X<1}|Y]).
