Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI−2012-2013
D. Blotti`ere Math´ematiques
Devoir maison n˚2
Pour le mercredi 14 novembre.
Exercice 1 (R´esolution d’une ´equation alg´ebrique dansC) R´esoudre l’´equation
(E) : z8+ (2 +i)z4−3 + 3i= 0 d’inconnuez∈C.
Exercice 2 (Fonction mettant en jeu la fonction arcsinus) 1. D´eterminer le domaine de d´efinition de l’in´equation
(I1) : r1
2−x≤1.
2. R´esoudre l’in´equation (I1).
3. D´eterminer le domaine de d´efinition de l’in´equation (I2) :
r1
2+x≤1.
4. R´esoudre l’in´equation (I2).
5. D´eterminer le domaine de d´efinitionDf de la fonction f:x7→arcsin
r1 2 −x
!
+ arcsin r1
2 +x
! .
6. D´eterminer le domaine de d´erivabilit´eD′f de la fonctionf. 7. Calculerf′(x) pour toutx∈ D′f.
8. Montrer que pour toutx∈ Df : arcsin
r1 2−x
!
+ arcsin r1
2 +x
!
= π 2.
Exercice 3 (´Egalit´e mettant en jeu arctangente)
1. Calculer les valeurs de arctan(0) et de arctan(1). Justifier les r´esultats.
2. Soita∈]0,1] et soitb∈]0,1[. D´emontrer que : 0<arctan (a)≤ π
4 et 0<arctan (b)< π 4. 3. Soitn∈N∗. D´emontrer que :
0<arctan 1
n
≤ π
4 et 0<arctan 1
n+ 1
+ arctan
1 1 +n+n2
< π 2. 4. D´emontrer que :
arctan 1
n
= arctan 1
n+ 1
+ arctan
1 1 +n+n2
.
On pourra commencer par calculer la tangente de chacun des membres (ou cˆot´es) de l’´egalit´e.
5. Que vaut arctan 1
2
+ arctan 1
3
?
1
Probl`eme (Fonction n√
· o`unest un entier naturel pair sup´erieur ou ´egal `a 2) Soitnun entier naturelpairsup´erieur ou ´egal `a 2.
1. Montrer que la fonction
f:R+→R; x 7→xn induit une bijectionfedeR+surR+.Dans la suite, on note n√
· la bijection r´eciproque defe, i.e. on pose
n√
· = (fe)−1.
2. Expliciter la fonction n√
· en recopiant et en compl´etant le diagramme suivant :
n√
· :R+ → R+
y 7→ l’unique . . . 3. Soient x∈Ret y∈R+. Recopier et compl´eter l’assertion suivante.
x= n√
y ⇐⇒
. . . et
. . . 4. Calculer n√
0. Justifier la r´eponse.
5. Soity∈R+. Justifier que :
(n√y)n =y.
6. Soity∈R. Justifier que n√
yn est bien d´efini et que :
n√
yn =|y|. On pourra faire une disjonction de cas.
7. Montrer que pour tout (y1, y2)∈(R+)2 :
n√ y1 n√
y2 = n√ y1y2. 8. Que dire de la continuit´e et des variations de la fonction n√
· ? Justifier la r´eponse.
9. Justifier que n√
1 = 1, puis montrer que siy∈]1,+∞[, alors :
n√ y >1.
10. D´eterminer l’ensemble de d´erivabilit´eD′ de n√
·. 11. D´emontrer que pour touty∈ D′ :
(n√
·)′(y) =
n√y ny .
12. On rappelle que siy∈R+∗, alorsy1n estpar d´efinition en1ln(y). Soit la fonction p1
n:R+∗→R; y7→yn1. Montrer que pour touty∈R+∗ :
p1 n
(y) = n√ y . 13. Retrouver le r´esultat ´etabli en 11. `a l’aide de la question 12..
14. D´eduire de la question 12. le comportement asymptotique de n√
· en +∞.
2
