PSI* — 2020/2021 — Préparation aux oraux — Analyse no 7 Page 1
7. (CCP) En présence de la fonctionarctan, il faut penser à la relation classique
∀x∈R+∗ arctanx= π
2 −arctan1 x.
En présence d’une différence de racines carrées, il faut aussi penser à la “quantité conjuguée” : un= arctan n2+ 1 −arctann2
arctan (n2+ 1) +√
arctann2 ∼
arctan 1
n2 −arctan 1 n2+ 1
2 π/2 ∼ 1
√2πn4.
En effet le dénominateur admet une limite finie non nulle. Pour le numérateur, j’ai utilisé la première remarque et le développement limitéarctant =
t→0t+O t3 qui donne arctan 1
n2 −arctan 1
n2+ 1 = 1
n2(n2+ 1) +O 1
n6 ∼ 1 n4 (noter que o t2 aurait suffi dans le DL ci-dessus mais pas O t2 ).
J’aurais pu aussi poserδn= arctan n2+ 1 −arctann2 et remarquer que δn−→0, d’où je déduis δn∼tanδn= n2+ 1−n2
1 + (n2+ 1)n2 ∼ 1 n4 grâce à la formuletan (a+b) = tana+ tanb
1−tanatanb.
J’aurais enfin pu utiliser le théorème des accroissements finis pour trouvercn∈ n2, n2+ 1 tel que δn= n2+ 1−n2 arctan′cn= 1
1 +c2n ∼ 1
n4 par encadrement.
Le théorème des accroissements finis aurait pu servir directement pour un, mais avec des calculs plus pénibles.
Pourvn, on peut penser à la formule (qu’il faut au moins savoir retrouver) sinp−sinq= 2 sinp−q
2 cosp+q 2 et qui donne, puisque un −→0 et par continuité de la fonction cos,
vn= 2 sinun
2 cos arctan (n2+ 1) +√
arctann2
2 ∼2un
2 cos π 2, cela car cos π
2 est non nul ! Finalement, un∼ 1
√2πn4 et vn∼ 1
√2πn4cos π 2.
Pourvn, on peut aussi penser à la formule de Taylor pour la fonctionsinena= π
2 (même si ce n’est pas un DL usuel,sin estC∞ surR !)
sinx =
x→asina+ (x−a) sin′a+(x−a)2
2 sin′′a+o (x−a)2
qui permet d’obtenir un développement de vn, mais au prix de calculs un peu lourds, puisqu’il faudra remplacerx par
√arctann2 = π
2 −arctan 1
n2 = π
2 1− 2
π arctan 1 n2
1/2
à développer selon les puissances de 1
n2 pour obtenir un développement de x−a, puis rebelote avec arctan (n2+ 1). . .
