Devoir maison 13 - Probabilités

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Devoir maison 13 - Probabilités

Première partie : Temps d’attente du n-ième succès

On effectue une succession d’expériences de Bernoulli indépendantes, avec une probabilité de succès égale àp∈]0,1[.

On noteT_n le nombre d’expériences nécessaires pour obtenir len-ième succès.

1. Identifier la loi deT1.

On reconnait une expérience type de la loi géométriqueG(p).

2. Donner la loi deT₂, puis celle deT_n pour nquelconque.

Pouri∈N^∗, on note S_i l’événement "avoir un succès au rang i" et E_i =S_i.

On a : T2(Ω) = [[2,+∞[[ (car il faut au moins deux expériences pour avoir deux succès !).

Pourk∈[[2,+∞[[: (T₂=k) =

k−1

[

i=1

(E1∩E2∩ · · · ∩Ei−1∩Si∩Ei+1∩ · · · ∩Ek−1∩Sk).

Cette union disjointe donne les possibilités de combinaisons de 2 succès et k−2 échecs, se terminant par un succès.

Les expériences étant indépendantes, tous ces événements (qui comptent 2 succès etk−1échecs) ont la même probabilité : p²q^k−2. De plus, il y en a autant que de façons de placer le premier succès parmi les k−1premières expériences, c’est-à-dire

k−1 1

=k−1.

Finalement, ∀k∈[[2,+∞[[, P(T₂ =k) =

k−1 1

p²q^k−2. Ce résultat se généralise ainsi :

∀k∈[[n,+∞[[, P(Tn=k) =

k−1 n−1

pⁿq^k−n

3. Pourn∈N^∗ etk∈Tn(Ω), déterminer la loi de Tn+1−Tnconditionnée par (Tn=k).

En déduire la loi de Tn+1−Tn.

Soitn∈N^∗. La variable aléatoire T_n+1−T_ncorrespond à l’intervalle de temps entre le n-ième et len+ 1-ième succès.

Le bon sens voudrait que cette variable aléatoire suive une loi géométrique de paramètrep. C’est ce que nous allons démontrer...

Soientk∈Tn(Ω)etj∈N^∗.

P((T_n=k)∩(T_n+1−T_n=j)) =P((T_n=k)∩(T_n+1 =j+k))

=P((T_n=k)∩E_k+1∩ · · · ∩Ej+k−1∩S_j+k).

La formule des probabilités composées donne : P((T_n=k)∩(T_n+1−T_n=j)) =P(T_n=k)q^j−1p.

On en déduit :P(Tn=k)(T_n+1−T_n=j) =pq^j−1.

La formule des probabilités totales avec le système complet d’événements ((Tn=k))_k∈Tn(Ω) donne : P(Tn+1−Tn=j) =

+∞

X

k=n

P(Tn=k)(Tn+1−Tn=j)P(Tn=k)d’où :

P(T_n+1−T_n=j) =

+∞

X

k=n

q^j−1pP(T_n=k) =q^j−1p

+∞

X

k=n

P(T_n=k)

!

=q^j−1p×1.

On retrouve la loi géométrique attendue !

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4. En utilisant la question précédente, calculerE(Tn).

En remarquant queTn=

n

X

k=2

(Tk−Tk−1) +T1, et sachant que les lois géométriques admettent une espérance finie, on obtient l’existence de l’espérance deT_n.

De plus, en utilisant la linéarité de l’espérance, on obtient : E(T_n) =

n

X

k=2

(E(T_k)−E(Tk−1)) +E(T₁) = n p.

5. Pourn∈N^∗, démontrer que T_n+1−T_n etT_n sont indépendants. En déduireV(T_n).

Soientn∈N^∗,k∈[[n,+∞[[, etj∈N^∗.

On a montré queP((Tn=k)∩(T_n+1−T_n=j)) =q^j−1pP(Tn=k) =P(Tn+1−T_n=j)P(Tn=k).

Donc les variables aléatoires T_n etT_n+1−T_n sont indépendantes.

On a donc : V(Tn+1) =V(Tn+1−Tn+Tn) =V(Tn+1−Tn) +V(Tn) = q

p² +V(Tn).

Par télescopage, on obtient : V(Tn) =nq p²

6. En utilisant l’indépendance de T_n+1 etT_n, calculer la fonction génératrice de T_n. Sotn∈N^∗. On notegnla fonction génératrice de Tn.

On sait que la fonction génératrice deT_n+1−T_nest définie pourt∈

−1 q,1

q

parg(t) = pt 1−qt. De l’indépendance deT_n etT_n+1−T_n, on déduit que g_n+1 =g×g_n.

Comme g1 =g, une récurrence immédiate donne :

∀n∈N^∗, ∀t∈

−1 q,1

q

, gn(t) = pt

1−qt n

7. En déduire la formule du binôme négatif :

∀n∈N ∀x∈]−1,1[, 1

(1−x)ⁿ⁺¹ =

+∞

X

k=n

k n

x^k−n

La définition d’une fonction génératrice donne :∀t∈

−1 q,1

q

:

+∞

X

k=n

t^kP(Tn=k) =

+∞

X

k=n

k−1 n−1

pⁿq^k−nt^k= pt

1−qt n

.

En utilisant ce résultat à l’ordren+ 1et en posantx=qt, on trouve pourn≥2etx∈]−1,1[: pⁿ⁺¹xⁿ⁺¹

qⁿ⁺¹(1−x)ⁿ⁺¹ =

+∞

X

k=n+1

k−1 n

pⁿ⁺¹

qⁿ⁺¹x^k puis, en divisant par pⁿ⁺¹ qⁿ⁺¹xⁿ⁺¹ : 1

(1−x)ⁿ⁺¹ =

+∞

X

k=n+1

k−1 n

x^k−1−n, soit finalement :

1

(1−x)ⁿ⁺¹ =

+∞

X

k=n

k n

x^k−n

Il reste à considérer les casn= 0 etn= 1: Pourn= 0, on retrouve la série géométrique :

+∞

X

k=0

k 0

x^k−0 =

+∞

X

k=0

x^k= 1 1−x; Pourn= 1 on retrouve la série géométrique dérivée :

+∞

X

k=1

k 1

x^k−1 =

+∞

X

k=1

kx^k−1= d dx

+∞

X

k=0

x^k

!

= 1

(1−x)²

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Deuxième partie : Loi de Pascal

Dans cette partie, on sera amené à utiliser la formule du binôme négatif établie dans première partie.

Soientn∈N^∗ etp∈]0,1[. On noteq = 1−p.

1. Montrer que la suite de réels

∀k∈N, p_k=

k+n−1 n−1

pⁿq^k

définit la loi de probabilité d’une variable aléatoire à valeurs dansN. On l’appelle loi de Pascal de paramètresn etp.

Les réelsp_k étant positifs, il suffit de prouver que la série de terme général p_k converge, et que sa somme vaut 1.

On a, pourN ∈N:

N

X

k=0

p_k=

N

X

k=0

k+n−1 n−1

pⁿq^k =pⁿ

N

X

k=0

k+n−1 n−1

q^k =pⁿ

N+n−1

X

i=n−1

i n−1

q^i−(n−1).

La formule du binôme négatif assure la convergence, et donne :

+∞

X

k=0

pk=pⁿ× 1

(1−q)ⁿ = 1.

2. SoitX une variable aléatoire suivant une telle loi. Déterminer la fonction génératrice deX.

Soitt dans le domaine de définition deG_X. Par définition : GX(t) =

+∞

X

k=0

t^kP(X=k) =

∞

X

k=0

k+n−1 n−1

pⁿ(qt)^k = pⁿ (1−qt)ⁿ en utilisant la formule du binôme négatif.

En particulier, G_X est définie sur

−1 q,1

q

.

3. En déduire que X admet une espérance et une variance, et les calculer.

Comme 1

q > 1, la fonction G_X est deux fois dérivable en 1. On en déduit que X admet une espérance et une variance, et on trouve :

E(X) =G⁰_X(1) = nq

p ; V(X) =G⁰⁰_X(1) +G⁰_X(1)−(G⁰_X(1))² = nq p²

4. Deux variables aléatoires indépendantes X et Y suivent deux lois de Pascal de paramètres respectifs (n, p) et(m, p). Déterminer la loi deX+Y.

Les variables aléatoiresX etY étant indépendantes,GX+Y =GX ×GY ; on a donc :

∀t∈

−1 q,1

q

, GX+Y(t) = pⁿ

(1−qt)ⁿ × p^m

(1−qt)^m = p^n+m (1−qt)^n+m X+Y suit donc une loi de Pascal de paramètres(n+m, p).

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