Universit´e de Nantes. 2006/2007
Master 1 Probabilit´es
Devoir ` a la maison n o 2
`
a rendre au plus tard le 17 avril 2007
Exercice 1. Soient(Ω,F,P)un espace de probabilit´es,(Yn)n∈Nune suite de variables al´eatoires ind´ependantes discr`etes de loi uniforme sur{0, . . . ,9}. Pour tout entier n, on d´efinit la variable al´eatoire
Xn=
n
X
k=1
Yk10−k.
1. Montrer qu’il existe une variable al´eatoireY telle que
Xn −→
n→∞Y p.s.
2. Montrer que Y suit une loi uniforme sur [0,1].
Exercice 2. Soit(Ω,F,P)un espace probabilis´e.
0 - Pr´eliminaires
1. Soit Y une variable al´eatoire suivant une loi de Poisson de param`etre λ(i.e. pour toutk∈N,P(Y =k) =e−λ λk!k).
Montrer que pour t∈R,
E eitY
=eλ(eit−1). 2. Soient deux suites de nombres complexes (xi)i∈N, (yi)i∈Nv´erifiant
|xi| ≤θ, |yi| ≤θ, pour tout i∈N. Montrer que pour tout n∈N,
n
Y
i=1
xi−
n
Y
i=1
yi
≤θn−1
n
X
i=1
|xi−yi|.
(on pourra utiliser une somme t´elescopique.)
3. En utilisant la d´ecomposition en s´eries enti`eres de la fonction exponentielle, montrer que pour tout nombre complexe z de module inf´erieur `a1,
|ez−(1 +z)| ≤ |z|2.
I - Premier th´eor`eme de convergence
On consid`ere une suite double de variables al´eatoires ind´ependantes(Xk,n)n∈N,1≤k≤n. Pour tous n ∈N, 1 ≤ k ≤n, la variable al´eatoire Xk,n suit une loi de Bernoulli de param`etre pk,n (i.e. P(Xk,n = 1) = 1−P(Xk,n = 0) = pk,n). On suppose de plus que
n
X
k=1
pk,n −→
n→∞ λ∈(0,+∞)
1≤k≤nmax pk,n −→
n→∞ 0
.
1. En utilisant les propri´et´es sur les(pk,n)n∈N,1≤k≤n, montrer que
n
X
k=1
p2k,n −→
n→∞0.
1
2. On d´efinit la variable al´eatoire
Yn=X1,n+. . .+Xn,n. Montrer que pour t∈R,
E[eitYn] =
n
Y
k=1
1−pk,n+eitpk,n .
3. Montrer que lorsque ntend vers +∞,
n
Y
k=1
(1−pk,n+eitpk,n)−exp ( n
X
k=1
pk,n(eit−1) )
→0
4. En d´eduire que la suite de variables al´eatoires(Yn)n∈N converge vers une loi de Poisson de param`etre λ.
II - G´en´eralisation du th´eor`eme de convergence
On consid`ere maintenant une suite de variables al´eatoires(Xk,n)n∈
N,1≤k≤n ind´ependantes `a valeurs enti`eres positives. On noteP(Xk,n= 1) =pk,n,P(Xk,n≥2) =k,n. On suppose que ces derni`eres quantit´es satisfont
n
X
k=1
pk,n −→
n→∞ λ∈(0,∞)
1≤k≤nmax pk,n −→
n→∞ 0
n
X
k=1
k,n −→
n→∞ 0
.
On consid`ere pour n∈N,1≤k≤nla variable al´eatoire tronqu´ee Xek,n=Xk,n1Xk,n=1. On d´efinit alors pourn∈N les variables al´eatoires
Sn = X1,n+. . .+Xn,n
Sen = Xe1,n+. . .+Xek,n
.
1. Montrer que (Sen)n∈N converge vers une loi de Poisson de param`etre λ.
2. Montrer que P(Sn6=Sen)tend vers 0 lorsquentend vers +∞. En d´eduire que
Sn−Sen
n∈N
converge en loi.
3. En utilisant le lemme de Slutsky, en d´eduire que la suite(Sn)converge en loi vers une variable al´eatoire qui suit une loi de Poisson de param`etre λ.
III - Application
Soit(Xn)n∈N une suite de variables al´eatoires ind´ependantes satisfaisant P(Xn = 1) = 1−P(Xn=−1) = 1
2.
On appelle marche al´eatoire issue de 0la suite de variables al´eatoires (Sn)n∈N d´efinie par
S0= 0, Sn=
n
X
i=1
Xi, ∀n∈N?.
1. Montrer que pour tout k∈N,
P(S2n= 2k) = 2−2nC2nn−k=p2k,2n. 2. Montrer que pour tout k∈N, on a la majoration
p2k,2n≤p0,2n.
3. On consid`ere une suite de variables al´eatoires ind´ependantes (Sn(k))n∈N,k∈Z. On suppose que pour tout k ∈ Z,
Sn(k)
n∈N est une marche al´eatoire issue de k.
Pour tout n∈N, on noteYn le nombre de marches al´eatoires pr´esentes en0 `a l’instant n.
(a) Pour tout entiern, ´ecrireY2n comme somme de variables al´eatoires de Bernoulli de param`etresp2k,2n. (b) En d´eduire que pour toutk∈N,
P(Yn=k) −→
n→∞
1 ek!.
2
