Universit´ e Montesquieu Vendredi 9 d´ ecembre 2011 Bordeaux IV
Herv´ e Hocquard
Variables al´ eatoires - Episode II
Exercice 1
Robert ´el`eve des vaches limousines nourries exclusivement avec de l’herbe pour produire de la viande de qualit´e sup´erieure. Cette ann´ee l`a, le scandale de la vache folle a fait chuter le cours de la viande. N’ayant pas de cr´edit important `a rembourser, il d´ecide de ne vendre que les veaux mˆales et d’augmenter ainsi son cheptel en conservant les g´enisses. Il attend 5 naissances dans son troupeau. Chaque naissance donne un veau mˆale avec une probabilit´e p=1/2.
Soit X la variable al´eatoire qui prend pour valeur le nombre de veaux mˆales parmi les 5 naissances.
1. Quelle est la loi de X ? 2. Calculer E (X) et V (X).
Le troupeau est constitu´e de 9 bˆetes, et l’´etable peut en contenir 12.
3. Calculer la probabilit´e pour que le troupeau avec les nouvelles g´enisses tienne dans l’´etable.
4. Sachant que le troupeau tient dans l’´etable, calculer la probabilit´e pour qu’il y ait eu un nombre de veaux mˆales strictement sup´erieur `a 3.
Exercice 2
Une machine calibre des tomates. On estime, `a la suite d’´etudes statistiques, que le poids d’une tomate calibr´ee prise au hasard peut ˆetre consid´er´e comme une variable al´eatoire qui suit une loi normale de moyenne 150 g et d’´ ecart-type 10 g.
1. Quelle est la probabilit´e qu’une tomate p`ese plus de 170 g ? Entre 130 et 170 g ?
2. Un meilleur r´eglage de la machine permet de modifier l’´ecart-type. Comment faut-il r´egler la machine pour que la probabilit´e que le poids d’une tomate prise au hasard soit compris entre 145 g et 155 g, soit de 0,95 ?
3. (Bonus) Ces tomates sont mises dans des caisses de 32 unit´es. Quel est le poids moyen d’une caisse ?
1
El´ ements de correction
Exercice 1
1. On a une s´erie de 5 ´epreuves identiques et ind´ependantes ayant deux issues possibles avec une probabilit´e de succ`es de 1
2 . Donc X B (5 ; 1 2 ).
2. E (X) = 5 × 1 2 = 5
2 et V (X) = 5 × 1 2 × 1
2 = 5
4 (d’apr`es le cours...)
3. Soit T : ”le troupeau tient dans l’´etable”.
On a alors :
P (T ) = P (X > 2) = 1 − P (X 6 1) = 1 − P (X = 0) − P (X = 1)
= 1 − 5
0
× 1
2
5− 5
1
× 1
2
4× 1
2
1= 1 − 1 × 1
32 − 5 × 1 32
= 13 16
4. On remarque que si X > 3 alors le troupeau tient dans l’´etable.
En d’autres termes (X > 3) ∩ T = (X > 3).
D’o` u :
P (X > 3 / T ) = P ((X > 3) ∩ T )
P (T ) = P (X > 3) P (T )
= P (X = 4) + P (X = 5) P (T )
=
5 4
×
125−
55×
12513 16
= 3
13
2
Exercice 2
1. X N (150, 10
2).
P (X > 170) = 1 − P (X 6 170)
= 1 − P
X
∗6 170 − 150 10
avec X
∗= X − 150
10 N (0, 1)
= 1 − Π(2)
≈ 1 − 0, 9772
≈ 0, 0228
P (130 6 X 6 170) = P
130 − 150
10 6 X
∗6 170 − 150 10
avec X
∗= X − 150
10 N (0, 1)
= 2Π(2) − 1
≈ 0, 9544
2. On a X N (150, σ
2) et on cherche σ tel que : P (145 6 X 6 155) = 0, 95 ⇐⇒ P
145 − 150
σ 6 X − 150
σ 6 155 − 150 σ
= 0, 95
⇐⇒ 2Π( 5
σ ) − 1 = 0, 95
⇐⇒ Π( 5
σ ) = 0, 975 ≈ Π(1, 96)
⇐⇒ 5
σ ≈ 1, 96
⇐⇒ σ ≈ 2, 55
3. Soit X
ile poid de la i
`emetomate. X
iN (150, 10).
32
X
i=1
X
iest une somme de variables al´eatoires X
iind´ependantes et suivant chacune une loi
normale,
32
X
i=1
X
isuit donc une loi normale de moyenne :
E
32
X
i=1
X
i!
=
32
X
i=1
