Devoir maison n˚2

L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2−2011-2012

D. Blottière Mathématiques

Devoir maison n˚2

Pour le mardi 15 novembre.

Rappels

1. Six∈R^+× et siβ ∈R, on note x^β le nombre défini par : x^β=e^βln(x).

2. Deux suites(u_n)_n∈N^∗ et(v_n)_n∈N^∗ toutes deux à termes non nuls sont équivalentes, si : un

v_n →

n→+∞1.

Dans ce cas, on note :u_n ∼

n→+∞v_n.

Exercice : Séries de Riemann divergentes

Soitα∈]0,1[. Pour toutn∈N^∗, on pose :Sn=

n

X

k=1

1 k^α. 1. Déterminer le sens de variation de la suite (S_n)_n∈N^∗.

2. Montrer, à l’aide du théorème des accroissements finis, que pour tout k∈N^∗ : 1−α

(k+ 1)^α ≤(k+ 1)^1−α−k^1−α≤ 1−α k^α .

3. En déduire que la suite(Sn)_n∈N^∗ diverge vers+∞. Traduire ce résultat dans le langage des séries.

4. Montrer que : S_n ∼

n→+∞

n^1−α 1−α.

Dans tout cet exercice, on justifiera soigneusement toutes les propriétés (e.g. continuité, dérivabilité, dérivée, limite) faisant intervenir la notation x^β (x∈R^+×,β ∈R) en revenant à la définition rappelée ci-dessus.

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