Examen du 9 janvier 2017

Université Paris 13, Institut Galilée MACS 2 Probabilités Année universitaire 20172018

Examen du 9 janvier 2017

Durée : 3 heures

Document autorisé : une page A4 de notes manuscrites. Appareils électroniques interdits.

Toute réponse doit être soigneusement rédigée et justiée.

Exercice 1. Soit(X, Y)une variable aléatoire dansR², de densitéf(X,Y)donnée par f_(X,Y)(x, y) = 2y

xe^−x1_{x>0}1{0<y<√ x}. 1. Déterminer la loi deX.

2. Déterminer la loi deY sachantX. 3. En déduire E[Y²|X]puisE[Y²].

Exercice 2. Soitp∈[¹₂,1]. Soit(X_n)_n≥1une suite de variables aléatoires réelles indépendantes, de loi donnée par :

P(X_n= 1) =p, P(X_n =−1) = 1−p.

(On pourra noterq= 1−p) On poseS0= 0et, pour tout n≥1, Sn=X1+· · ·+Xn.

On dénit la ltration(Fn)_n≥0parF0={∅,Ω}et, pour toutn≥1,Fn =σ(X1, . . . , Xn). Soitθ >0. On dénit ϕ(θ) =E[e^θX1]et ψ(θ) = lnϕ(θ), puis

Mn =e^{θSn−nψ(θ)}. On veut étudier la loi deT1= inf{n≥1|Sn= 1}.

1. Montrer que(Mn)n est une martingale pour la ltration(Fn)n. 2. Expliciter la valeur deϕ(θ), et vérier que ψ(θ)≥0.

3. Montrer queT₁est un temps d'arrêt pour la ltration (Fn)_n. 4. Montrons queT₁<∞presque sûrement.

4.a) 1^er cas :p > ¹₂. En utilisant la loi des grands nombres, justier queT₁<∞presque sûrement.

4.b) 2^ecas : p = ¹₂. Montrer que(S_n)_n est une martingale. Justier que S_n∧T1 admet presque sûrement une limite quandn→ ∞et en déduire queT₁<∞presque sûrement.

5. Montrer que, pour toutn,E[M_n∧T1] = 1.

6. En utilisant le théorème de convergence dominée, montrer queE[MT₁] = 1. Réécrire cette identité sous une forme plus simple.

7. Soits∈]0,1[. Déterminerθ >0tel queϕ(θ) = ¹_s. On trouvera une équation de degré 2 en l'inconnuex=e^−θ. et en déduire une formule explicite pourE[s^T1].

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Exercice 3. Soit(Xn)n≥1 une suite de variables aléatoires indépendantes, de loi exponentielle de paramètre 1 (densitéx7→e^−x1_R+(x)). On note (Fn)n≥0 sa ltration naturelle :F0 ={∅,Ω} et Fn =σ(X1, . . . , Xn) pour n≥1. On poseM₀= 1 et, pourn≥1,

M_n=X₁· · ·X_n.

1. Montrer que (M_n)_n est une martingale pour la ltration(F_n)_n≥0. Que peut-on dire concernant sa conver- gence ?

2. Pour toute fonction mesurable bornéeϕ:R→R, montrer que E[ϕ(Mn+1)| Fn] =

Z ∞

0

ϕ(y)e^−Mny dy Mn

. Interpréter ce résultat : quelle est donc la loi conditionnelle deMn+1 sachantFn? 3. CalculerE[√

Mn]. On vériera queE[√ X1] =

√π 2 .

4. En déduire que(Mn)n converge en probabilité vers 0, c'est-à-dire que∀δ >0,P(|Mn|> δ) −→

n→∞0. 5. Que peut-on dire concernant la convergence presque sûre deMn quand n→ ∞?

6. Montrer que(Mn)n ne converge pas dansL¹.

Exercice 4. Dans un marché décrit par le modèle de Cox-Ross-Rubinstein, il y a un actif à risque, dont le prix est Sn au temps n ∈ {0, . . . , N}, et un actif sans risque de prix S_n⁰ = (1 +r)ⁿ (où r > 0 est xé). On dénitF0 ={∅,Ω} et Fn =σ(S1, . . . , Sn). On suppose queS0 >0 est une constante (doncF0-mesurable) et qu'il existe−1< a < btels que

pourn= 1, . . . , N, Tn= S_n

S_n−1 ∈ {1 +a,1 +b}, et chacune des deux valeurs apparaît avec une probabilité>0.

1. Sir > b, décrire une stratégie d'arbitrage possible.

Pour la suite de l'exercice, on supposea < r < b et on posep= ^b−r_b−a ∈]0,1[. On dénit la probabilité P^∗ surΩ de telle sorte queT1, . . . , TN sont indépendantes sousP^∗ et de même loiP^∗(Ti= 1 +a) =p= 1−P^∗(Ti= 1 +b). 2. Montrer que, sous cette probabilitéP^∗, la suite des prix actualisésSen= _(1+r)^Snn est une martingale.

3. Soit(φn)n une stratégie de portefeuille, c'est-à-dire une suite(φ0, . . . , φN)de v.a. dansR² où, pour tout n, φn= (φ⁰_n, φ¹_n)est F_n−1-mesurable. On suppose queφest auto-nancée, c'est-à-dire que, pour toutn≥0,

φ⁰_nS⁰_n+φ¹_nSn=φ⁰_n+1S⁰_n+φ¹_n+1Sn.

3.a) On rappelle que la valeur du portefeuille estV_n(φ) =φ⁰_nS⁰_n+φ¹_nS_n. Démontrer que, sousP^∗,(_(1+r)^Vn(φ)_n)est une martingale.

3.b) En déduire que, si la valeurVN(φ)du portefeuille à l'échéance est≥0, alors sa valeurVn(φ)à tout instant nantérieur est≥0.

4. On considère une option qui permet d'acheter un actif au prix K au temps N à condition que la moyenne

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N(S1+· · ·+SN)soit inférieure à une certaine valeurL: le prix de cette option au tempsN est v_N = (S_N −K)⁺1_{{S1+···+SN<LN}}.

4.a) Exprimer le prixv_n de cette option au tempsn < N en fonction dev_N et P^∗. On rappelle que le prix au tempsnest la valeur au tempsnd'une stratégie auto-nancée (quelconque) qui vaut v_N au tempsN.

4.b) En déduire une expression de v_n sous la formev_n = Φ(S_n, S₁+. . .+S_n), où on dénira Φ(s, t) sous la forme d'une espérance.

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