Compl´ements d’alg`ebre Universit´e de Nice Ann´ee 2019-2020
Examen du 13 janvier 2020
Aucun document n’est autoris´e.
Les calculatrices sont interdites.
Toutes les r´eponses doivent ˆetre justifi´ees.
Exercice 1 - (3 points) R´esoudre les deux syst`emes de congruences 1. 5x≡2 mod 6 et 3x≡1 mod 5.
2. 2x≡1 mod 3 etx≡4 mod 6.
Exercice 2 - (2 points) D´ecrire un isomorphisme entre les 2 groupes (Z/6Z,+) et ((Z/7Z)∗,·) en donnant la correspondance bijective compl`ete entre leurs ´el´ements.
Exercice 3 - (2 points) Calculer le reste de la division euclidienne par 11 du nombre 510510
5
+ 105105
10
.
Exercice 4 - (3 points) D´ecomposer en produit de cycles `a supports disjoints la permutation de S6 donn´ee comme produit de cycles
σ= (12)(346)(135).
D´eterminer l’ordre deσ dans le groupeS6 ainsi que sa signature (σ).
Exercice 5 - (3 points) D´eterminer toutes les permutationsσ de S4 v´erifiant σ3= Id.
Exercice 6 - (4 points) Calculer detA en fonction den, o`u A= (ai,j) est la matrice carr´ee d’ordre n≥1 avec ai,j =|i−j|. Indication : faire des op´erations sur les lignes et les colonnes afin de rendre la matrice triangulaire.
Exercice 7 - (3 points) D´ecomposer la forme quadratique suivante en sommes de carr´es.
q :R3 →R q(x, y, z) =xy+ 3xz−7yz.
En d´eduire la signature et le noyau deq.
1
