analyse statistique - S3 et alternants
examen - 13 janvier 2010
département Mesures Physiques - IUT1 - Grenoblecalculatrice "collège" et une feuille A4 recto-verso manuscrite autorisés ; durée : 2h
Les exercices sont totalement indépendants les uns des autres. Merci de soigner la rédaction et les justifications.
Exercice 1
Une cordée de trois grimpeurs se lance dans l’ascension d’une grande voie. Ils resteront plusieurs jours dans la paroi.
Ils ont a leur disposition un bidon de contenance 35 litres. La consommation d’eau par personne et par jour suit une loi normale d’espéranceµ= 2,1litres et d’écart-typeσ= 0,3 litre. Les consommations d’eau des grimpeurs sont supposées indépendantes les unes des autres.
1. quelle est la loi suivie par le volume total de l’eau consommée par les trois grimpeurs durantnjours ? Donner son espérance et son écart-type.
2. Comment choisirnpour que le risque de manquer d’eau soit inférieur ou égal à 1% ? 3. Calculer le volume d’eau consommé en moyenne au bout denjours.
Exercice 2
On lance un dé rouge et un dé bleu, à 6 faces et parfaitement équilibrés, sur lesquels figurent le nombre 1 sur deux faces, le nombre 2 sur trois faces, le nombre 3 sur une face.
On noteX1le résultat lu sur le dé rouge,X2le résultat lu sur le dé bleu,S=X1+X2 etD=X1−X2.
1. Déterminer la loi conjointe du couple(X1, X2) 2. Déterminer la loi deSet la loi deD.
3. Que vautE[(X1−X2)(X1+X2)]? En déduire Cov(S, D).
4. Les variablesSetDsont-elles indépendantes ?
5. Calculer la loi deSconditionnée par l’événement|X1−X2|= 1.
Exercice 3
Soitkun réel, etf(x) =ke−|x|.
1. pour quelle valeur dek fest-elle la fonction densité d’une variable aléatoireX? 2. Calculer alors l’espérance de la variableX, ainsi que la probabilitép(X <1).
Exercice 4
Un jour d’élection, on interroge 1220 personnes, choisies au hasard, sur leur vote : 755 d’entre-elles ont voté pour le candidatA. Déterminer un intervalle de confiance 95% pour le résultat du candidatAsur l’ensemble des électeurs.
Exercice 5
Un fabricant de vêtements de montagne teste deux membranes respirantes.
Sur un échantillon de 42 pièces, la respirabilité moyenne de la membrane 1 est de 17 000g.m−2.j−1, avec un écart-type estimé à 1 000g.m−2.j−1.
Sur un échantillon de 51 pièces, la respirabilité moyenne de la membrane 2 est de 18 000g.m−2.j−1, avec un écart-type estimé à 1 500g.m−2.j−1.
Tester, au risque 1%, le fait que les deux membranes aient la même respirabilité.
Exercice 6
On suppose que la masse des vestes réalisées avec la membrane choisie suite à l’étude de l’exercice 5 est répartie selon une loi normale de paramètresµetσ2.
Quatre vestes sont pesées, de masse 352 g, 361 g, 348 g, 355 g.
Donner l’estimation ponctuelle deµet deσ2.
Donner une estimation par un intervalle de confiance 98% deµ.
barême sur 22 et notes multipliées par 1.1 (sauf les 20...) bilan S3 : moyenne 8.84 écart-type 4,34
bilan alternants : moyenne 9.43 écart-type 5.06
