Université Pierre & Marie Curie (Paris 6) Licence de Mathématiques L3
UE LM364 Intégration 1 Année 2009-2010
Examen du 5 janvier 2010 : consignes et conventions
Durée 2 heures.
Documents et calculatrices interdits.
Vous êtes priés d’écouter
très attentivement
les explications données par les enseignants dans la salle d’examen.Le sujet est composé de deux parties.
La partie I comporte trois exercices : l’exercice 1, que vous êtes priés de traiter, et les exercices 2 et 3, dont unseul –au choix – est à traiter. La partie II est unquestionnaire à choix multiples.
Concernant la partie I, la qualité et la rigueur de la rédaction seront prises en compte. En particulier, chaque application d’un théorème du cours devra y être justifiée, brièvement mais scrupuleusement.
Pour la partie II, en revanche, aucune justification de vos réponses n’est demandée.
La partie II comporte un
numéro
. Vous êtes priés de reporter ce numéro en tête de votre copie. Le questionnaire est à rendre à l’intérieur de votre copie.Dans les grilles des réponses, entourer chaque réponse qui est nécessairement vraie et rayer chaque réponse quin’est pas nécessairement vraie. Les items ne correspondant à aucune réponse sont à ignorer.
Quand une réponse correcte vousajoute xpoints, une réponse incorrecte vous enretire autant. En cas d’incertitude, il est donc fortement recommandé dene pas marquer de réponse.
Voici un exemple.
1 Six= 5 etf:R→R, alors a 0< x
b x= 2 + 8 c 2x−2 =x+ 3 d f(2x)≥2f(x) + 1
Réponses
1 a b/ c d/ e
Le marquage de la grille des réponses doit être très net et ne comporter aucune ambiguïté.
Conseil de prudence : commencez par ne marquer vos réponses qu’au crayon et en n’appuyant que très légèrement. Autrement, si vous changez d’avis, il sera difficile de revenir en arrière.
* * *
Dans toute la suite,(E,A, µ) désignera un espace mesuré quelconque. Lorsque E =R on supposera, si aucune mention contraire n’est faite, que A est sa tribu de Borel B(R) et on désignera alors par λ la mesure de Lebesgue sur(R,B(R)).
Pour tout pointx∈E,δx désigne la mesure de Dirac en x.
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Université Pierre & Marie Curie (Paris 6) Licence de Mathématiques L3
UE LM364 Intégration 1 Année 2009-2010
Examen final du 5 janvier 2010
Une page « consignes et conventions » vous est distribuée : ne l’ignorez pas !
Partie I
Rappel : vous êtes priés de traiter l’exercice 1, puis unseul des exercices 2 et 3.
Exercice 1. Soit (An)n∈N une suite d’éléments de A. On suppose que, pour tout i ∈ N, pour tout j∈N,Aj =Ai ⇒j =i. Pour toutk∈N, on définit les parties de E suivantes
Gk:={x∈E:x appartient à exactement k éléments de la suite(An)}
Hk :={x∈E:xappartient à au moins kéléments de la suite (An)}
a) i) Compléter l’assertion suivante : pour toutx∈E,
x∈Gk⇔ ∃I ⊆N tel que Card(I) =ket · · · · ii) En déduire une formulation ensembliste deGk.
iii) À l’aide de la question précédente, montrer queGk ∈ A.
iv) Montrer que Gk∈ Aen utilisant la fonction f définie par f :=X
n∈N
1An.
b) i) Donner une formulation ensembliste deHk (par exemple à l’aide des Gn).
ii) Montrer que Hk∈ A.
iii) Montrer quek1Hk ≤f et en déduire une majoration deµ(Hk).
c) Soit
B:={x∈E:x appartient à une infinité d’éléments de la suite (An)}
i) Donner la formulation ensembliste classique deB et une autre formulation à l’aide desHn. ii) En déduire le lemme de Borel–Cantelli.
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Exercice 2. Soitf ∈ L1
C(E,A, µ), c’est-à-dire : la partie réelle def et la partie imaginaire de f sont µ-intégrables. Dans ce cas,f admet une intégrale relativement àµ. Cette intégrale, notée encoreR
Ef dµ, est le nombre complexe ayantR
ERe (f)dµ pour partie réelle et R
EIm (f)dµ pour partie imaginaire.
a) Montrer que pour tout x∈C,
t→0, t∈limR∗
|1 +tx| −1
t = Re (x).
b) i) Montrer que lorsquettend vers 0par valeurs strictement positives, Z
E
|1 +tf| −1
t dµ−→
Z
E
Re (f)dµ.
ii) Même question lorsquet tend vers0 par valeurs strictement négatives.
c) On suppose que µest finie et on notea:=µ(E). On suppose que pour tout nombre complexe x R
E|1 +xf|dµ≥a, et on souhaite montrer qu’alors R
Ef dµ= 0.
i) Montrer que, pour toutt∈R∗, t−1R
E(|1 +tf| −1)dµ est soit nul, soit du signe det.
ii) En déduire queR
ERe (f)dµ= 0.
iii) Conclure.
Exercice 3. Pour toute fonction réelle mesurable g : E −→ R, s’il existe un réel positif C tel que
|g| ≤C µ-p.p., on posera
N(g) := inf{C≥0 :|g| ≤C µ-p.p.},
et dans le cas contraire on posera N(g) = +∞. Soit(fn)n∈N une suite de fonctions réelles mesurables etf une fonction réelle mesurable. On souhaite montrer quelimnN(fn−f) = 0 si et seulement si
∃A∈ Atel que µ(cA) = 0 et(fn) converge uniformément versf sur A.
a) Des deux implications montrer celle qui est la plus évidente.
b) On suppose maintenant que limnN(fn−f) = 0. Pour tous n∈ Net ε >0 , on définit An,ε :=
{|fn−f|< ε}.
i) Compléter (et justifier) l’assertion suivante à l’aide des ensemblesAn,ε : pour tout ε >0, il existeNε∈Ntel que pour toutn≥Nε,· · · · ii) On définit
A:= \
ε>0
\
n≥Nε
An,ε.
Montrer que A∈ Aet queµ(cA) = 0.
iii) Conclure.
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