Université Paris Dauphine Département MIDO
Master 1 – Méthodes de Monte Carlo
2019–2020
Examen Final – Janvier 2020
DURÉE2H00 – DOCUMENTS ETCALCULATRICENONAUTORISÉS
Important. Suivant les réglements en vigueur :
1. Les enseignants présents lors de l’épreuve ne peuvent communiquer que sur les fautes d’énoncé potentielles.
Toute autre question durant la composition ne sera pas acceptée.
2. Les étudiants sont tenus de se lever au moment de l’annonce de fin de la composition. En cas de refus, le respon- sable de l’UE sera fondé à ne pas prendre en compte la copie incriminée.
3. L’identification des copies et intercalaires doit avoir été faite au moment de la remise de chaque copie par les enseignants et surveillants. Il ne sera pas accordé de délai pour cette raison en fin d’épreuve.
Exercice 1(Estimateur stratifié avec allocation proportionnelle). Soit (Xn)n≥1 est une suite de variables aléatoiresi.i.d.suivant la loi exponentielleε(λ) etN une variable aléatoire, indépendante de (Xn)n≥1, et de loi de PoissonP(β),i.e., pourt∈R+etn∈N,
P[X1≤t]=1−exp(−λt) et P[N=n]=βn
n!exp(−β).
Dans cet exercice, on cherche à estimer, pourt∈R+, p=P[SN>t], où SN=
N
X
i=0
Xi.
1. Donner un estimateur deppar la méthode de Monte Carlo classique (sans réduction de variance).
2. Donner un nouvel estimateur deppar la méthode de stratification avec allocation proporitionnelle etLstrates. Vous préciserez l’allocation, le choix des strates et comment simuler les variables aléa- toires utilisées.
3. Montrer que l’estimateur stratifié avec allocation proportionnelle est de variance plus faible que l’es- timateur de Monte Carlo classique.
Problématique Dans les exercices suivants, on s’intéresse au problème d’estimation décrit ci-dessous dans différents contextes. SoientX1, . . . ,Xd,d∈N∗, des variables aléatoiresi.i.d.suivant une loiνqui sera précisée dans chacun des exercices. On cherche à estimer, pourt∈R+,
p=P[S>t], où S=
d
X
i=1
exp(Xi).
Pour 1≤k≤n, on noteraX1,k, . . . ,Xd,k, 1≤k≤n,nréalisations deX1, . . . ,Xdet Sk=
d
X
i=1
exp(Xi,k).
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Examen Méthodes de Monte Carlo
Les exercices peuvent être traités de manière indépendante !
Exercice 2(Variable antithétique). On suppose dans cet exercice queX1, . . . ,Xd sonti.i.d.suivant la loi du cosinus surélevé dont la densité est donnée par
f(x|µ,s)= 1 2s
n
1+cos³x−µ s π´o
1{x∈[µ−s,µ+s]}.
1. Décrire précisément une méthode pour simuler suivant la densitéf.
2. (a) Donner un estimateur dep par la méthode de Monte Carlo classique (sans réduction de va- riance). On noterapbncet estimateur.
(b) Si l’on suppose que le coût calcul de la méthode d’estimation correspond au nombre de variables aléatoires simulées par l’ordinateur, quel est le coût de calcul moyen depbn.
(c) Sous l’hypothèse du régime asymptotique, combien de tirages suivantf sont nécessaires pour obtenir une précision²au niveau de confianceα. Quelle difficulté rencontre-t-on en pratique ? Comment peut-on y remédier et quels sont les inconvénients éventuels ?
3. (a) Montrer que les variablesXk,k∈N∗, sont symétriques par rapport àµet en déduire un estima- teur de la variable antithétique dep, notéabn.
(b) Montrer que cette méthode conduit à un estimateur Monte Carlo de variance plus faible que l’estimateurpbn.
(c) Discuter l’efficacité relative deabnpar rapport àpbn, sous l’hypothèse que le coût de chaque mé- thodes correspond au nombres de variables simulées par l’ordinateur.
Exercice 3. On suppose dans cet exercice queX1, . . . ,Xdsonti.i.d.suivant la loi exponentielleε(λ) de densitéf(x|λ)=λexp(−λx)1{x≥0},λ>0.
1. Soithune fonction bornée. Montrer que pour toutβ>0, on a E[h(X1, . . . ,Xd)]=E
"
h(V1, . . . ,Vd)λd βdexp
(
(β−λ)Xd
i=1
Vi )#
,
oùV1, . . . ,Vnest un ensemble de variables aléatoiresi.i.d.de loi exponentielleε(β) de densitéf(· |β).
2. En déduire un estimateur dep. Intuitivement, en pratique faut-il choisirβ>λouβ<λlorsquetest grand ?
Exercice 4(Variables de contrôle). On suppose dans cet exercice queX1, . . . ,Xdsonti.i.d.suivant la loi de Gumbel dont la densité est donnée par
f(x)= 1 βexp
½
−exp µ
−x−µ β
¶¾ exp
µ
−x−µ β
¶
1{x∈R}, avec µ∈R et β∈R∗+.
1. Décrire une méthode pour simuler suivant la densitéf et donner le codeRassocié.
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Examen Méthodes de Monte Carlo
2. On considère les fonctions h0,1:x1, . . . ,xn7→ ∂
∂µ`(µ,β|x1, . . . ,xd) et h0,2:x1, . . . ,xn7→ ∂
∂β`(µ,β|x1, . . . ,xd),
où`(µ,β|x1, . . . ,xd) est la log-vraisemblance associée àX1, . . . ,Xdvariables aléatoiresi.i.d.de loi de Gumbel.
(a) Rappeler la définition et la variance d’un estimateur de la variable de contrôle pourp.
(b) Montrer que sous des conditions de régularité usuellesE£
h0,1(X1, . . . ,Xd)¤
=E£
h0,2(X1, . . . ,Xd)¤
= 0.
(c) En pratique, quel critère utiliseriez-vous pour choisir entreh0,1eth0,2pour construire un esti- mateur de la variable de contrôle ? Vous justifierez le critère utilisé.
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