1. Donner la définition du biais et de l’erreur quadratique moyenne d’un estimateur.

Sorbonne Université Année 2020/2021

L3 Deuxième semestre

Examen de statistique

Exercice 1 : (2 points) Questions de cours :

1. Donner la définition du biais et de l’erreur quadratique moyenne d’un estimateur.

2. Soit θ ∈ _R et ˆ θ

un estimateur admettant un moment d’ordre 2. Montrer que EQM ˆ θ

, θ

= B θ ˆ

, θ

+ _V θ ^ˆ

.

Exercice 2 : (4 points) Dans chacun des cas suivant, donner la normalité asymptotique de ˆ θ

: 1. θ > 0, ˆ θ

=

Xn

et

√ n

X

− ¹ θ

−−−−→

n→+_∞

N

0, 1 θ

. Fait et refait, on a

√ n θ ˆ

− θ

−−−−→

n→+_∞

0, θ

. 2. θ > 0, ˆ θ

=

X³_n

et

√ n

X

− θ

−−−−→

n→+_∞

N ( 0, 1 )

On a g ( x ) = x

et donc g

( x ) = − 3x

et en particulier g

( θ

) = − 3θ

et donc

√ n θ ˆ

− θ

−−−−→

n→+_∞

0, 9θ

.

Exercice 3 : Soit θ > 0. On considère une variable aléatoire X ayant pour densité f

( x ) = 2e

e

1

Dans tout ce qui suit, on considère X

, . . . , X

des variablles aléatoires i.i.d de même loi que X.

1. Montrer que E [ X ] = θ +

et V [ X ] =

.

Version 1 : Pour tout t < 2, la fonction génératrice des moments est définie par G

( t ) = e

Z

θ

2e

dx = e

2 t − 2

h

e

i

= − 2

t − 2 e

On a G

( t ) =

e

+

t−2)²

e

, et donc E [ X ] = G

( 0 ) = θ +

. De plus, on a G

( t ) = − 2θ

t − 2 e

+ ^2θ ( _t − 2 )

^e

θt

+ ^2θ

( _t − 2 )

^e

θt

− ⁴

( _t − 2 )

^e

θt

et donc E X

= θ

+ θ +

. Ainsi V [ X ] =

. Version 2 : A l’aide d’une IPP, on a

E [ X ] = e

Z

θ

2xe

dx = e

− xe

θ

+

Z

θ

e

dx

= e

θe

+ ¹ 2 e

= θ + ¹ 2 De la même façon,

E X

= e

Z

θ

x

2e

dx = e

− x

e

θ

+ 2

Z

θ

xe

dx

= θ

+ _E [ X ]

= θ

+ θ + ¹ 2 . 2. Par la méthode des moments, donner un estimateur ˆ θ

de θ.

On a ˆ θ

= X

− 1/2.

3. L’estimateur ˆ θ

est-il consistant ?

Par la LGN, on a X

qui converge en probabilité vers θ + 1/2, et donc θ ˆ

−−−−→

n→+_∞

θ.

4. L’estimateur ˆ θ

est-il asymptotiquement normal ? Par le TLC, on a

√ n X

− θ − 1/2

−−−−→

n→+_∞

N

0, 1 4

ce qui se réécrit directement,

√ n θ ˆ

− θ

−−−−→

n→+∞

N

0, 1 4

5. Montrer que l’estimateur du maximum de vraisemblance est X

= min

X

. On a

L

( θ ) = e

2

e

∏

1

et

∏

1

= 1 ⇔ ∀ i, θ ≤ X

⇔ θ ≤ X

et on a donc la vraisemblance

L

( θ ) = e

2

e

1

qui est strictement croissante ] 0, X

] et nulle sur ] X

, + _∞ [ et le maximum est donc atteint en X

.

6. Montrer que la fonction de répartition F

de x est définie pour tout x par

F

( x ) =

( 1 − e

si x ≥ θ

0 sinon.

Si x < θ, P [ X ≤ x ] = 0. Si x ≥ θ, F

( x ) = e

Z

θ

2e

dx = e

− e

+ e

= 1 − e

7. En déduire la consistance de X

. On a

P h

X

≤ x i

= ₁ − _P ^h X

> x i

= ₁ − _P [∀ i, X

> x ] . Par indépendance, on a

P [∀ i, X

> x ] =

∏

P [ X

> x ] = ( _P [ X > x ])

= e

et donc P h

X

≤ x i

= 1 − e

. On a donc pour tout e > 0, comme X

≥ θ, P h

X

− θ ≥ e

i = _P ^h _X

− θ ≥ e

i = _P ^h _X

≥ θ + e

i = _e

−−−−→

n→+_∞

0 et on a donc convergence en probabilité.

8. Montrer que

n

X

− θ

∼ E ( 2 ) Comme X

≥ θ, pour tout x < 0, on a P h

n

X

− θ

≤ x i

= 0. Pour tout x ≥ 0, on a P h

n

X

− θ

≤ x i

= _P ^h X

≤ θ + ^x n i

= ₁ − e

= F

( x ) _.