 (moyenne quadratique des

Devoir d’approfondissement sur moyennes et fonctions

I. Moyenne Partie A

Étant donnés deux réels x et y strictement positifs, on pose :

2 x y

a 

 (moyenne arithmétique)

g xy (moyenne géométrique) 2xy

h x y

 (moyenne harmonique ; on a 1 1 1 1 2

h a b

 

   

 )

2 2

2

x y

q 

 (moyenne quadratique).

1°) Calculer a, g, h, q pour x2 ety3. Les comparer.

2°) Démontrer que l’ordre trouvé est indépendant de x et y.

Partie B

Étant donnés n réels strictement positifs x₁, x₂, … , x_n, on pose :

1

1

i n i i

a x

n









2 1 i n

i i

x

q n







(moyenne quadratique des n nombres).

1°) Calculer 1

 

1 i n

i i

S x a









^{ }

1 i n

i i

S x a









2°) Démontrer que a  q.

II. Pour tout réel m, on note f_m la fonction définie sur  par ^f_m

 

On note C_m la courbe représentative de f_m dans le plan muni d’un repère (O, i

 , j

).

1°) Après une étude convenable, tracer les représentations graphiques de deux couleurs différentes : C1 et C_1 (même graphique) ;

C2 et C_2 (2^e graphique) ;

1 2

C et ₁

2

C (3^e graphique).

2°) Soit  un réel quelconque. On considère les points M

 

1

m 1 f

 

  et

 

1

M' _m 1

f_

 

  .

Quelles sont les coordonnées du milieu de





 

4°) Pour quelles valeurs de m, f_m est strictement croissante sur  ? strictement décroissante sur  ?