DEVELOPPER APPROFONDISSEMENT
I. Dével opper : A (2 x 5) x
B ( x 2)( x 3)( x 1)
II. a,b et c sont, dans cet ordre, trois entiers consécutifs.
1. Exprim er b et c en fonction de a.
2. Calculer b ² a c.
3. Calculer sans calculatrice 199² 198 200
4. Existe-t-il trois entiers positifs consécutifs dans cet ordre : a ,b,c tels que a c 9 999 999 ? 5. ABC est un triangle rectangle en C tel que AB c ; AC b et BC a , où a,b et c sont, dans cet ordre, trois entiers consécutifs, l unité étant le cm.
a.
En utilis ant l a questi on 2, mont rer que 1 ac c² a².
b.
Mont rer que a ² 2 a 3 0.
c.
Développer ( a 1)(a 3).
d.
En déduire a, b et c.
e.
Qu a-t-on prouvé ?
III. a,b,c ,d sont des entiers strictement positifs.
1. Mont rer que (a ² b ²)(c² d²) (a c bd )² (ad b c)².
2.
a.
Ecrire 68 et 85 sous la forme d une somme de deux carrés d entiers strictement positifs.
b.
Ecrire 68 85 s écrit sous la forme d une somme de deux carrés d entiers strictement positifs.
c.
Tout nombre entier positif s écrit-il sous la forme d une somme de deux carrés d entiers strictement positifs ?
3. a et b sont deux entiers strictement positifs. En utilisant la question 1, montrer que (a 3 b )² (3 a b)² est un multiple de 10.
IV. Ecri re un al gorithm e qui demande l es val eurs de 4 réels a ,b,c et d et donne la forme
développée de (ax b)( cx d).
DEVELOPPER APPROFONDISSEMENT
CORRECTION
II.
a,b et c sont, dans cet ordre, trois entiers consécutifs.1. b a 1 et c a 2.
2. b² ac (a 1)² a(a 2) a² 2a 1 a² 2a 1 3. 199² 198 200 1 d après la question 2
4. D apr ès l a quest i on 2, ac b² 1.
On a alors b²=10 000 000 et b 10000000. Or 10000000 n est pas un nombre entier.
Ainsi, il n existe pas trois entiers positifs consécutifs dans cet ordre : a,b,c tels que ac 9 999 999.
5. ABC est un triangle rectangle en C tel que AB c ; AC b et BC a, où a,b et c sont, dans cet ordre, trois entiers consécutifs.
a. AB est le plus grand côté du triangle ABC. D’après le th de Pythagore, c² a² b² et donc b² c² a².
D apr ès l a quest i on 2, c² a² ac 1 et donc 1 ac c² a².
b. On a c a 2 donc 1 a(a 2) (a 2)² a², c'est-à-dire 1 2a a² 4a 4 et donc a² 2a 3 0.
c. (a 1)(a 3) a² 2a 3.
d. a² 2a 3 0 donc a 1 ou a 3.
a étant une longueur, a 3.
On a d onc a 3, b 4 et c 5.
e. Vérification : si AB 5, AC 4 et BC 3 : ABC rectangle en C.
Conclusion : L unité étant le cm, il existe un unique triangle rectangle dont les longueurs des côtés sont des entiers consécutifs. Ces longueurs sont 3cm, 4cm et 5cm.
III.
a,b,c,d sont des entiers strictement positifs.1. (a² b² ) (c² d² ) a²c² b²c² b²d² a²d² .
D aut re par t , (ac bd) ² (ad bc) ² a²c² 2ab cd b²d² a²d² 2abcd b²c a²c² b²c² b²d² a²d² .
Donc (a² b² ) (c² d² ) (ac bd) ² (ad bc) ² . 2.
a. 68 8² 2² et 85 9² 2².
b. Al ors d a près l a quest i on 1, 6 8 8 5 ( 8 9 2 2)² ( 8 2 2 9)² 76² ( 2 )² 76² 2².
c. Supposons que 4 a² b² avec a et b entiers strictement positifs.
b² 0 donc a² 4 et donc a 2. Or a est un entier strictement positif. Ainsi a 1.
De mê me b 1.
Or 1² 1² 2 4.
Ainsi 4 ne peut pas s écrire sous la forme d une somme de deux carrés d entiers strictement positifs.
3. On ut i l i se l a quest i on 1 a vec c 1 et d 3.
On a alors (a² b²) 10 (a 3b)² (3a b)².
Et a² b² est un nombre entier donc (a 3b)² (3a b)² est un multiple de 10.
IV.
Ent rer a,b ,c et d e prend la valeur ac f prend la valeur ad bc g prend la valeur bd
Afficher "la forme développée est"
Afficher e Afficher "x²+"
Afficher f Afficher "x+"
Afficher g
