DEVOIR A LA MAISON N°2 2
nde7.
Pour le jeudi 22 septembre 2016.
I. Dans un repère, on donne A (2 6) ; B (4 3) et C(6 1).
1. Le point C est-il le symétrique du point B par rapport au point A?
2. Déterminer les coordonnées du point D symétrique du point C par rapport au point A.
II. Dans un repère orthonormal d’origine O, on donne les points A (
2 ; 2 ), B(2 ; 2 ), C (1 ; 1), D(0 ; 4) et F ( 1 1).
1. Tracer le cercle circonscrit au triangle ABD. Quel semble être son centre ? 2. Prouver la conjecture précédente. Quel est le rayon du cercle ?
3. Le point E(4 0) appartient-il au cercle ?
4. Calculer AF, FB et AB . En déduire que les points A,F et B sont alignés..
III. ABCD est un carré. Les points E ,F et G sont les milieux respectifs des segments [ AB], [ BC ] et [ BF ].
On veut démontrer que les droites (AF) et (DE) sont perpendiculaires.
1. On se place dans le repère orthonormal ( A; B; D). Donner les coordonnées de tous les points de la figure.
2. Mont rer que l e t ri angl e DEG est rectangle.
3. Justifier que les droites ( AF) et ( EG) sont parallèles.
4. Conclure.
IV. Pour chercher.
Soit, dans un repère orthonormal les points A(0;5) et B (5;0).
On note le cercle de centre A et de rayon 5 et Δ la médiatrice du segment [ AB ].
Soit M(x y ) un point appartenant à et à .
1. En utilisant le fait que M est un point de , montrer que x² y ² 10y 0.
2. En utilisant le fait que M est un point de , montrer que x y.
3. Déduire des questions précédentes les coordonnées des points d intersection de et .
CORRECTION DU DEVOIR A LA MAISON N°2 2
nde.
I.
1. C est le symétrique du point B par rapport au point A si et seulement si A est le milieu de [ BC ].
Soit I le milieu de [ BC ]. x
I4 6
2 1 et y
I6 1
2 3,5 donc I(1 3,5). I et A ne sont pas confondus donc C n est pas le symétrique du point B par rapport au point A.
2. D est le symétrique du point C par rapport au point A si et seulement si A est le milieu de [ DC ].
A milieu de [ DC] ssi
xA xD2xC
y
AyD yC
2
ssi
2 xD2 6
6
yD 1 2ssi
4 x
D6 12 y
D1 ssi
2 x
D11 y
D. D ( 2 11).
II.
1. Il s embl e qu e C soit le cen tre du cercle . 2. CA = ( 2 1)
2(2 1)
2= 10
CB = (2 1)
2( 2 1)
2= 10 CD = (0 1)
2(4 1)
2= 10
CA CB CD donc C est le centre du cercle et le rayon du cercle est 10 . 1. CE (4 1)
2(0 1)
210 donc E appartient au cercle ?
2. AF ( 1 2)² (1 2)² 2 ; FB (2 1)² ( 2 1)² 18 3 2 et
AB (2 2)² ( 2 2)² 32 4 2 .
On a AF FB 2 3 2 4 2 AB donc les points A,B et F sont alignés.
III.
1. A(0 0), B (1 0), C(1 1 ), D(0 1 ), E(0,5 0), F(1;0 ; 5) et G(1 0,25).
2. DE (0,5 0)² (0 1 )² 1,25 ; DG (1 0)² (0,25 1)² 1,5625 et EG (1 0,5)² (0,25 0)² 0,3125 .
On a DE ² EG² 1,25 0,3125 1,5625 et DG ² 1,5625.
DE ² EG ² DG ² donc, d après la réciproque du th de Pythagore, le triangle DEG est rectangle en E.
3. Dans l e tri angle BAF, E est le milieu de [ AB ] et G est le milieu de [ FB ].
La droite qui joint les milieux de deux côtés d un triangle est parallèle au troisième côté.
Ainsi, les droites (AF) et (E G ) sont parallèles.
4. D après la questi on 1, l a droit e (DE ) est perpendiculaire à la droite ( EG ).
D après la questi on 2, l a droit e (AF ) est parallèle à la droite ( EG).
Lorsque deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l une est perpendiculaire à l autre.
Ainsi, les droites (AF) et (DE ) sont perpendiculaires.
IV.
1. M est un point de donc AM 5, et donc AM ² 25.
AM (x 0)² (y 5)² x² y ² 10y 25 .
AM ² 25 donc x ² y² 10 y 25 25, et donc x² y ² 10y 0.
2. M est un point de donc AM BM et donc AM² BM ².
AM (x 0)² (y 5)² x ² y² 10y 25 et BM (x 5)² (y 0)² x ² y² 10x 25 AM ² BM ² donc x ² y² 10 y 25 x ² y² 10x 25 donc 10 y 10x et donc x y.
3. M (x y ) est un point d intersection de et ssi
x² y ² 10y 0
x y ssi
x² x² 10 x 0 x y
ssi
x(2 x 10) 0
x y ssi
x 0 x y ou
2x 10 0
x y ssi
x 0
y 0 ou
