Examen du 9 janvier 2018

Université Paris 13, Institut Galilée MACS 1 Intégration et probabilités Année universitaire 2017-2018

Examen du 9 janvier 2018

Durée : 3 heures

Document autorisé : une page A4 de notes manuscrites. Appareils électroniques interdits.

Toute réponse doit être soigneusement rédigée et justiée.

Exercice 1. On considère la fonction

f :t7→ a

√t1_]0,1[(t), oùaest une constante.

1. Déterminer la valeur deatelle quef est une densité. On prendra cette valeur ensuite.

SoitX une variable aléatoire qui suit la loi de densité f. 2. Calculer la fonction de répartition deX.

3. Pour quelles valeurs deα∈Rla variable aléatoireX^αest-elle intégrable ? 4. Justier queE[X] a un sens et calculer sa valeur.

5. Montrer queY =√

X suit la loi uniforme sur[0,1]. 6. Déterminer la loi deZ=₁

Y

, oùbxcest la partie entière dex. Indication : pourk∈N, dans quel intervalle doit se trouverY pour que l'on ait 1

Y

=k?

7. Exprimer la probabilité queZ soit pair sous la forme d'une série. Vérier que l'on a aussi P(Z est pair) =

∞

X

n=2

(−1)ⁿ n et en déduire cette valeur.

8. Est-ce queZ est intégrable ? Est-ce que√

Z est intégrable ?

Exercice 2. On considère une suite de variables aléatoires (Yk)k≥1 dénies sur (Ω,F, P), indépendantes et suivant la loi uniforme sur[0,1]. On considère également une variable aléatoireN indépendante de(Y1, Y2, . . .), telle queN suit la loi géométrique de paramètre ¹₂ (pourk∈N^∗,P(N =k) = 2^−k). On va étudier

Z:= max{Y1, ..., Y_N}.

1. Soitt∈[0,1].

1.a) Pourn∈N^?, calculer la probabilitéP(max(Y₁, . . . , Y_n)≤t). 1.b) En déduire, pourn∈N^?, la probabilitéP({Z≤t} ∩ {N =n}). 1.c) En déduire la valeur deP(Z≤t).

2. En déduire la fonction de répartition deZ, puis le fait queZ a une densité que l'on précisera.

3. Justier queZ a une espérance et la calculer.

Exercice 3. SoitX, Y des variables aléatoires de carré intégrable.

1. À quelle condition a-t-onE[X²] = 0? On exclut ce cas dans la suite.

2. Vérier queR:λ7→R(λ) =E[(X+λY)²]est un polynôme de degré 2. D'après son signe, combien de racines peut-il avoir ? En déduire l'inégalité de Cauchy-Schwarz :E[XY]²≤E[X²]E[Y²].

3. Montrer que, pour touta∈[0,1],

(1−a)E[X]≤E[X1{X>aE[X]}].

Indication : commencer par écrireX =X1{X>aE[X]}+X1_{X≤aE[X]}, prendre l'espérance et majorer un terme.

4. Déduire de tout ce qui précède que, pour touta∈[0,1],

P(X > aE[X])≥(1−a)²E[X]² E[X²]. 1

Exercice 4. SoitX une variable aléatoire à valeurs dans]0,1]. On dénit la fonctionF sur[0,+∞[par : pour touts≥0, F(s) =E[X^s].

1. Justier queF(s)est bien déni, pour touts≥0, et queF(s)<∞. 2. CalculerF, lorsque

2.a)X =e^−Z, oùZ suit la loi exponentielle de paramètre 1.

2.b)X suit la loi dénie par :

pour tout entierk≥1, P X= 1

k

= 1

ζ(2)k², où, pours >1,ζ(s) =

∞

X

k=1

1

k^s. La fonctionF sera exprimée en termes de la fonctionζ. 3. SiX a pour densité f, exprimerF(s)en fonction def.

Dans la suite de cet exercice, on ne suppose pas queX a une densité. Cependant, si cela vous paraît plus simple, vous pouvez le supposer (vous n'aurez alors pas tous les points).

4. Montrer queF est continue sur[0,+∞[.

5. On suppose maintenant de plus queZ=−lnX est intégrable.

5.a) Montrer que F est dérivable sur [0,+∞[ et exprimer F⁰(s)sous la forme d'une espérance. Que vaut en particulierF⁰(0)?

5.b) En déduire un développement limité deF à l'ordre 1 au voisinage de0.

5.c) En déduire que F(s)^1/s admet une limite quand s → 0⁺, que l'on précisera. Vérier le résultat obtenu dans le cas de la question 2.a).

L'exercice suivant utilise la loi forte des grands nombres dont on rappelle l'énoncé : pour toute suite(X_n)_n≥1 de variables aléatoires réelles intégrables, indépendantes et de même loi,

presque sûrement, X1+· · ·+Xn

n −→

n→∞E[X1].

Le but de l'exercice est d'étudier le cas où les variablesXine sont pas intégrables, mais sont supposées positives.

Exercice 5. Soit(Xn)n≥1une suite de variables aléatoires indépendantes. On suppose qu'elles suivent la même loi, telle que0≤X1<∞presque sûrement, etE[X1] =∞.

1. Donner un exemple de loi pourX₁ qui vérie ces hypothèses.

2. Soitk∈N. Pour toutn, on poseYn^(k)= min(X_n, k).

2.a) Que peut-on dire de la suite(Y₁^(k))_k≥0? (On pourra décrireY₁⁽⁰, Y₁⁽¹⁾, . . .plus explicitement) 2.b) Justier les propriétés suivantes :

• Y₁^(k) est intégrable ;

• E[Y₁^(k)] −→

k→∞+∞. 3. Soitk∈N.

3.a) Montrer que, presque sûrement, la suite suivante converge quandn→ ∞: min(X1, k) +· · ·+ min(Xn, k)

n et donner sa limite.

3.b) En déduire que, presque sûrement, il existen0tel que, pour toutn≥n0, X1+· · ·+Xn

n ≥ 1

2E[Y₁^(k)].

4. Conclure que, presque sûrement,

X1+· · ·+Xn

n −→

n→∞+∞.

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