Examen du 5 Janvier 2017

Universit´e d’Artois

Facult´e des sciences Jean Perrin Licence de Math´ematiques ModuleInt´egration

Examen du 5 Janvier 2017

Dur´ee : 4h

Questions de cours.

(1) Soit (Ω,B) un espace mesurable, et soit (fn) une suite de fonctions mesurables sur Ω, `a valeurs r´eelles. Montrer que B ={x∈Ω; f_n(x) tend vers 6} est un ensemble mesurable.

(2) Soit (Ω,B, µ) un espace mesur´e, et soit f : Ω → C une fonction int´egrable.

Pourn ∈N^∗, on pose B_n={x∈ Ω; |f(x)| ≥n²}. En utilisant l’in´egalit´e de Markov, montrer que la s´erie ^Pµ(B_n) est convergente.

(3) Soit α <1. Montrer queg(t) = t^−αlog(t) est int´egrable sur ]0,1].

(4) D´eterminer, si elles existent, les limites quand n → ∞ de

I_n=

Z ∞ 1

e^−t

√4 n

t¹⁺ⁿ¹ dt et J_n=

Z ∞ 1

arctan^Än_t sin^Ä_n^tää e^cos

Ä nπt 3+2nt

ä

+t^2+sin2

Ä√t n

ä dt .

(5) Calculer l’int´egrale ^R₀¹(−xⁿ) log(x)dx pour tout entier n ≥ 1, et en d´eduire l’´egalit´e ^R₀^{1 log(x)}_x−1 dx= ^P∞

k=1 1 k²·

(6) Soient f et g deux fonctions int´egrables sur ]0,∞[. Montrer que h(x) =

R∞

0 f^Äx_y^äg(y)^dy_y est bien d´efini pour presque toutx∈]0,∞[ et que la fonction h est int´egrable sur ]0,∞[.

(7) Soit φ : ]0,6] → C une fonction bor´elienne born´ee. Montrer que la formule f(x) =^R₀⁶φ(t) log(t)t^−xdt d´efinit une fonction de classe C¹ sur I = ]0,1[.

(8) Soit D = {(x, y) ∈ R²; 0 ≤ y ≤ x³ , xy ≤ 1 et x+ 4y ≤ 5}. Calculer l’int´egrale I =^R_Dy dxdy.

(9) Soit D = {(x, y) ∈ R²; x+y ≥ 0 et 1 ≤ x² +y² ≤ 3}. Calculer l’int´egrale I =^R_Dxy dxdy en utilisant les coordonn´ees polaires.

(10) Soit f : R →C une fonction de classe C¹. On suppose que f⁰ ∈L^p(R) pour un certainp > 1. En utilisant l’in´egalit´e de H¨older, montrer qu’il existe deux constantesC etα >0 telles que ∀x, y ∈R : |f(y)−f(x)| ≤C|y−x|^α.

1

2

Exercice 1. Dans tout l’exercice (Ω,B, µ) est un espace mesur´e.

(1) Soit f une fonction ´etag´ee positive sur Ω, qu’on ´ecrit f =

N

X

i=1

α_i1_Ai

avec α_i ∈ R⁺ et des A_i mesurables et deux `a deux disjoints. Montrer que pour toutt≥0, on a

µ^Ä{f > t}^ä=

N

X

i=1

µ(A_i)1_[0,αi[(t).

(2) Soit φ : [0,∞[→R une fonction de classe C¹, positive, croissante et v´erifiant φ(0) = 0. Montrer que toute fonction mesurable positive f sur Ω, on a

Z

Ω

φ(f(x))dµ(x) =

Z ∞ 0

φ⁰(t)µ^Ä{f > t}^ädt . (Commencer par le cas o`u la fonction f est ´etag´ee).

(3) Soit f une fonction mesurable positive sur Ω. On suppose qu’il existe deux constantes A < ∞ et c > 0 telles que ∀t > 0 : µ({x; f(x) ≥ t}) ≤ A e^−ct. En appliquant (2) avec φ(t) = t^p, montrer que f ∈L^p pour toutp∈[1,∞[.

Exercice 2. Soit p tel que 1< p <∞, et soitf ∈L^p(]0,∞[). On note q l’exposant conjugu´e de p. Le but de l’exercice est de montrer qu’on a

x→∞lim 1 x^1/q

Z x 0

f(t)dt= 0.

(1) Montrer que pour toutε >0, on peut trouverA >0 tel que ^R_A^∞|f(t)|^pdt < ε.

(2) PourA >0, on pose CA=^R₀^A|f(t)|dt. Montrer que pour tout x≥A, on a 1

x^1/q

Z x 0

|f(t)|dt ≤ C_A x^1/q +

ÅZ ∞ A

|f(t)|^pdt

ã1/p

. (3) D´emontrer le r´esultat souhait´e.

Exercice 3. On rappelle la d´efinition de la fonction Gamma :

∀s >0 : Γ(s) =

Z ∞ 0

x^s−1e^−xdx .

(1) Soit Ω = ]0,∞[×]0,∞[⊆R². Montrer que l’application Φ d´efinie par Φ(u, v) = (_1+u^uv ,_1+u^v ) est un diff´eomorphisme de Ω sur Ω.

(2) En d´eduire que pour tout s∈]0,1[, on a

Z

Ω

Çx y

ås

e^−(x+y) dxdy

x =

Z ∞ 0

du u^1−s(1 +u)· (3) Montrer que pour touts∈]0,1[, on a

Γ(s)Γ(1−s) =

Z ∞ 0

du u^1−s(1 +u)·

3

(4) Utiliser (3) pour calculer Γ(1/2), et en d´eduire que^R₀^∞e^−t2dt =

√π 2 ·

Exercice 4. Le but de l’exercice est de montrer que pour tout c≥0, on a

Z ∞ 0

e^−c/t2e^−t2dt =

√π 2 e⁻²

√c

.

(1) Pour c ≥ 0, on pose f(c) = ^R₀^∞e^−c/t2e^−t2dt. Montrer que la fonction f est continue sur [0,∞[ et de classeC¹ sur ]0,∞[.

(2) V´erifier que f(c) = √

c ^R₀^∞e^−u2e^{−c/u2 du}_u2 pour tout c > 0, et en d´eduire une relation entref⁰(c) et f(c).

(3) D´emontrer le r´esultat souhait´e.