Examen final du 6 mai 2015

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Université Paris 13, Institut Galilée MACS 1 – Intégration et probabilités Année universitaire 2014-2015

Examen final du 6 mai 2015

Durée : 3 heures

Document autorisé : une page A4 de notes manuscrites. Appareils électroniques interdits.

Toute réponse doit être soigneusement rédigée et justifiée.

Exercice 1 – Calculs sur les lois à densité. SoitX une variable aléatoire de densité f :x7→f(x) =xe⁻^x

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2 1_R₊(x) =

(xe^−x²^/2 six≥0

0 sinon.

Pour certains calculs d’intégrales dans la suite, on pourra penser à intégrer par parties avec v⁰ =xe^−x²^/2 ou se rappeler queR

Re^−x²^/2dx=√ 2π.

1.Vérifier quef est effectivement une fonction de densité.

2.SoitXune variable aléatoire de densitéf. Calculer sa fonction de répartition et la représenter graphiquement.

3.CalculerE[X].

4.CalculerVar(X).

5.Déterminer la loi deX².

6.SoitY une variable aléatoire indépendante deX et de même loi. On poseM = max(X, Y).

6.a)Calculer la fonction de répartition deM.

6.b)La loi de M a-t-elle une densité ? Si oui, la calculer.

Exercice 2. Soitλ > 0. Soit (X_n)_n≥1 une suite de variables aléatoires indépendantes, qui suivent toutes la loiP(λ). On rappelle que, siX suit la loiP(λ),

pour toutk∈N, P(X =k) =e^−λλ^k k!. 1.SiX suit la loiP(λ),

1.a)calculer, en fonction deλ,P(X6= 0),E[X]et E[X!]; 1.b)justifier queln(1 +X)est intégrable.

2.On définitZ₀= 1 et, pour toutn≥1, Zn=

n

Y

m=1

Xm=X1· · ·Xn.

2.a)Pourn≥1, calculerP(Zn 6= 0). En déduire que la suite(Zn)n≥1 converge en probabilité vers0.

2.b)Montrer que, presque sûrement, il existen∈N^∗tel queXn= 0. En déduire que(Zn)n≥1converge presque sûrement vers0.

2.c)Pour n≥1, que vautE

|Zn|

? Est-ce que(Z_n)_n≥1converge vers 0 dans L¹? 2.d)On définit la variable aléatoire

W =

∞

X

n=0

Z_n. Justifier queW <∞p.s., et calculerE[W].

3.On définit, pour toutn≥1,

Y_n=

n

Y

m=1

1 +X_m .

À l’aide d’un théorème du cours, montrer que(_n¹lnYn)_n≥1 converge presque sûrement vers une constante réelle (que l’on ne cherchera pas à calculer).

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Exercice 3 – Inégalité exponentielle. Soit(Xk)k≥1 une suite de variables aléatoires indépendantes, de loi exponentielle de paramètre 1. Pour tout entiern≥1, on pose

T_n=X₁+· · ·+X_n. 1.Montrer que, pour toutλ <1,

E[e^λX¹] = 1 1−λ. 2.En déduire, pourλ <1etn≥1, la valeur deE[e^λTⁿ].

3.Montrer que, pour toute variable aléatoire réelleZ, pour toutλ >0, et touta∈R, P(Z > a)≤e^−λaE[e^λZ].

Indication : On pourra remarquer que Z > asi, et seulement si e^λZ> e^λa. 4.Soitε >0, etn≥1.

4.a)Utiliser l’inégalité précédente pour obtenir une majoration de la forme : pour tout0< λ <1, P(Tn>(1 +ε)n)≤e^−nψ^ε^(λ)

oùψεest une fonction qui ne dépend pas den.

4.b)Déterminer la valeur deλqui maximiseψε(λ). Montrer que l’inégalité précédente s’écrit, pour cette valeur deλ,

P(T_n>(1 +ε)n)≤e−n(ε−ln(1+ε)). 4.c)Montrer que, pour toute variable aléatoireZ, pour toutλ >0 eta∈R,

P(Z < a)≤e^λaE[e^−λZ].

Onadmetque l’on peut alors adapter le calcul de 4.a) et 4.b) pour obtenir P(Tn<(1−ε)n)≤e−n(−ε−ln(1−ε)).

5.Justifier qu’il existeε0>0tel que, pour toutx∈[−ε0,+ε0], x−ln(1 +x)≥x²

3 .

En déduire que, si0< ε < ε0,

P

Tn

n −1 > ε

≤2e^−nε²^/3. 6.En utilisant le résultat précédent pourε=

q6 lnn

n et un « lemme » du cours (et sans utiliser la loi forte des grands nombres), conclure que la suite de variables aléatoires

T_n n

n≥1 converge vers1 presque sûrement.

On a donc redémontré la loi forte des grands nombres dans ce cas particulier, à l’aide d’estimées quantitatives.

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