ENS Lyon Analyse Complexe
L3 2008-2009
Examen Partiel 25 mars 2009
Dur´ee : 2h. Les documents et calculatrices sont interdits. Toute r´eponse doit ˆetre soi- gneusement justifi´ee. Les r´esultats du cours peuvent ˆetre utilis´es sans d´emonstration, `a condition qu’ils soient ´enonc´es pr´ecis´ement.
I.Soit U ⊂R2 un ouvert connexe. On note (x, y) les coordonn´ees r´eelles et z=x+iy.
1. Pourf :U →C, exprimer le laplacien ∆f := ∂2f
∂x2 +∂2f
∂y2 `a l’aide des op´erateurs ∂
∂z et ∂
∂z¯.
2. Soitf une fonction holomorphe surU. Montrer que si ∆(|f|2) = 0 surU, alorsf est constante.
II.Soit f une fonction enti`ere non constante. Montrer quef(C) est dense dansC. III.Soita >0. Utiliser des m´ethodes d’analyse complexe pour calculer l’int´egrale suivante
Z ∞
0
x2−a2 x2+a2
sinx x dx.
IV.Le but de cet exercice est de calculer la valeur de l’int´egrale I =
Z
|z|=1
√ dz
6z2−5z+ 1,
o`u la racine est choisie de sorte que l’int´egrande prenne la valeur √1
2 en z = 1. On note U =C\[13,12].
1. Montrer qu’il existe une unique fonction f holomorphe sur U telle que f(1) = √ 2 et f(z)2 = 6z2 −5z+ 1 pour tout z ∈ U (dans la suite, l’int´egrale ci-dessus sera comprise comme l’int´egrale sur le cercle unit´e de la fonction 1/f).
2. La fonctionf du point 1. s’´etend-elle en une fonction enti`ere ? 3. Montrer que
Z
|z|=1
dz f(z) =
Z
|z|=R
dz
f(z) pour tout R > 12. 4. Montrer que f(z) = √
6z +ϕ(z) avec ϕ(z)
z → 0 quand |z| → +∞, et justifier soigneusement le fait que
Z
|z|=R
dz f(z)
R→+∞
−→ 1
√6 Z
|z|=1
dz z . En d´eduire la valeur de l’int´egrale I.
5. Rappeler la d´efinition d’un ouvertsimplement connexe, et d´eduire de ce qui pr´ec`ede que U n’est pas simplement connexe.
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