Exercices sur les lois discrètes
Exercice n°1 : Soient X et Y deux variables aléatoires discrètes suivant toutes deux une loi binomiale.
La probabilité du succès pour la variable X est de 0,45 et la probabilité de l’échec de la variable Y est de 0,2. De plus, on sait que chaque variable correspond à 5 épreuves de Bernouilli.
1) Pour chacune des variables, déterminez l’espérance et la variance.
2) Si on répétait maintenant 55 épreuves de Bernouilli pour chacune des variables, pourrait-on approximer la loi Binomiale par une autre loi discrète ? Expliquez.
Exercice n°2 : Soit un jeu de 32 cartes. On s’intéresse à la variable aléatoire X : « valeur de la carte tirée ». On suppose, pour ce jeu, que toutes les cartes comprises entre 7 et 10 conservent leur valeur. De plus, on prendra la valeur 11 pour le Valet, 12 pour la Dame, 13 pour le Roi et 14 pour l’As.
1) Déterminez, en le justifiant, la loi suivie par X ?
2) Quelle est la probabilité que la carte tirée ait une valeur égale à 10 ? 3) Quelle est la probabilité que la carte tirée ait une valeur inférieure à 11 ? 4) Calculez l’espérance et la variance de X, en interprétant le résultat du premier.
Exercice n°3 : On s’intéresse au nombre d’accidents corporels au sein d’une entreprise durant les 200 premiers jours de l’année.
On appelle X la variable « nombre d’accidents corporels au sein de l’entreprise qui ont eu lieu durant les 200 premiers jours de l’année ».
On vous donne la répartition de la variable X en fonction du nombre de jours :
Xi 0 1 2 3 4 5 6 Total
ni 25 10 5 25 50 55 30 200
1) Calculez le nombre d’accidents moyen dans l’entreprise. Interprétez votre résultat.
2) Quelle loi est suivie par la variable X ? Expliquez les raisons de votre choix.
3) Déterminez l’espérance et la variance de la variable X.
Exercice n°4 : Monsieur Ω est très distrait : lorsqu’il s’arrête pour prendre de l’essence, il a une chance sur dix de repartir sans sa compagne, qui est partie visiter les horizons.
On appelle X : « nombre d’étapes que Monsieur Ω parcourt avec sa compagne, avant de repartir sans elle ».
1) Déterminez la loi suivie par X.
2) Quelle est la probabilité que X soit égale à 5 ? Inférieure à 9 ? Supérieure à 2 ? 3) Calculez l’espérance de X et la variance de X, en interprétant le premier résultat.
4) Quel est le nombre maximum d’étapes que peut comporter le voyage pour que la passagère arrive à destination dans la voiture de Monsieur Ω avec une probabilité supérieure à 0,5 ?
