Feuille d'exercices 19. Lois discrètes usuelles
Exercice I.
Soit une v.a.X ,→U([[5; 10]]). Déterminer son espérance et sa variance.
Exercice II.
Soit(a;b)∈Z2,a < b, et une v.a. X ,→U([[a;b]]).
1. Quelles sont les valeurs possibles pourX, et combien y en a-t-il ? 2. DonnerP(X=k), pour k∈X(Ω).
3. CalculerE(X). 4. CalculerV(X).
Exercice III.
On considère une pièce de monnaie truquée telle que la probabilité d'obtenir pile est0.4 1. On lance 10 fois la pièce. Quelle est la probabilité d'obtenir 4 piles ?
2. On lance la pièce jusqu'à obtenir pile. En moyenne, combien eectuera-t-on de lancers ?
Exercice IV.
On considère un axe de graduations0,1,2, ..., n, ...
Un mobile se trouvant initialement en0se déplace vers la droite, de une ou deux cases à chaque seconde, et ce de manière équiprobable. Les déplacements eectués sont indépendants.
Pourn∈N, on noteXn et Yn les variables aléatoires représentant respectivement le numéro de la case où se trouve le mobile aprèsnsecondes, et le nombre de déplacements de deux cases eectués au cours desnpremières secondes.
1. Quelle est la loi deYn? En déduireE(Yn)et V(Yn).
2. ExprimerXn en fonction deYn. En déduireE(Xn)etV(Xn).
Exercice V.
SoitX une v.a. etY = 1
X+ 1. Montrer queY admet une espérance et la calculer dans les cas suivants : 1. X ,→P(λ) 2. X ,→B(n, p)
Exercice VI.
On cherche le mode de distribution des lois binomiale et de Poisson, ie la (ou les valeurs) dekpour la(les)quelle(s) P(X =k)est maximale, lorsqueX suit la loi en question.
1. SoitX ,→B(6,0.3)
a. Pour0≤k≤5, calculer P(X =k+ 1) P(X =k) .
b. En déduire le mode de distribution de la loiB(6,0.3). 2. Mêmes questions pour X ,→B(n, p).
3. Mêmes questions pour X ,→P(λ).
Exercice VII.
Une urne contientnboules noires etbboules blanches. On eectue des tirages avec remise jusqu'à l'obtention d'une boule noire.
SoitX le nombre de tirages nécessaires pour obtenir la boule noire, etY le nombre de boules blanches tirées avant la boule noire.
1. Quelle est la loi deX?
2. Quelle est la loi deY ? DéterminerE(Y).
1
Exercice VIII.
SoitX une v.a. telle que X(Ω) =N∗ et p∈]0; 1[. On suppose que ∀n∈N∗, P(X =n) =pP(X ≥n). 1. DéterminerP(X≥1),P(X = 1),P(X ≥2),P(X= 2).
2. Montrer queX ,→G(p).
Exercice IX.
Deux joueursAetB disposent chacun d'une pièce donnant pile avec la probabilitép∈]0; 1[.
1. Chaque joueur lance sa pièce jusqu'à ce qu'il obtienne pile. On noteXAet XB les nombres de lancers nécessaires.
a. Donner les lois deXA etXB, ainsi que leur espérance et leur variance.
b. CalculerP(XA=XB).
c. Pour n∈N∗, calculer P(XA≥n). En déduire P(XA≥XB).
2. Soitn∈N∗. Chaque joueur lance sa piècenfois. Calculer la probabilité qu'ils obtiennent le même nombre de piles.
Exercice X.
SoitX une v.a. à valeurs dansN.
1. Rappeler l'écriture sous forme de série deeλ. 2. Ecrireeλ+e−λ sous la forme d'une seule série.
3. On suppose queX ,→P(λ). a. Calculer
+∞
X
n=0
P(X = 2n).
b. X a-t-elle plus de chances d'être paire ou impaire ? 4. Mêmes questions pour X ,→G(p).
Exercice XI.
1. Soit X ,→P(λ), et t∈R. Montrer que les v.a. Y =tX et Z =etX admettent une espérance, et la calculer.
2. Si cette fois X ,→G(p), à quelle condition sur le paramètret les v.a. Y =tX et Z=etX admettent-elles une espérance ? Lorsque c'est possible, la calculer.
Exercice XII.
Sachant que le nombre moyen de communications reçues par un standard entre 15 h et 16 h est de1.4appels par minute, et que le nombre d'appels par minute suit une loi de Poisson, calculer la probabilité qu'entre 15h37 et 15h38, il y ait eu : 1. aucun appel 2. 1 appel 3. 2 appels 4. plus de deux appels
Exercice XIII.
Un journal A se trouve dans un kiosque au prix de2e. On suppose que le nombre de journaux A vendus chaque jour dans ce kiosque suit une loi de Poisson de paramètre21.
1. Quelle est la recette moyenne (pour ce journal) au cours d'une journée ? 2. On suppose que le stock quotidien est de 25 journaux.
a. Quelle est la probabilité que tous les clients ne puissent être satisfaits ? b. Quelle est alors la recette moyenne ?
2
Exercice XIV.
Une secrétaire eectuenappels téléphoniques versncorrespondants distincts, avecn≥2. Pour chaque appel, la probabilité d'obtenir le correspondant demandé estp∈]0,1[et la probabilité de ne pas l'obtenir estq= 1−p.
1. SoitX le nombre de correspondants obtenus lors de cesnappels. Quelle est la loi deX? CalculerE(X)et V(X). 2. Après cesnrecherches, la secrétaire demande une deuxième fois chacun des n−X correspondants qu'elle n'a pas
obtenus la première fois. SoitY le nombre de correspondants obtenus dans la deuxième série d'appels, etZ =X+Y le nombre total de correspondants obtenus.
a. Quelles sont les valeurs prises parZ?
b. Calculer p0=P(Z = 0),p1=P(Z = 1). Montrer quep1=npq2n−2(1 +q). c. Calculer P{X=k}(Y =l) pourk∈[[0, n]]etl∈[[0, n−k]].
d. Démontrer P(Z=m) =
m
X
k=0
P({X =k} ∩ {Y =m−k}). e. Vérier que
n k
n−k m−k
= n
m m
k
. En déduire que P(Z =m) = n
m
(p(1 +q))m(q2)n−m. f. Montrer quep(1 +q) = 1−q2et reconnaitre la loi suivie parZ
Exercice XV.
Un péage comportemguichets numérotés de1à m.
SoitN la variable aléatoire égale au nombre de voitures arrivant au péage en 1 heure.
On suppose queN suit une loi de Poisson de paramètreλ >0.
On suppose de plus que les conducteurs choisissent leur le au hasard et que ces choix sont indépendants.
SoitX la variable aléatoire égale au nombre de voitures se présentant au guichet numéro1. 1. Pour 0≤k≤n, calculer P{N=n}(X=k).
2. Justier que P(X =k) =
+∞
P
n=k
P{N=n}(X =k)P(N=n). 3. Montrer que P(X=k) =e−λ
1 m
k λk k!
+∞
P
n=0
1 n!
λ
1− 1
m n
. 4. En déduire la loi de probabilité deX (on retrouvera une loi usuelle).
5. Donner sans calcul les valeurs deE(X)et deV(X).
Exercice XVI.
On suppose que le nombreN de colis expédiés à l'étranger chaque jour par une entreprise suit une loi de Poisson de paramètreλ. Ces colis sont expédiés indépendamment les uns des autres.
La probabilité pour qu'un colis expédié à l'étranger soit détérioré est égale àt. On s'intéresse aux colis expédiés à l'étranger un jour donné :
N est la variable aléatoire égale au nombre de colis expédiés X est la variable aléatoire égale au nombre de colis détériorés Y est la variable aléatoire égale au nombre de colis en bon état On a doncX+Y =N.
1. Donner, en justiant, ∀(n;k)∈N2, la probabilité conditionnelle P{N=n}(X =k). 2. En déduire que X ,→P(λt).
3. En suivant une méthode similaire àX, déterminer la loi deY.
4. Les variablesX etY sont-elles, à priori et sans calcul, indépendantes ?
5. Calculer les probabilités P(X=k)P(Y =q) et P({X=k} ∩ {Y =q}). Conclusion ?
3
