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Corrigé type de TDN°11 Exercice1 :
SoitX v.a représente le nbre de sujets de statistiques tirées.
1) X suit la loi hypergéométrique X~ H(20,5,12/20) N=20 ; n=5 ,p =12/20=3/5
= = ; = 1,2,3,4,5
2) = = 5 = 3 ; = 1 − ! = 5 " "#
"# !=!$!%
Exercice2 :
1) Les 15 bulbes sont prélevés de manière indépendante car il y a un très grand nombre de bulbes et que pour chaque bulbe la probabilité de germer est de 0,83.
On note X v.a Le nombre de bulbes qui germent suit donc une loi binomiale de paramètres 15et 0,83. ; X~ B(15 ;0,83)
= & = '!( 0,83 ( 0,17 ! ( ; & = 0,1,2, … ,15 2) = 5 = '!( 0,83 0,17 !#≈ 0,00002
3) ≥ 9 = 1 − < 9 = 1 − 1 = 0 + = 1 + ⋯ + = 8 4 = 0,993 4) E(X)=np = 15 × 0,83 = 12,45
En moyenne, il y a 12 ou 13 bulbes qui germent.
Exercice3 :
1) X : nbre de gaucher dans un échantillon de 200 personnes.
X suit la loi binomiale : X~ B(200 ;0,01)
= & = '"##( 0,01 ( 0,99 "## ( ; & = 0,1,2, … ,200
2) On a : n =200>>30 et p = 0,01 ; On peut approximer X par la loi de Poisson de paramètre 5 = = 200 0,01 = 2 donc X~ P(2)
= & =2(
&! 7 " ; & = 0,1, … ,200
< 4 = = 0 + = 1 + = 2 + = 3
= 7 " + 2
1! 7 " +2"
2! 7 " +2
3! 7 " =19 3 7 "
= 7 =28 7! 7 "
Exercice4 :
1) X suit la loi normale centrée réduite X~ N(0,1) et soit F sa fonction de répartition.
< 0,82 = 9 0,82 = 0,7939
< 0,5 = 9 0,5 = 0,6915
> 1,42 = 1 − < 1,42 = 1 − 0,9222 = 0,0778
< −1,32 = 9 −1,32 = 1 − 9 1,32 = 1 − 0,9066 = 0,0934
> −2,24 = 1 − < −2,24 = 1 − 9 −2,24 = 1 − 11 − 9 2,24 4 = 9 2,24 = 0,9875
2
−1 < < 1 = 9 1 − 9 −1 = 9 1 − 11 − 9 1 4 = 29 1 − 1 = 2 0,8413 − 1 = 0,6826
−1,5 < < 2,35 = 9 2,35 − 9 −1,5 = 9 2,35 − 11 − 9 1,5 4 = 0,9238 2) On cherche a tel que :
< < = 0,8238 = 9 < ⇒ < = 0,93
> < = 0,0632 ⇒ 1 − < < = 0,0632 ⇒ 9 < = 0,9368 ⇒ < = 1,53
< < = 0,0268 ; 9 < = 0,0268 < 0,5 = 9 0 7> ?@AA7 9 7B> ?C@DBB< >7 ⇒ < < 0 9 < = 1 − 9 −< ⇒ 9 −< = 0,9732 ⇒ −< = 1,93 ⇒ < = −1,93
Exercice5 :
X : le taux de cholestérol
∽ F A, G ⇒ H =I JK ∽ F 0,1 , on calcul d’abord A 7> G:
< 1,65 = 0,56 7> > 1,80 = 0,1 M − A
G <1,65 − A
G N = 0,56 7> M − A
G >1,80 − A
G N = 0,1 9 M1,65 − A
G N = 0,56 7> 1 − 9 M1,80 − A
G N = 0,1 1,65 − A
G =0,15 7> 1,80 − A
G = 1,28 On trouve : A = 1,63 7> G = 0,1327
≥ 1,82 = M − A
G ≥1,82 − 1,63
0,1327 N = H ≥ 1,43 = 1 − 9 1,43 = 1 − 0,9326 = 0,0764 Sur 10 000 personnes, on estime le nombre de personnes à soigner 764 personnes.
Exercice6 :
X : v.a égale au nombre de vaccins demandés. ∼ c 20000; 0,4
On cherche a calculer N(nombre de vaccins disponibles) tel que : > F ≤ 0,1
Avec la loi binomiale, le problème est impossible, mais si on utilise une approximation vers la loi normale, on peut calculer N.
= 8000 ≫ 5 ; 1 − = 12000 ≫ 5 7> = 20000 ≫ 30
Les conditions de l’approximation sont vérifient : = = 8000, G = f 1 − = √4800
∼ F 8000; √4800 ⇒ − 8000
√4800 ∼ F 0,1
> F ≤ 0,1 ⇒ M − 8000
√4800 >F − 8000
√4800 N ≤ 0,1
3 MH >F − 8000
√4800 N = 1 − H <F − 8000
√4800 ≤ 0,1 ⇒ 9 F − 8000
√4800 ≥ 0,9
$###
√h$## ≥ 1,29 ⇒ F ≥ 8089,37; Il faut donc un stock minimum de 8090 vaccins.