Université Paris 13, Institut Galilée MACS 2 – Probabilités Année universitaire 2015–2016
Fiche 2 – Espérance (et loi) conditionnelle
Premières propriétés
Exercice 1 SoitX, Y deux variables aléatoires indépendantes, de loi N(0,1).
CalculerE[XY2|X],E[X2+XY|X], E[e−XY|X],E[e−XY|X, Y].
On donne E[eλY] =eλ2/2 (Question subsidiaire : comment obtient-on cette formule ?)
Lois discrètes
Exercice 2 SoitX, Y des variables aléatoires indépendantes, de loi de Poisson de paramètres λet µ.
1.Calculer la loi deX+Y. Quelle est la loi du couple(X, X+Y)? 2.Calculer la loi deX sachantZ=X+Y. Quel nom porte-t-elle ? 3.CalculerE[X|X+Y]
Exercice 3 SoitX1, . . . , Xn des variables aléatoires indépendantes, de loi de Bernoulli de paramètrep∈]0,1[.
On noteSn =X1+· · ·+Xn. 1.CalculerE[Sn|X1].
2.Calculer la loi de(X1, . . . , Xn)conditionnellement àSn. 3.Calculer la loi deX1conditionnellement àSn.
4.CalculerE[X1|Sn].
Exercice 4 –Modèle de Wright-Fisher. SoitN un entier≥1. On considère une chaîne de Markov(Xn)n≥0
surE={0,1, . . . , N}de matrice de transitionP = (pi,j)0≤i,j≤N donnée par pi,j=
N
j
i
N j
1− i N
N−j .
1.Pour toutn, quelle est la loi deXn+1 sachantXn? Proposer une interprétation àXn. 2.En déduireE[Xn+1|Xn], puisEx[Xn]pour toutx∈Eet n∈N.
3.Classer les états de la chaîne de Markov. En déduire queXn converge presque sûrement vers une v.a.X∞. 4.Grâce à la question 2, calculerEx[X∞]et en déduire la loi deX∞ sousPx, pourx= 1, . . . , N−1.
Lois à densité
Exercice 5 Soit(X, Y)un vecteur aléatoire dont la loi a pour densité f(x, y) =λx−1e−λx1{0<y<x}.
1.Déterminer la loi conditionnelle deY sachantX. 2.CalculerE[Y2|X].
Exercice 6 SoitX, Y deux variables aléatoires indépendantes, de loi N(0,1).
1.Vérifier que E[Xϕ(X2)] = 0 pour toute fonction borélienne bornée ϕ (penser à la symétrie x 7→ −x). En déduireE[X|X2]. Que vaut E[X|X3]?
2.On poseZ =X+Y.
2.a)Calculer la densité de la loi du vecteur(X, Z).
2.b)Déterminer la loi conditionnelle de X sachantZ =z pour toutz∈R. 2.c)En déduireE[X|Z].
Exercice 7 SoitY une variables aléatoire de densité f(y) = 1
√πye−y1{y>0}.
On suppose que la loi conditionnelle deX sachantY est une loi gaussienne N(0,1/(2Y)).
1.Calculer la loi du couple(X, Y).
2.Calculer la loi conditionnelle deY sachantX.
3.CalculerE[X2Y].
