II. Lois discrètes finies

(1)

CH XX : Variables aléatoires réelles discrètes

I. Variables aléatoires discrètes

I.1. Généralités sur les variables aléatoires discrètes

I.1.a) Rappel de la définition Définition

Soit (Ω,A) un espace probabilisable.

Soit X une variable aléatoire réelle discrète sur(Ω,A).

• La v.a.r.Xest ditediscrètesi son supportX(Ω)est au plus dénombrable.

• On dit que X est finiesiX(Ω)infini.

On dit que X est infiniesi X(Ω)est un ensemble infini.

Remarque

• Le caractère au plus dénombrable de X(Ω)est à l’origine des spécificités des v.a.r. discrètes. La première conséquence est que l’on peut numéroter les éléments de X(Ω)i.e. l’écrire :

X(Ω) ={x_i |i∈I}

où I est un ensemble :

× fini (i.e. que I peut être mis en bijection avecJ1, nKpour un n∈N^∗),

× ou infini dénombrable (i.e. queI peut être mis en bijection avec N).

• Rappelons que Z est un ensemble (infini) dénombrable puisque l’application ϕsuivante est une bijection :

ϕ : Z → N z 7→

−2z siz négatif 2z−1 siz positif (« il y a autant d’entiers relatifs que d’entiers naturels »)

• De même, N×N et Q sont des ensembles (infinis) dénombrables donc peuvent (en théorie) servir à indexer le support d’une v.a.r. discrète X.

• En pratique, les v.a.r. que nous étudions ont un support X(Ω)indexé par une partie (finie ou non) de N(voire de Z).

X(Ω) ={x_i |i∈I} où I ⊂N

Il faut faire attention à ne pas confondre les deux notions suivantes.

• Le suportX(Ω)est indexé par N.

Autrement dit :X(Ω) ={x₀, x1, x2, x3, . . .}.

• Le suportX(Ω)est à valeurs dans N. Par exemple,X(Ω) ={3,5,7,10,11. . .}

On peut d’ailleurs préciser que :

X est à valeurs dans N ⇒ X est une v.a.r. discrète X est à valeurs dans N 6⇐ X est une v.a.r. discrète Par exemple, siX(Ω) ={1,√

2,e⁶,23}, alors :

× X est une v.a.r. discrète (puisqueX(Ω)est un ensemble fini),

× X(Ω)n’est pas à valeurs dans N.

(2)

I.1.b) Système complet d’événements associé à une v.a.r. discrète Théorème 1.

Soit X une variable aléatoire réelle discrète sur (Ω,A).

Notons X(Ω) ={x_i | i∈I} où I ⊆N.

La famille([X =xi])i∈I est un système complet d’événements, appelésystème complet d’événements associé àX.

Démonstration.

Il y a deux propriétés à démontrer.

1) ([X=xi])i∈I est une famille d’événements deux à deux incompatibles : Soit (i, j)∈I² tel que i6=j et soit ω∈[X =xi]∩[X=xj].

Cela signifie que :

× ω∈[X=xi]donc X(ω) =xi,

× ω∈[X=xi]donc X(ω) =xj. Par définition,xi6=xj.

On en conclut qu’il n’existe pas d’élément ω∈[X=x_i]∩[X =x_j].

Ainsi[X=x_i]∩[X =x_j] =∅. 2) Ω = S

i∈I

[X=x_i]: (⊃) S

i∈I

[X=x_i] ⊂ Ω puisque S

i∈I

[X=x_i] est un événement (en tant qu’union dénombrable d’événements).

(⊂) Soitω ∈Ω.

AlorsX(ω)∈X(Ω) ={x_i |i∈I}.

Ainsi, il existe i∈I tel que X(ω) =xi i.e. ω ∈[X=xi].

I.1.c) Loi d’une v.a.r. discrète Définition

Soit (Ω,A,P) un espace probabilisé.

Soit X une variable aléatoire réelle discrète sur(Ω,A).

• On appelle loi de probabilitéde X et on note PX l’application : PX : X(Ω) → R

x 7→ PX(x) = P([X=x])

• Autrement dit, la loi deXest la donnée de l’ensemble des valeursP([X=x]) pour xdécrivant X(Ω).

Remarque

Dans le cas d’une v.a.r. discrètefinie, on pourra représenter la loi deX sous la forme d’un tableau.

Exemple

On considère l’expérience aléatoire consistant à observer le résultat d’1lancer simulatné de4 pièces de monnaie.

• Ω ={P, F}⁴.

• On munit Ωde la probabilité uniforme notée P. ((Ω,P(Ω),P) est un espace probabilisable) Card(Ω) = 2⁴ = 16.

• On noteX la v.a.r. qui compte le nombre de P obtenu lors du lancer.

X(Ω) ={0,1,2,3,4}.

x∈X(Ω) 0 1 2 3 4

P([X =x]) 1 16

4 16

6 16

4 16

1 16

(3)

Remarque (POLY)

• Dans le cas où Xest une v.a.r. discrète, nous avons vu que la loi de X est déterminée par la suite(P([X=x]))x∈X(Ω).

• Inversement, si l’on se donne une suite (pn)n∈N dans quel cas peut-on dire que cette suite est la loi d’une v.a.r. discrète ?

Évidemment, il faut que : ∀n∈N,pn>0et

+∞

P

n=0

pn= 1.

Cette condition est même suffisante.

Plus précisément, pour toute suite (xn)n∈N de réels, il existe un espace probabilisé(Ω,A,P)et une v.a.r. discrèteXtelle queX(Ω)⊆ {x_n|n∈N} et :∀n∈N,P([X=x_n]) =p_n.

I.1.d) Fonction de répartition d’une v.a.r. discrète Théorème 2.

SoitXune v.a.r. discrète sur(Ω,A)telle queX(Ω) ={x_i|i∈I}(I ⊆N).

Alors la fonction de répartition F_X est déterminée par :

∀x∈R, FX(x) = P

xi6x i∈I

P([X=xi])

Démonstration.

On remarque tout d’abord que : [X 6x] = S

xi6x i∈I

[X=xi].

(⊂) Soitω ∈[X6x]. AlorsX(ω)6x.

Or X(ω) est un élément du support de X donc s’écrit sous la forme xi

pour un certaini∈I.

(⊃) Soitω∈ S

xi6x i∈I

[X =x_i]. Alorsω est un élément de l’un des

événements [X =xi]avec i∈I etxi 6x.

Ainsi, X(ω) =xi6x et donc ω∈[X 6x].

On a affaire à une union au plus dénombrable d’événements deux à deux incompatibles. On obtient alors le résultat grâce à laσ-additivité de P.

Exemple

On reprend l’exemple précédent. La fonction de répartition de la v.a.r. X comptant le nombre deP est donnée par le graphe suivant.

0

0 1 2 3 4

1

• On obtient une fonction constante par morceaux qui présente des sauts de discontinuité. Cette forme en escalier estcaractéristiquedes fonctions de répartition des v.a.r. discrètes.

• Les contremarches (i.e. les sauts de discontinuité) ont pour hauteur les valeurs successives deP([X =x_i]) (lesx_i étant rangés dans l’ordre).

Théorème 3.

Soit X une v.a.r. discrète sur (Ω,A).

1) Si X est fini i.e.X(Ω) ={x₁, . . . , x_n} alors : Pn

i=1

P([X =x_i]) = 1 2) Si X est infini i.e.X(Ω) ={x_i |i∈N} alors :

+∞

P

i=0

P([X=x_i]) = 1 3) On peut résumer ces propriétés en notant : P

x∈X(Ω)

P([X =x]) = 1

(4)

Démonstration.

La famille ([X=x])x∈X(Ω) est un système complet d’événements.

Autrement dit, ces événements sont donc deux à deux incompatibles et vé- rifient :Ω = S

x∈X(Ω)

[X=x].

En appliquant Pde part et d’autre, on obtient :

P S

x∈X(Ω)

[X =x]

!

= P

x∈X(Ω)

P([X=x]) =P(Ω) = 1

(on utilise la σ-additivité de P : le caractère dénombrable de X(Ω)est donc indispensable ici)

Remarque

On retrouve ici la propriété lim

x→+∞ FX(x) = 1 qui est vérifiée pour toute v.a.r. (discrète ou non).

Cas particulier des v.a.r. discrète à valeurs entières (X(Ω)⊆Z) Proposition 1.

Soit X une v.a.r. discrète sur (Ω,A) telle que X(Ω)⊆Z. (ceci siginifie que X est à valeursdans Z)

∀k∈X(Ω), P([X =k]) = F_X(k)−F_X(k−1) Démonstration.

On rappelle que :P([k−1< X 6k]) =F_X(k)−F_X(k−1).

Or comme X est à valeurs entières,[k−1< X6k] = [X=k].

Remarque

Il faut savoir redémontrer cette propriété à chaque fois.

I.1.e) Opérations sur les v.a.r. discrètes Théorème 4.

Soient X et Y deux v.a.r. discrètes sur (Ω,A) et λ∈R. X+Y,λX et XY sont des v.a.r. discrètes.

où l’on a noté :

• X+Y : Ω → R

ω 7→ X(ω) +Y(ω)

• λX : Ω → R

ω 7→ λX(ω)

• XY : Ω → R

ω 7→ X(ω) Y(ω) Démonstration.

Démontrons tout d’abord queX+Y,λY etXY sont des v.a.r.

(i) X+Y,λX etXY sont bien des fonctions deΩdansR. (ii) Admis.

Il reste alors à démontrer que ces v.a.r. sont discrètes, autrement dit que leur support est au plus dénombrable.

Les v.a.r.X etY étant discrètes, on peut noter :

× X(Ω) ={x_i |i∈I}où I ⊆N,

× Y(Ω) ={y_j |j∈J} où J ⊆N.

Ainsi :(λX)(Ω) ={λx_i|i∈I}. CommeI ⊆N, la v.a.r.λXest bien discrète.

D’autre part :

(X+Y)(Ω) ={x_i+yj |(i, j)∈I×J}

et(XY)(Ω) ={x_iy_j |(i, j)∈I×J} OrI×J est une partie de N² donc est au plus dénombrable.

Ainsi, X+Y etXY sont bien des v.a.r. discrètes.

(5)

Remarque (Structure de l’ensemble des v.a.r. discrètes)

On peut démontrer que l’ensemble F(Ω,R) des fonctions de Ω dans R est un espace vectoriel (cf chapitre correspondant).

L’ensemble des v.a.r. discrètes :

× est un sous-ensemble de F(Ω,R),

× est stable par la loi +et la loi·(c’est l’objet du théorème précédent).

Cela permet de démontrer que l’ensemble des v.a.r. discrète est un sous- espace vectoriel de F(Ω,R).

I.1.f ) Transformation d’une v.a.r. discrète Définition

Soit (Ω,A,P) un espace probabilisé et X une v.a.r. discrète sur (Ω,A).

Soit g:X(Ω)→Rune application.

On notera g(X) l’application composéeg◦X : g(X) : Ω → R

ω 7→ g(X(ω))

Théorème 5.

SoitXune v.a.r. discrète sur(Ω,A)telle queX(Ω) ={x_i|i∈I}(I ⊆N).

L’application g(X) vérifie les propriétés suivantes.

1) g(X)(Ω) ={g(x_i) |i∈I}.

2) g(X) est une v.a.r. discrète.

3) ∀y∈g(X)(Ω), P([g(X) =y]) = P

xi∈X(Ω) g(xi)=y

P([X=xi])

Démonstration.

1) Par définition de g(X), on a : g(X)(Ω) =g(X(Ω)) ={g(x_i)|i∈I}.

2) Le support deg(X)est indéxé parI ⊆N, ensemble au plus dénombrable.

On ne démontre pas le point(ii).

3) Soity ∈g(X)(Ω). Alors on a :

[g(X) =y] = {ω∈Ω|g(X(ω)) =y}

= {ω∈Ω|X(ω)∈ {x_i |i∈I etg(xi) =y}}

= S

i∈I g(xi)=y

[X=xi]

On obtient ainsi [g(X) =y] comme union dénombrable d’événements deux à deux incompatibles. En effet, {i ∈ I | g(xi) = y} ⊆ I est au plus dénombrable et [X =xi]∩[X=xj] =∅pouri6=j. On a alors :

P([g(X) =y]) =P S

i∈I g(xi)=y

[X =xi]

!

= P

i∈I g(xi)=y

P([X =xi])

Étude de la loi de Y =g(X) sur quelques exemples.

SoitX une v.a.r. discrète. On considère la v.a.r. discrèteY =g(X)pour les applicationsg suivantes.

1) Sig:x7→ax+boù a6= 0.

AlorsY(Ω) =g(X)(Ω) ={g(x) |x∈X(Ω)}={ax+b|x∈X(Ω)}

La loi deY est donnée par, pour touty∈Y(Ω):

P([Y =y]) =P([aX+b=y]) =P

X= y−b a

En effet, siω∈[aX +b=y]alorsaX(ω) +b=y i.e. X(ω) = y−b a .

(6)

2) Sig:x7→x².

AlorsY(Ω) =g(X)(Ω) ={g(x) |x∈X(Ω)}={x² |x∈X(Ω)}.

Soit y∈Y(Ω).

• Supposons y6= 0 et soitω ∈Ω.

ω ∈[Y =y] ⇔ ω∈

X²=y

⇔ X(ω)²=y. Or : X(ω)²=y ⇔ X(ω) =√

y OU X(ω) =−√ y Ainsi,

X²=y

= X=√

y

∪

X =−√ y

.

La loi deY est donnée par, pour tout y∈Y(Ω)\ {0}: P([Y =y]) =P(

X² =y

) =P([X =√

y]) +P([X=−√ y])

• Dans le cas y= 0, on obtientP([Y = 0]) =P([X= 0]).

3) Sig:x7→ |x|.

AlorsY(Ω) =g(X)(Ω) ={g(x) |x∈X(Ω)}={|x| |x∈X(Ω)}.

Soit y∈Y(Ω).

• Supposons y6= 0 et soitω ∈Ω.

ω ∈[Y =y] ⇔ ω∈[|X|=y] ⇔ |X(ω)|=y. Or :

|X(ω)|=y ⇔ X(ω) =y OU X(ω) =−y Ainsi, [|X|=y] =

X =√ y

∪

X=−√ y

et :

P([Y =y]) =P([|X|=y]) =P([X=y]) +P([X=−y])

• Dans le cas y= 0, on obtientP([Y = 0]) =P([X= 0]).

4) Sig:x7→e^x.

AlorsY(Ω) =g(X)(Ω) ={g(x) |x∈X(Ω)}={e^x |x∈X(Ω)}.

Soit y∈Y(Ω). Commeω ∈

e^X =y

⇔ e^X^(ω)=y ⇔ X(ω) = lny, la loi de Y est donnée par, pour tout y∈Y(Ω)par :

P([Y =y]) =P(

e^X =y

) =P([X = lny])

I.2. Espérance d’une variable aléatoire discrète

I.2.a) Définition Définition

1) SiX est finie : et que X(Ω) ={x₁, . . . , xn}.

Dans ce cas, on appelleespérance de la v.a.r. X et on note E(X) : E(X) =

n

P

i=1

xi P([X=xi])

2) SiX est infinie : alorsX(Ω) ={x_i |i∈N}.

Dans ce cas, si la série P

x_n P([X =x_n]) est absolument convergente, on appelleespérancede la v.a.r. X et on noteE(X) :

E(X) =

+∞

P

i=0

x_i P([X=x_i])

3) Sous réserve d’existence, l’espérance s’écrit donc : E(X) = P

x∈X(Ω)

x P([X=x]) = P

i∈I

xi P([X =xi])

L’espérance est un moyenne pondérée : on somme chaque valeur possible pourX pondérée par la probabilité queX

prenne cette valeur.

(7)

Remarque

L’espérance peut être pensée comme une généralisation de la notion de moyenne. Illustrons ce point avec l’exemple suivant.

• Expérience aléatoire : on observe le résultat d’1lancer de dé à 6 faces.

• Univers des possibles :Ω =J1,6K.

• Notons X la v.a.r. discrète finie consistant à donner le résultat du lancer.

• X(Ω) =J1,6Kdonc X est donc une v.a.r. discrète finie.

1) Dans un premier temps, munissons Ωde la probabilité uniforme P1. La v.a.r. X étant finie, elle admet une espérance donnée par :

E(X) = P

x∈X(Ω)

xP1([X =x]) =

6

P

k=1

k P1([X=k])

= 1 6

6

P

k=1

k = 1 6

6(6 + 1)

2 = 3,5

Le réel 3,5 est la moyenne des résultats du lancer d’un dé équilibré (probabilité P1 prise en compte).

2) On munit maintenant Ωde la probabilitéP2 telle que : P({4}) =P({5}) =P({6}) = 1

3

La v.a.r. X étant finie, elle admet une espérance donnée par : E(X) = P

x∈X(Ω)

xP2([X =x]) =

6

P

k=1

k P2([X=k])

=

6

P

k=4

k P2([X=k]) = 1 3

6

P

k=4

k = 1 3

3(4 + 6)

2 = 5

Le réel5est la moyenne des résultats du lancer dans le cas de notre dé truqué (probabilité P1 prise en compte).

• Une v.a.r. discrèteFINIE admet TOUJOURSune espérance.

• Une v.a.r. discrèteINFINIEn’admet pas nécessairement une espé- rance. L’hypothèse deCONVERGENCE ABSOLUEest nécessaire pour la bonne définition de la notion d’espérance.

À quoi sert l’hypothèse de convergence absolue ?

Elle est nécessaire pour la bonne définition de la notion d’espérance. Il faut bien comprendre que la notation P

x∈X(Ω)

xP([X =x])ne permet pas de savoir dans quel ordre sont sommés les éléments.

Il n’y paraît rien, mais c’est primordial comme l’énonce le résultat suivant.

Théorème 6. (CULTURE) Soit P

u_n une série semi-convergente.

i.e.

( P

u_n converge P |u_n| diverge

Alors, pour tout α∈R, il existe une permutation σ de Ntelle que :

n

P

k=0

u_σ(k) −→

n→+∞α Remarque

• Cet énoncé est parfois nommé théorème de réarrangement.

• Il signifie qu’étant donnée une série semi-convergente, on peut, en modifiant l’ordre de sommation, créer une série qui converge vers n’importe quel α∈Rchoisit à l’avance (on peut même prendreα= +∞ ou α=−∞).

• Ce résultat est contraire à l’intuition : on ne s’attend pas à ce que la somme de tous les termesu_i dépende de l’ordre de sommation.

• Ceci ne se produit que sous l’hypothèse de semi-convergence.

L’hypothèse de convergence absolue est celle qui permet de parler de convergence d’une série indépendamment de l’ordre de sommation choisi.

(8)

I.2.b) Propriétés de l’espérance Théorème 7.

Soit X et Y deux v.a.r. discrètes sur (Ω,A).

On suppose que X et Y admettent chacune une espérance.

L’opérateur espérance vérifie les propriétés suivantes.

1) Soit λ∈R. Les v.a.r. X+Y et λX admettent une espérance. De plus : E(X+Y) = E(X) +E(Y) et E(λX) = λE(X)

(linéarité de l’espérance)

2) Pour tout (a, b)∈R², la v.a.r.aX +b admet une espérance. De plus : E(a) = a et E(aX+b) = aE(X) +b

3) X > 0 ⇒ E(X) > 0 (positivité de l’espérance)

4) X > Y ⇒ E(X) > E(Y) (croissance de l’espérance) 5) X >0

E(X) = 0 )

⇒ P([X = 0]) = 1 (X est presque sûrement nulle) Démonstration.

SoitX etY deux v.a.r. discrètes.

1) Pour plus de simplicité, on se limite ici au cas des v.a.r. finies (cas infini analogue) et on admet la première égalité (démonstration un peu longue).

Démontrons la seconde égalité. On note X(Ω) ={x₁, . . . , xn}.

• Siλ= 0, la v.a.r.λX est nulle. Son espérance estE(0) = 0.

• Siλ6= 0, la v.a.r.λX a pour support(λX)(Ω) ={λx₁, . . . , λx_n}.

Étant finie, cette v.a.r. admet une espérance, qui vaut : E(λX) =

n

P

k=1

λx_i P[λX=λx_i] = λ

n

P

k=1

x_i P[X =x_i]

2) Soita∈R.

Le réelapeut être vue comme une v.a.r. discrète. C’est la v.a.r. constante X_a: Ω→Rqui vérifie X_a(ω) =apour tout ω∈Ω.

AinsiX_a(Ω) ={a}. CommeX_a est finie, elle admet une espérance et : E(Xa) = P

x∈X(Ω)

P([Xa=x]) =aP[Xa=a] =a P(Ω) =a La seconde égalité est obtenue par linéarité :

E(aX+b) =E(aX) +E(b) =aE(X) +b 3) Notons X(Ω) ={x_i |i∈I}.

La conditionX >0signifie que pour tout ω∈Ω, X(ω)>0.

Autrement dit,X(Ω)⊆R⁺ et pour tout i∈I,xi >0.

L’espérance E(X) est alors la somme d’une série à termes positifs (son terme général est xiP[X =xi]). Elle est donc positive.

4) Notons tout d’abord queX−Y admet une espérance (d’après1).

On utilise alors le résultat précédent.

X−Y >0donc E(X−Y)>0etE(X−Y) =E(X)−E(Y).

5) Supposons queX >0 etE(X) = 0.

Avec les mêmes notations que précédemment, on a donc x_i >0.

Supposonsx_i>0. Alors nécessairementP[X=x_i] = 0.

Si on suppose, par l’absurde, que cette probabilité est non nulle, on obtient :

E(X)>x_i P[X=x_i]>0 ce qui contredit l’hypothèse.

Ainsi, pour toutitel que x_i6= 0,P[X=x_i] = 0.

On a donc forcément P[X= 0] = 1.

Remarque

• La linéarité de l’espérance est une propriété logique puisque l’espérance est définie à l’aide d’un opérateur de sommation.

• On retiendra notamment que la somme de v.a.r. discrètes qui admettent une espérance, admet une espérance.

(9)

I.2.c) Théorème de transfert Théorème 8. Théorème de transfert

1) Si X est finie : et queX(Ω) ={x₁, . . . , x_n}.

Dans ce cas, la v.a.r. g(X) admet une espérance de valeur :

E(g(X)) =

n

P

i=1

g(xi) P([X =xi])

2) Si X est infinie : et que X(Ω) ={x_i | i∈N}.

La v.a.r.g(X) admet

une espérance ⇔ La série de P

g(x_n) P[X=x_n]est absolument convergente 3) Sous réserve d’existence, on a donc :

E(g(X)) = P

x∈X(Ω)

g(x) P([X =x])

Démonstration.

1) g(X) est une v.a.r. de supportg(X)(Ω) ={g(x₁), . . . , g(x_n)}

(abus de notation : les g(x_i) ne sont pas forcément tous différents) g(X) étant finie, elle admet une espérance.

• Si tous lesg(xi)sont différents. Alorsg(X) a pour espérance : E(g(X)) =

n

P

i=1

g(xi)P([g(X) =g(xi)]) =

n

P

i=1

g(xi)P([X =xi])

• Sinon, g(X)(Ω) ={y₁, . . . , y_m}avecm < net pour chaquey_j, il existe au moins uni∈I tel que yj =g(xi).

Il s’agit alors de regrouper les x_i qui admettent la même image par g.

On note alors I_j ={i∈I |g(x_i) =y_j}. On a : E(g(X)) =

m

P

j=1

yj P([g(X) =yj]) Il suffit alors de remarquer : [g(X) =yj] = S

i∈I_j

[X=xi].

Par σ-additivité, on a :

y_jP([g(X) =y_j]) = y_jP

i∈Ij

P([X=x_i]) = P

i∈Ij

y_j P([X=x_i])

= P

i∈I_j

g(xi) P([X=xi]) Et ainsi :E(g(X)) =

m

P

j=1

P

i∈I_j

g(xi)P([X=xi]) =

n

P

i=1

g(xi)P([X =xi] 2) Admis.

I.2.d) Variable centrée Définition

• On dit que X est unevariable centrée siX admet une espérance nulle.

• SiX admet une espérance, la v.a.r.X−E(X)est appellée variable centrée associée à X.

Remarque

SiX admet une espérance, la v.a.r.X−E(X)admet une espérance comme somme de v.a.r. discrètes admettant une espérance.

Cette v.a.r. est centrée puisque, par linéarité, on a :

E(X−E(X)) =E(X)−E(E(X)) =E(X)−E(X) = 0

(10)

I.2.e) Moments d’ordre r Définition Moments d’ordre r

1) SiX est finie : et que X(Ω) ={x₁, . . . , x_n}.

Dans ce cas, la v.a.r. X admet, pour tout r ∈N, un moment d’ordre r, notémr(X) :

mr(X) =

n

P

i=1

x^r_i P([X=xi]) 2) SiX est infinie : et que X(Ω) ={x_i |i∈N} etr∈N.

Dans ce cas, si la série P

x^r_n P[X =x_n]est absolument convergente, on dit que la v.a.r. X admet unmoment d’ordre r, notémr(X):

mr(X) =

+∞

P

i=0

x^r_i P([X =xi]) 3) Sous réserve d’existence, on a donc :

mr(X) = P

x∈X(Ω)

x^r P([X=x]) =E(X^r)

Remarque

• Sir = 0, on aX⁰ = 1 et doncm0(X) =E(1) = 1.

• Sir = 1, on aX¹ =X et donc m1(X) =E(X).

Proposition 2.

Soit X une v.a.r. discrète sur (Ω,A) et r∈N^∗.

Si X admet un moment d’ordre r alors X admet un moment d’ordre s pour tout s∈J1, rK.

I.3. Variance

I.3.a) Définition Définition

• Si la v.a.r.Xadmet une espéranceE(X)et que la v.a.r.(X−E(X))admet un moment d’ordre 2, on dit queX admet une variance, notéeV(X) :

V(X) =m2(X−E(X)) =E((X−E(X))²)

• Sous ces hypothèses on appelle écart-type et on note σ(X) =p V(X) Remarque

• Remarquons tout d’abord que la notion d’écart-type est bien définie.

Comme ((X−E(X))² >0, alors V(X) =E(((X−E(X))²)>0.

(cf point 3) du Théorème 7)

• Par définition, la variance est le moment d’ordre 2 de la v.a.r. X−E(X) qui est la v.a.r. centrée associée à X.

La variance V(X)est donc le moment centré d’ordre 2 de la v.a.r. X.

• La variance est une mesure moyenne de l’écart existant entreX etE(X).

Mais pourquoi considérer un écart quadratique et pas un écart simple ? Tout simplement car l’écart simple ne nous donne aucune information puisque, comme on l’a déjà souligné :

E(X−E(X)) = E(X)−E(E(X)) = E(X)−E(X) = 0

• Il est alors naturel d’introduire l’écart-type (la racine de la variance) pour gommer le « défaut quadratique » introduit par ce choix d’écart.

(11)

Théorème 9. Formule de Kœnig-Huygens Soit (Ω,A,P) un espace probabilisé.

La v.a.r.X admet

une variance ⇔ La v.a.r. X admet un moment d’ordre 2 De plus, si X admet une variance, on a :

V(X) =E(X²)−(E(X))² Démonstration.

(⇒) Supposons queX admet une variance.

On en déduit que X et(X−E(X))² admettent une espérance. Or : (X−E(X))² = X²−2E(X)X+ (E(X))²

Donc :X² = (X−E(X))²+ 2E(X)X−(E(X))².

La v.a.r.X²est la somme de v.a.r. discrètes qui admettent une espérance.

Elle admet donc une espérance.

(⇐) Réciproquement, si X admet un moment d’ordre 2, alors elle admet un moment d’ordre 1. Autrement dit,X admet une espérance.

L’égalité précédente démontre alors que (X−E(X))² admet une espé- rance car est la somme de v.a.r. discrètes admettant une espérance.

Supposons maintenant queX admet une variance et démontrons la formule.

V(X) = E((X−E(X))²)

= E(X²−2E(X)X+ (E(X))²)

= E(X²)−2E(E(X)X) +E((E(X))²) (par linéarité de l’espérance)

= E(X²)−2E(X)E(X) + (E(X))²

= E(X²)−(E(X))²

I.3.b) Propriétés de la variance Théorème 10.

Soit X et Y deux v.a.r. discrètes sur (Ω,A).

On suppose que X et Y admettent chacune une variance.

L’opérateur variance vérifie les propriétés suivantes.

1) Soit λ∈R. Les v.a.r.X+Y et λX admettent une variance. De plus : V(X+Y) =V(X) +V(Y) + 2 (E(XY)−E(X)E(Y))

et V(λX) =λ² V(X)

2) Pour tout (a, b)∈R², la v.a.r.aX+b admet une variance. De plus : V(a) = 0 et V(aX+b) =a²V(X)

3) V(X) > 0 Démonstration.

1) Soitλ∈R. On admet queX+Y etλX admettent une variance.

D’après la formule de Kœnig-Huygens (et par linéarité de l’espérance) : V(X+Y)

= E((X+Y)²)−(E(X+Y))²

= E(X²+ 2XY +Y²)−(E(X) +E(Y))²

= E(X²) + 2E(XY) +E(Y²)−((E(X))²+ 2E(X)E(Y) + (E(Y))²)

= E(X²)−(E(X))²+ +E(Y²)−(E(Y))²+ 2E(XY)−2E(X)E(Y)

= V(X) +V(Y) + 2 (E(XY)−E(X)E(Y))

(12)

Toujours d’après la formule de Kœnig-Huygens et linéarité de l’espérance : V(λX) = E((λX)²)−(E(λX))²

= E(λ²X²)−(λE(X))²

= λ²E(X²)−λ²(E(X))²

= λ²(E(X²)−(E(X))²)

= λ²V(X)

2) Soit (a, b∈R²). Par hypothèse, X admet une variance. Elle admet donc un moment d’ordre2 et, par conséquent, un moment d’ordre 1.

Démontrons maintenant que la v.a.r. (aX +b)−E(aX +b) admet un moment d’ordre 2. Tout d’abord :

((aX+b)−E(aX+b))² = (aX +b−(E(aX) +E(b)))²

= (a(X−E(X)) +b−b)²

= a²(X−E(X))²

Or, par définition de la variance de X, la v.a.r.(X−E(X))² admet une espérance. C’est donc aussi le cas de la v.a.r.((aX+b)−E(aX+b))². En appliquant l’opérateur espérance dans l’égalité précédente, on obtient : V(aX+b) = E((aX+b)−E(aX+b))² = E(a²(X−E(X))²) = a²V(X) Au passage, dans le cas oùa= 0, on démontre que V(b) = 0.

3) (X−E(X))² >0 donc, d’après la propriété3) du Théorème7 : V(X) = E((X−E(X))²)>0

Remarque

• La variance est une mesure moyenne de l’écart entre la v.a.r. et sa moyenne.

Dans le cas d’une v.a.r. qui ne varie pas (une v.a.r. constante i.e. un réel a), il est logique que la variance soit nulle (V(a) = 0).

• Contrairement à l’espérance, l’opérateur de variance, défini à l’aide d’une élévation au carré, n’est pas linéaire.

I.3.c) Variables centrées réduites Définition

Soit X une v.a.r. discrètes sur(Ω,A).

a) SiXadmet une espérance égale à0on dit queXest une variable centrée.

b) SiX admet une variance égale à1on dit que Xest une variable réduite.

c) SiXadmet une variance, la variableX^∗ = X−E(X)

σ(X) est appelée variable centrée réduite associée à X.

Remarque

• SiX admet une variance, la v.a.r. centrée réduite associée àX est, comme son nom l’indique, centrée et réduite.

Remarquons déjà queX^∗ admet une espérance et une variance car s’écrit sous la formeaX+bavec a= _σ(X)¹ ∈Retb=−^E_σ(X^(X)₎ ∈R.

1) X^∗ est centrée car :

E(X^∗) = aE(X) +b = 1

σ(X)E(X)−E(X) σ(X) = 0 2) X^∗ est réduite car :

V(X^∗) = a²V(X) = 1

σ(X) 2

V(X) = V(X)

(σ(X))² = V(X) V(X) = 1

• On retiendra qu’à toute v.a.r. Xqui admet une variance, on peut associer une v.a.r. X^∗ centrée réduite. Considérer de telles v.a.r. peut être intéres- sant : cela permet de simplifier les raisonnements.

(13)

II. Lois discrètes finies

Dans tout ce paragraphe, on étudie des v.a.r. discrètes finies. On pourra alors noterX(Ω) ={x₁, . . . , x_n}le support de telles v.a.r. .

II.1. Loi certaine Définition

• On dit qu’une v.a.r.X suitune loi certaines’il existem∈Rtel que : a) X(Ω) ={m}

b) P([X =m]) = 1

• On dira aussi que la v.a.r.X estcertaine, égale à m.

• SiX est une v.a.r. discrète finie telle que X(Ω) ={x₁, . . . , xn}: on dit queX suit une loi quasi-certainesi P([X=x₁]) = 1.

Exemple

Les lois certaines (quasi-certaines) sont utilisées pour définir la loi de v.a.r.

qui sont définies sur expériences aléatoires dont l’issue est sûre.

• On considère un dé pipé dont le résultat est toujours 6.

L’expérience aléatoire consiste en un lancer de ce dé.

On note X la v.a.r. donnant le résultat du dé.

X suit une loi quasi-certaine (X(Ω) =J1,6KetP([X= 6]) = 1).

• On considère une urne contenantnboules de couleurs différentes qui sont toutes numérotées par le même chiffre 7.

L’expérience consiste à effectuer un tirage dans cette urne.

On note X la v.a.r. donnant le numéro de la boule sortie.

AlorsX suit la loi certaine de supportX(Ω) ={7}.

Remarque

• Le fait que X(Ω) ={m}implique que la v.a.r.X est constante égale àm.

• Au contraire, une v.a.r.Xsuivant une loi quasi-certaine n’est pas constante (puisqu’elle admet les valeurs x1, . . ., xn). Elle est seulement P-presque sûrement constante :P([X=x1]) = 1.

• Il faut bien comprendre que x1 désigne un élément quelconque de X(Ω) (l’ensemble X(Ω)n’étant pas ordonné).

Théorème 11.

SoitX une v.a.r. discrète finie suivant une loi certaine (ou quasi-certaine).

Il existe donc m∈R tel que P([X=m]) = 1.

1) AlorsX admet une espérance et une variance.

2) De plus : E(X) =m et V(X) = 0 . Démonstration.

SoitX une v.a.r. discrète suivant une loi (quasi) certaine.

1) X admet une espérance car c’est une v.a.r. finie.

X² admet une espérance pour la même raison.

AinsiX admet un moment d’ordre2 et donc une variance.

2) • E(X) = P

x∈X(Ω)

x P([X=x]) =m P([X=m]) =m×1 =m

• V(X) = E((X−E(X))²) = P

x∈X(Ω)

(x−E(X))² P([X=x])

= (m−E(X))² P([X =m]) = 0

(14)

Fonction de répartition

SiX est une v.a.r. discrète finie suivant une loi certaine (ou quasi-certaine) telle que P([X =m]) = 1.

1

0 m

Proposition 3.

Soit X une v.a.r. discrète finie.

Alors on a : V(X) = 0 ⇒ X suit une loi quasi-certaine Démonstration.

En effet, on a alorsV(X) =E((X−E(X))²) = 0avec (X−E(X))² >0. Ce qui prouve (propriété du cours précédent) que :P(

(X−E(X))²= 0 ) = 1.

Il suffit alors de remarquer que (X−E(X))²= 0

= [X−E(X) = 0] = [X =E(X)]

Ainsi, en notantm=E(X), on aP[X=m] = 1.

Autrement dit,X =m P-presque sûrement.

Remarque

• Cette propriété est une équivalence : la réciproque est justifiée par le théo- rème précédent qui donne le calcul de V(X).

• Ainsi, la propriété V(X) = 0 caractérise les v.a.r. X qui sont presque sûrement constantes et égales à leur moyenne.

II.2. Loi uniforme Définition

• On dit qu’une v.a.r.X suitla loi uniformesurJ1, nK(pourn∈N^∗) si : a) X(Ω) =J1, nK

b) ∀k∈N, P([X=k]) = 1 n

• Plus généralement, si(a, b)∈N² eta < b, on dit qu’un v.a.r.X suit la loi uniformesurJa, bKsi :

a) X(Ω) =Ja, bK

b) ∀k∈N, P([X=k]) = 1 b−a+ 1

• On utilisera la notationX ,→ U(Ja, bK) pour signifier queX suit la loi uniforme surJa, bK.

Exemple

Les lois uniformes sont utilisées pour définir la loi de v.a.r. qui sont définies sur des expériences aléatoires qui consistent en 1 action (un tirage / un lancer) dont toutes les issues sont équiprobables.

• On considère une urne contenant nboules numérotées de1 à n.

L’expérience consiste à tirer une boule.

On noteX la v.a.r. égale au numéro de la boule tirée.

Alors :X ,→ U(J1, nK)

• On considère une pièce équilibrée.

L’expérience consiste en un jeu de pile ou face.

On noteX la v.a.r. égale à1 si le lancer est P et0si le lancer donne F. Alors :X ,→ U(J0,1K)

(15)

Remarque

• Il s’agit bien de 1

b−a+ 1 et non de 1

b−a. En effet, il y ab−a+ 1entiers entrea etb. Ce résultat est d’ailleurs cohérent avec le 1

n précédent.

• La loi uniforme sur U(Jm, mK) coïncide avec la loi certaine d’espérancem.

Théorème 12.

Soit X une v.a.r. discrète finie telle que X ,→ U(J1, nK) (n∈N^∗).

1) La v.a.r. X admet une espérance et une variance.

2) De plus : E(X) = n+ 1

2 et V(X) = n²−1 12 Démonstration.

1) X admet une variance (et donc une espérance) car c’est une v.a.r. finie.

2) • E(X) = P

x∈X(Ω)

x P([X=x]) =

n

P

k=1

k P([X=k]) = 1 n

n

P

k=1

k

= 1

n

n(n+ 1) 2

• E(X²) = Pn

k=1

k² P([X=k]) = 1 n

Pn

k=1

k² = 1 n

n(n+ 1)(2n+ 1) 6

On en conclut que :

V(X) = E(X²)−(E(X))² = (n+ 1)(2n+ 1)

6 −(n+ 1)² 4

= n+ 1

12 (2 (2n+ 1)−3 (n+ 1)) = (n+ 1)(n−1) 12

Théorème 13.

Soit (a, b)∈N² tel que a < b.

Soit X une v.a.r. discrète finie telle que X ,→ U(Ja, bK).

On note : Y =X−a+ 1.

1) Alors : Y ,→ U(J1, b−a+ 1K).

2) La v.a.r. X admet une espérance et une variance.

3) De plus : E(X) = a+b

2 et V(X) = (b−a)(b−a+ 2) 12

Démonstration.

1) On a Y(Ω) =J1, b−a+ 1K. Ainsi, pour toutk∈J1, b−a+ 1K, on a : P([Y =k]) =P([X−a+ 1 =k]) =P([X =k+a−1]) = 1

b−a+ 1 2) X admet une variance (et donc une espérance) car c’est une v.a.r. finie.

3) Comme Y =X−a+ 1, on aX =Y +a−1. On en déduit : E(X) =E(Y) +E(a−1) = (b−a+ 1) + 1

2 +a−1 = a+b 2 V(X) =V(Y) = (b−a+ 1)²−1

12 = (b−a)(b−a+ 2) 12

SiX est une v.a.r. discrète finie suivant la loi uniformeU(J1,5K).

0 1 2 3 4

1

5

(16)

II.3. Loi de Bernoulli Définition

• On dit qu’une v.a.r.X suit la loi de Bernoullide paramètre p∈]0,1[ si :

a) X(Ω) ={0,1}

b) P([X = 1]) =p et P([X= 0]) = 1−p =q

• On utilisera la notationX ,→ B(p) pour signifier queX suit la loi de Bernoulli de paramètrep.

Exemple

Considérons une expérience aléatoire possédant deux issues qui ne sont pas forcément équiprobables. L’une de ces issues est nommée « succès » et se produit avec probabilitép; l’autre est nommée « échec » et se produit avec probabilité1−p. Alors la v.a.r.Xégale à1en cas de succès et0en cas d’échec (i.e. calculant le nombre de succès) suit la loi de Bernoulli de paramètrep.

• On considère l’expérience du jeu deP ou F où l’obtention deP est consi- déré comme le succès de l’expérience.

La v.a.r. qui vaut1 siP est obtenu et 0sinon suit la loiB 1

2

. Dans ce cas, cette loi coïncide avec la loi uniforme U(J0,1K).

SiP est obtenu avec probabilitép, alors X ,→ B(p).

• On considère une urne contenant r boules rouges etv boules vertes.

L’expérience consiste à tirer une boule.

On note X la v.a.r. de valeur 1 si on tire une boule rouge et 0 si on tire une boule verte.

Alors :X ,→ B r

r+v

Remarque

• Généralement, les casp= 0etp= 1sont écartés : ils correspondent à une loi quasi-certaine.

• SiXsuit une loi de Bernoulli, alorsX(Ω) ={0,1}. On en déduit que, pour toutr ∈N^∗,X^r=X (c’est notamment vrai pour le cas r= 2).

Théorème 14.

Soit X une v.a.r. discrète finie telle que X ,→ B(p) (p∈]0,1[).

2) De plus : E(X) =p et V(X) =p q = p (1−p) Démonstration.

2) • E(X) = P

x∈X(Ω)

x P([X=x]) = 0P[X = 0] + 1P[X= 1] =p

• V(X) =E(X²)−(E(X))² =E(X)−(E(X))² =p−p²

SiX est une v.a.r. discrète finie suivant la loi de BernoulliB(0.7).

1

0 1

0.3

(17)

II.4. Loi binomiale Définition

• On dit qu’une v.a.r. discrèteX suit la loi binomiale de paramètre (n, p), oùn∈N^∗ etp∈]0,1[si :

a) X(Ω) =J0, nK

b) ∀k∈J0, nK, P([X=k]) = n

k

p^kq^n−k avecq = 1−p

• On utilisera la notationX ,→ B(n, p) pour signifier queX suit la loi binomiale de paramètre(n, p).

Exemple

On considère une expérience aléatoire qui consiste en une succession de n épreuves indépendantes, chacune d’entre elles ayant deux issues : succès obtenu avec probabilitépet échec obtenu avec probabilitéq= 1−p. Autrement dit, l’expérience consiste à effectuern épreuves de Bernoulli identiques (i.e.

de même paramètre) et indépendantes (le résultat de l’une ne dépend pas du résultat des autres). Alors la v.a.r. donnant le nombre de succès de l’ex- périence suit la loi binomiale de paramètre (n, p).

• On considère l’expérience du jeu deP ouF où l’obtention deP est obtenue avec probabilitép (etF avec probabilité1−p).

L’expérience consiste en nrépétitions de ce jeu de pile ou face.

On note X la v.a.r. égale au nombre deP obtenus lors de l’expérience.

Alors :X ,→ B(n, p)

L’expérience consiste à tirer successivement nboulesavec remise.

On note X la v.a.r. égale au nombre de boules rouges tirées.

Alors :X ,→ B

n, r r+v

Remarque

• Évidemment, si une variable aléatoire suit la loi de Bernoulli de paramètre p alorsX ,→ B(1, p).

• On retrouve la formule du binôme de Newton.

Considérons l’expérience précédente (tirage successif avec remise denboules).

Comme([X=k])_k∈

J0,nKest le système complet d’événements associé àX:

n

P

k=0

P([X=k]) = 1 donc

n

P

k=0

n k

r r+v

k v r+v

n−k

= 1.

On en conclut :

n

P

k=0

n k

r^k v^n−k= (r+v)ⁿ Théorème 15.

Soit X une v.a.r. discrète finie telle que X ,→ B(n, p) (n∈N^∗, p∈]0,1[).

2) De plus : E(X) =n p et V(X) =n p q = n p (1−p) Démonstration.

2) • E(X) = P

x∈X(Ω)

xP([X=x]) =

n

P

k=0

k n

k

p^kq^n−k =

n

P

k=1

k n

k

p^kq^n−k. Or, pour k∈J1, nK, on a :k

n k

=n n−1

k−1

. On en déduit : E(X) =

Pn

k=1

n n−1

k−1

p^kq^n−k =n

n−1

P

k=0

n−1 k

p^k+1q^n−(k+1)

= np

n−1

P

k=0

n−1 k

p^kq^(n−1)−k = np (p+q)ⁿ⁻¹ = np carp+q= 1.

• V(X) =E(X²)−(E(X))². On commence donc par calculer E(X²).

E(X²) = P

x∈X(Ω)

x²P([X=x]) =

n

P

k=0

k² n

k

p^kq^n−k=

n

P

k=1

k² n

k

p^kq^n−k.

(18)

Or, pour k∈J1, nK, on a :k n

k

=n n−1

k−1

. Ainsi :k²

n k

= k n n−1

k−1

= n k n−1

k−1

.

Afin de pouvoir se débarraser dukrestant, on remarque :k= (k−1)+1.

On en déduit alors que, pour tout k∈J2, nK: n k

n−1 k−1

= n(k−1) n−1

k−1

+n

n−1 k−1

= n(n−1)

n−2 k−2

+n

n−1 k−1

On a alors : E(X²) =

n

P

k=1

k² n

k

p^kq^n−k

=

n

P

k=1

n(k−1) n−1

k−1

p^kq^n−k+

n

P

k=1

n

n−1 k−1

p^kq^n−k

=

n

P

k=2

n(k−1) n−1

k−1

p^kq^n−k+ np

=

n

P

k=2

n(n−1) n−2

k−2

p^kq^n−k+ np

= n(n−1)

n−2

P

k=0

n−2 k

p^k+2q^n−(k+2)+ np

= n(n−1)p²

n−2

P

k=0

n−2 k

p^kq^(n−2)−k+ np

= n(n−1)p²+np

On en déduit :

V(X) = E(X²)−(E(X))² = n(n−1)p²+np − (np)²

= n²p² −np²+np − n²p² = n(p−p²) = n p (1−p) Proposition 4.

Soit X une v.a.r. discrète finie telle que X ,→ B(n, p) (n∈N^∗, p∈]0,1[).

Alorsn−X suit la loi binomiale de paramètre (n, q).

Démonstration.

Notons Y =n−X. On a alors :

a) Y(Ω) ={n−x|x∈X(Ω)}={n, n−1, . . . ,1,0}=J0, nK. b) ∀k∈J0, nK, P([Y =k]) = P([n−X=k]) =P([X =n−k])

=

n n−k

p^n−kq^n−(n−k) = n

k

q^kp^n−k

SiX est une v.a.r. discrète finie suivant la loi binomialeB(5, .7).

0

0 1 2 3 4 5

1

(19)

II.5. Loi hypergéométrique (BONUS) Définition

• Soit(N, n)∈(N^∗)² tel que 16n6N et soit p∈]0,1[(q = 1−p).

• On dit qu’une v.a.r. discrèteX suit la loi hypergéométriquede paramètre(N, n, p) si :

a) X(Ω) =Jmax(0, n−N q),min(n, N p)K b) ∀k∈Jmax(0, n−N q),min(n, N p)K,

P([X=k]) =

N p k

_{N q}

n−k

N n

• On utilisera la notationX ,→ H(N, n, p) pour signifier queX suit la loi hypergéométrique de paramètre(N, n, p).

Exemple

• On considère une urne qui contient aboules blanches et bboules noires.

L’expérience consiste à tirer simultanément n boules dans l’urne (on suppose n6a+b).

On note X la v.a.r. égale au nombre de boules blanches obtenues.

Alors :X ,→ H

a+b, n, a a+b

. Autrement dit, on a :

∀k∈X(Ω), P([X =k]) =

a k

_b

n−k

a+b n

(ici, N =a+b etp= a

a+b d’où N p=aetN q=b)

• On considère une urne qui contient aboules blanches et bboules noires.

L’expérience consiste à tirer successivement et sans remise n boules dans l’urne (on supposen6a+b).

On noteX la v.a.r. égale au nombre de boules blanches obtenues.

Alors :X ,→ H

a+b, n, a a+b

Autrement dit, pour ces deux expériences a priori différentes, la v.a.r. donnant le nombre de boules blanches suit la même loi géométrique.

Remarque

• On retrouve la formule de Vandermonde.

Considérons l’une ou l’autre des expériences précédentes.

On suppose de plus que a>n etb>n de sorte que : Jmax(0, n−N q),min(n, N p)K = J0, nK.

Comme([X=k])_k∈

J0,nKest le système complet d’événements associé àX:

n

P

k=0

P([X=k]) = 1 donc

n

P

k=0 a k

_b

n−k

a+b n

= 1.

On en conclut :

n

P

k=0

a k

b n−k

=

a+b n

Théorème 16.

Soit X une v.a.r. discrète finie telle que X ,→ H(N, n, p) (avec16n6N, p∈]0,1[).

1) X admet une espérance et une variance.

2) De plus : E(X) =n p et V(X) =n p q N −n N −1 Démonstration.

2) Admis.

(20)

III. Lois discrètes infinies

III.1. Loi géométrique Définition

• On dit qu’une v.a.r.X suit la loi géométriquede paramètre p∈]0,1[ si :

a) X(Ω) =N^∗

b) ∀k∈N^∗, P([X=k]) =p q^k−1 avecq = 1−p

• On utilisera la notationX ,→ G(p)pour signifier que X suit la loi géométrique de paramètrep.

Exemple

On considère une expérience aléatoire qui consiste en une succession infinie d’épreuves indépendantes, chacune d’entre elles ayant deux issues : succès obtenu avec probabilitép et échec obtenu avec probabilitéq = 1−p. Autre- ment dit, l’expérience consiste à effectuer une infinité d’épreuves de Bernoulli identiques (même paramètre) et indépendantes (le résultat de l’une ne dé- pend pas du résultat des autres). Alors la v.a.r. donnant le rang d’apparition du premier succès de l’expérience suit la loi géométrique de paramètrep.

• On considère l’expérience du jeu deP ouF où l’obtention deP est obtenue avec probabilitép (etF avec probabilité1−p).

L’expérience consiste à répéter indéfiniment ce jeu de pile ou face.

On note X la v.a.r. égale au rang d’apparition du premier P. Alors :X ,→ G(p)

L’expérience consiste au tirage infini d’une boule avec remise.

On note X la v.a.r. donnant le rang d’apparition de la première boule rouge. Alors : X ,→ G

r r+v

Théorème 17.

Soit X une v.a.r. discrète infinie telle que X ,→ G(p) (p∈]0,1[). Alors : 1) La v.a.r. X admet une espérance et une variance.

2) E(X) = 1

p et V(X) = q

p² = 1−p p² Démonstration.

1) X(Ω) =N^∗ et pour toutn∈N^∗, P([X =n]) =p qⁿ⁻¹. La v.a.r. X admet une espérance si la série P

n>1

n p qⁿ⁻¹ est absolument convergente. Or :

• |n p qⁿ⁻¹|=|n| |p| |qⁿ⁻¹|=n p qⁿ⁻¹,

• n qⁿ⁻¹ est le terme général d’une série géométrique dérivée première de raisonq vérifiant0< q <1.

On en conclut que la série P

n>1

n qⁿ⁻¹ est absolument convergente et donc queX admet une espérance. CalculonsE(X):

E(X) =

+∞

P

n=1

n p qⁿ⁻¹ = p

+∞

P

k=1

n qⁿ⁻¹

= p 1

(1−q)² = p

(1−(1−p))² = p p² = 1

p 2) X²(Ω) ={n² |n∈N^∗}et pour tout n∈N^∗, P([X=n]) =p qⁿ⁻¹.

X admet une variance si X admet un moment d’ordre 2 i.e. si la série P

n>1

n²p qⁿ⁻¹ est absolument convergente. Or :

• |n²p qⁿ⁻¹|=n²p qⁿ⁻¹,

• n²qⁿ⁻¹ = (n(n−1) +n)qⁿ⁻¹=n(n−1)qⁿ⁻¹+n qⁿ⁻¹.

(21)

Le terme généraln²qⁿ⁻¹ apparaît comme la somme de :

× n(n−1)qⁿ⁻¹, qui est le terme général d’une série géométrique dérivée seconde de raisonq vérifiant 0< q <1,

× n qⁿ⁻¹, qui est le terme général d’une série géométrique première de raisonq vérifiant 0< q <1.

On en conclut que la v.a.r.X admet une variance.

CalculonsV(X) à l’aide de la formule de Kœnig-Huygens.

• Tout d’abord, on a : E(X²) =

+∞

P

n=1

n²p qⁿ⁻¹ = p

+∞

P

n=1

(n(n−1) +n)qⁿ⁻¹

= p q

+∞

P

n=1

n(n−1)qⁿ⁻² + p

+∞

P

n=1

n qⁿ⁻¹

= p q 2

(1−q)³ + p 1 (1−q)²

= 2q p² + p

p²

= 2 (1−p) p² + p

p² = 2−p p²

• D’autre part : (E(X))² = 1

p 2

= 1 p² Ainsi :V(X) = E(X²)−(E(X))² = 2−p

p² − 1

p² = 1−p p² .

Proposition 5.

Soit X une v.a.r. discrète infinie telle que X ,→ G(p) (p∈]0,1[).

Alors pour tout (k, `)∈N² : 1) P([X > k]) = q^k

2) P([X > k+`]) = P([X > k])×P([X > `]) Démonstration.

Soit(k, `)∈N².

1) On remarque tout d’abord que : [X > k] =

+∞

S

i=k+1

[X=i].

Ainsi, par σ-additivité : P([X > k]) = P

+∞

S

i=k+1

[X =i]

!

= lim

n→+∞P Sn

i=k+1

[X=i]

!

= lim

n→+∞

n

P

i=k+1

P([X =i]) = lim

n→+∞

n

P

i=k+1

p×qⁱ⁻¹

= lim

n→+∞p

n

P

i=k+1

qⁱ⁻¹ = lim

n→+∞ p

n−1

P

i=k

qⁱ

= lim

n→+∞p×q^k−qⁿ 1−q Enfin : p× q^k−qⁿ

1−q = q^k−qⁿ. Comme0< n <1, on a : lim

n→+∞qⁿ= 0et on obtient le résultat souhaité.

2) D’après le point précédent :

P([X > k+`]) = q^k+` = q^k×q^` = P([X > k])×P([X > `])

(22)

Remarque

Comme [X > k+`]⊆[X > k], on a : P[X>k]([X > k+`]) = P([X > k+`])

P([X > k]) = q^k+`

q^k =q^`=P([X > `]) On dit alors que la loi géométrique est à perte de mémoire (la propriété X > k est oubliée) ou encore que la loi géométrique est sans mémoire.

III.2. Loi de Poisson Définition

• On dit qu’une v.a.r.X suitla loi de Poissonde paramètreλ >0si : a) X(Ω) =N

b) ∀k∈N^∗, P([X=k]) =e^−λ λ^k k!

• On utilisera la notationX ,→ P(λ) pour signifier queX suit la loi de Poisson de paramètreλ.

Exemple

Le BOsuggère d’introduire la loi de Poisson comme loi limite.

On considère (Xn)n∈N^∗ une suite de v.a.r. telle que, pour tout n ∈ N^∗, Xn,→ B n,^λ_n

où λ >0. On a alors, pour tout k6n: P(X_n=k) =

n k

× λ

n k

×

1−λ n

n−k

= n!

k!(n−k)!

λ^k n^k

1−λ

n n

1−λ n

−k

= λ^k k!

n!

(n−k)!

n^k

1−λ n

n 1− λ

n −k

Intéressons-nous aux termes de ce produit.

• n!

(n−k)!

n^k = n(n−1). . .(n−(k−1))

n^k −→

n→+∞1

En effet, ce terme est un quotient de polynômes enn. Sa limite en+∞est donc la limite du rapport des monômes de plus haut degré. Il suffit alors de remarquer que le terme de plus haut degré du numérateur estn^k.

• Notons un=

1− λ n

n

. Alors : lnun=nln

1− λ n

. On peut alors écrire :

lnun = n×

−λ n

× ln 1−_n^λ

−_n^λ = −λ ln 1−^λ_n

−^λ_n Or on sait que : ln 1−^λ_n

−^λ_n −→

n→+∞1.

C’est en effet une instance de la propriété : lim

x→0

ln(1 +x) x = 1.

(c’est la limite d’un taux d’accroissement . . .) D’où : lnu_n→ −λ et u_n −→

n→+∞e^−λ.

• Enfin, comme1− λ n −→

n→+∞1, on a

1− λ n

−k

= 1

1−^λ_nk −→

n→+∞

1 1 = 1 On en déduit que :

P([X_n=k]) −→

n→+∞ e^−λλ^k

k! = P([X=k]) oùX est une v.a.r. telle queX ,→ P(λ).

La loi de Poisson apparaît comme la limite de lois binomialesB

n,λ n

. Ainsi, singrand (et donc _n^λ proche de0) la loiP(λ)est une bonne approxi- mation de la loiB

n,λ

n

.