Algèbre
Anneaux - Corps
Denis Vekemans∗
Exercice 1 Soit(A,+,0A) un groupe abélien.
On munit l’ensemble Ad’une autre loi binaire ·, en posanta·b= 0A, pour touta, b∈A.
Montrer que(A,+,·) est un anneau commutatif.
Exercice 2 Soit
2Z={2z tels quez∈Z}.
Montrer que (2Z,+,·) est un anneau commutatif.
Exercice 3 (Mars 2004) Soit(R,+,·) l’anneau des nombres réels.
On définit deux nouvelles lois L et N
sur R de la manière suivante : ∀(x, y) ∈ R2, on pose xL y = x+y−2 etxN
y=x·y−2x−2y+ 6.
1. Montrer que(R,L
)est un groupe abélien.
2. Montrer que(R,L ,N
) est un anneau commutatif unitaire.
Exercice 4 On considère le produit cartésienZ×Z={(a, b) tels quea∈Z, b∈Z}.
On pose
(a, b) + (c, d) = (a+c, b+d)
et
(a, b)◦(c, d) = (a·c, a·d+b·c) pour tout (a, b),(c, d)∈Z×Z.
Montrer que(Z×Z,+,◦) est un anneau commutatif.
L’anneau (Z×Z,+,◦) est-il unitaire ?
Exercice 5 Soit(A,+,·) un anneau commutatif.
Notons 0et1 respectivement le neutre pour+et pour ·.
SoitP une partie deA telle que
∗Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; 62 228 Calais cedex ; France
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L1 Maths - Info Algèbre 2008 1. P est stable pour +dansA;
2. P ∩(−P) ={0}etP ∪(−P) =A.
Montrer que la relation ≤surA définie parx≤y si et seulement siy−x∈P est un ordre total surA.
Exercice 6 Soit(A,+,·) un anneau idempotent, c’est-à-dire tel que, pour toutx∈A,x·x=x.
Notons 0et1 respectivement le neutre pour+et pour ·.
1. Montrer que, pour toutx∈A,x+x= 0.
2. En déduire queA est commutatif.
3. Montrer que la relation binaire définie surApar
x Ry⇐⇒x·y=x, est une relation d’ordre surA.
4. Si A est (A,+,·) un anneau idempotent intègre, montrer que A est soit trivial, soit isomorphe à (Z/2Z,+,·).
Exercice 7 Soit(A,+,·) un anneau unitaire.
Notons 0et1 respectivement le neutre pour+et pour ·.
On munit l’ensemble Ade deux opérations : aL
b=a+b+ 1etaN
b=a·b+a+b.
1. Montrer que(A,L ,N
) est un anneau.
2. Montrer que l’application f: (A,+,·) → (A,L ,N
) définie par f(a) = a−1 est un isomorphisme d’anneaux.
Exercice 8 metn sont deux entiers naturels premiers entre eux.
Montrer que l’anneau Z/mnZest isomorphe à Z/mZ×Z/nZ Exercice 9 Soit
Q[ı] ={a+bı tels que(a, b)∈Q2} ⊂C.
Montrer que Q[ı]est un sous-corps du corps(C,+,·)des nombres complexes.
Soit
Z[ı] ={a+bı tels que(a, b)∈Z2} ⊂C. Z[ı]est-il un sous-corps du corps (C,+,·)des nombres complexes ?
Exercice 10 Montrer que tout anneau commutatif unitaire intègre fini est un corps.
Exercice 11 Soit(A,+,·)un anneau unitaire commutatif. Notons0et1 respectivement le neutre pour+ et pour ·.
–2/3– Mathématiques
L1 Maths - Info Algèbre 2008
Un élément xde A est dit nilpotents’il existe n∈N∗ tel quexn= 0.
On peut montrer que ∀(x, y)∈A2,∀n∈N∗, (x+y)p =
p
X
k=0
p k
!
xkyp−k,
où
p k
!
= p!
k! (p−k)!.
(a) Soientx ety deux éléments nilpotents de A. Montrer quex+y est nilpotent.
(b) Soit xun élément nilpotent de A et soit y∈A. Montrer quexy est nilpotent.
(c) Soit x∈A nilpotent. Montrer que1−x est inversible et déterminer son inverse.
Exercice 12 Soit(A,+,·) un anneau commutatif unitaire.
SoitS une partie deA stable pour·ne contenant pas 0.
On définit
– une relation binaireRpar
∀(a, s)∈A×S, ∀(a′, s′)∈A×S, (a, s) R(a′, s′)⇐⇒ ∃ω∈S tel que ω·(a·s′−a′·s) = 0.
– une loi de composition notée ♣
∀(a, s)∈A×S, ∀(a′, s′)∈A×S, (a, s) ♣(a′, s′) = (a·s′+a′·s, s·s′).
– une loi de composition notée ♠
∀(a, s)∈A×S, ∀(a′, s′)∈A×S, (a, s) ♠(a′, s′) = (a·a′, s·s′).
Montrer que R est une relation d’équivalence sur F et que F/R peut être muni de la structure d’anneau quotient.
Exercice 13 Déterminer tous les endomorphismes du corps R.
Références
[1] M. Gran, fiches de TD (L1), Université du Littoral Côte d’Opale.
[2] M. Serfati, Exercices de mathématiques. 1. Algèbre, Belin, Collection DIA, 1987.
[3] D. Duverney, S. Heumez, G. Huvent, Toutes les mathématiques – Cours, exercices corrigés – MPSI, PCSI, PTSI, TSI, Ellipses, 2004.
–3/3– Mathématiques
