Électrocinétique. Tout le cours. Classe prépa PCSI MPSI PTSI. Bernard Gendreau. Christophe Gripon

(1)

PCSI MPSI PTSI

| Classe | prépa

| Électrocinétique |

Bernard

Gendreau

Professeur de chaire supérieure en classes préparatoires à l’École nationale de Chimie, Physique, Biologie (ENCPB) à Paris

Christophe

Gripon

Professeur en classes préparatoires à l’École nationale de Chimie, Physique, Biologie (ENCPB) à Paris

Tout le cours

(2)

Sommair e ₁ Circuit électrique en régime stationnaire

1 - Définitions ... 4

2 - Courant électrique – Intensité – Loi des nœuds ... 5

3 - Tension aux bornes d’un dipôle – Loi des mailles ... 6

4 - Conventions d’orientation pour un dipôle – Dipôle actif, dipôle passif ... 6

5 - Conducteur ohmique – Loi d’Ohm ... 7

6 - Sources d’énergie électrique – Modélisation d’un dipôle actif ... 8

7 - Point de fonctionnement d’un circuit ... 9

8 - Voltmètre et ampèremètre ... 10

savoir résoudre les exercices ...11

2 Puissance en régime stationnaire

1 - Puissance électrocinétique reçue par un dipôle ... 18

2 - Caractéristiques d’un conducteur ohmique ... 19

savoir résoudre les exercices ... 20

3 Méthodes d’étude d’un circuit électrique en régime permanent

1 - Association en série ... 24

2 - Association en parallèle ... 27

3 - Équivalence des représentations de Thévenin et de Norton d’un générateur ... 29

4 - Potentiel et loi des nœuds en termes de potentiels ... 30

5 - Méthodes d’étude d’un circuit ... 31

4 Circuits RC, RL, RLC série soumis à un échelon de tension

1 - Circuit RC série ... 39

2 - Circuit RL série ... 44

3 - Circuit RLC série ... 47

4 - Établissement d’un régime périodique forcé dans un circuit soumis à une tension périodique ... 52

5 - Approximation des régimes quasi permanents (ARQP) ... 53

5 Circuits linéaires en régime sinusoïdal forcé

1 - Introduction ... 63

2 - Utilisation des nombres complexes ... 66

3 - Impédances complexes ... 66

4 - Théorèmes généraux ... 69

5 - Lois d’association ... 72

6 - Étude d’un circuit RLC, résonances ... 75

(3)

6 Puissance en régime sinusoïdal forcé

1 - Puissance instantanée et puissance moyenne ... 89

2 - Aspects énergétiques de l’étude du circuit RLC série ... 92

7 Transfert d’un système linéaire – Filtres du premier ordre

1 - Fonction de transfert d’un quadripôle linéaire Filtre ... 99

2 - Diagramme de Bode d’un filtre ... 101

3 - Filtre passe-bas du premier ordre ... 102

4 - Filtre passe-haut du premier ordre ... 105

5 - Prévision des comportements asymptotiques à basse et à haute fréquences d’un filtre ... 108

6 - Équation différentielle d’un système du premier ordre – Stabilité ... 109

7 - Caractère intégrateur ou dérivateur d’un filtre ... 110

8 Filtres du deuxième ordre

1 - Filtre passe-bas du deuxième ordre ... 126

2 - Filtre passe-bande du deuxième ordre ... 129

3 - Filtre passe-haut du deuxième ordre ... 132

4 - Prévision des comportements asymptotiques à basse et à haute fréquences d’un filtre ... 134

5 - Équation différentielle d’un système du deuxième ordre – Stabilité ... 134

Index ...

149

(4)

retenir l’essentiel

4

Circuit électrique en régime stationnaire

Un système est en régime stationnaire quand les grandeurs physiques qui le décrivent sont indépendantes du temps.

1 Définitions

• Un circuit électrique est un ensemble de conducteurs reliés entre eux par des fils de jonction et dans lequel circule un courant électrique.

• Un dipôle est un composant électrique limité par deux bornes.

• Un nœud est un point commun à plus de deux dipôles.

• Une maille est une partie d’un circuit électrique formant un contour fermé.

• Une branche est une suite de dipôles entre deux nœuds consécutifs.

Par exemple dans la figure 1 :

• B et E sont des nœuds du circuit.

• La maille ABEFA est constituée des dipôles D₂, D₆, D₅, et D₁. Les contours fermés ABCDEFA et BCDEB sont les deux autres mailles du circuit.

• BCDE, EFAB et EB sont les branches du circuit.

Fig. 1 _A _B _C

D E

F

D₁ D₆ D₄

D2 D3

D₅

Le circuit est constitué des dipôles D₁, D₂, D₃, D₄, D₅ et D₆ reliés par des ﬁls de jonction.

I

Remarque L’orientation arbitraire de la branche BCDE est donnée par la flèche. L’inten- sité I est positive si les porteurs de charge positive se déplacent dans le sens choisi arbitrairement.

(5)

1

– Circuit électrique en régime stationnaire

5

2 Courant électrique – Intensité – Loi des nœuds

2.1. Courant électrique

Le courant électrique est un déplacement de porteurs de charge (électrons, ions) dans un conducteur.

Le sens conventionnel du courant est celui du déplacement des porteurs de charge positive. C’est donc aussi le sens opposé au déplacement des porteurs de charge négative.

2.2. Orientation d’une branche – Relation entre charge et intensité

• Avant d’étudier un réseau électrique, chaque branche doit être orientée arbitrairement (voir figure 1) en plaçant une flèche sur le trait représentant le fil de jonction surmontée de la lettre I pour l’intensité.

L’intensité I du courant qui traverse un conducteur est un débit de charge. C’est une grandeur algébrique. Elle est mesurée à l’aide d’un ampèremètre.

• Soit la charge qui traverse dans le sens positif choisi arbitrairement une section de conducteur pendant une durée élémentaire L’intensité s’écrit :

Après calcul, c’est le signe de la valeur de l’intensité I qui donne le sens réel du courant :

• signifie que les porteurs positifs se déplacent dans le sens choisi arbitrairement ;

• signifie que les porteurs positifs se déplacent dans le sens inverse du sens choisi.

2.3. Loi des nœuds

En régime stationnaire, il n’y a ni accumulation ni disparition de charge ; il y a conservation de la charge. La loi des nœuds traduit la loi de conservation de la charge.

Conséquence : l’intensité est la même en tout point d’une branche car elle ne contient pas de nœud.

Loi des nœuds

La somme des courants arrivant à un nœud est égale à la somme des courants qui en partent :

• si l’intensité est orientée vers le nœud ;

• si l’intensité est orientée à partir du nœud.

dq

dt. I dq

---dt

=

I en ampère (A) q en coulomb (C) t en seconde (s)

Ici, le sens réel du courant est de B vers A.

Fig. 2 _A

I = – 3 A B

I0

I₁+I₂–I₃–I₄=0

I1 I3

I₄ I₂

N

εkI_k

∑

⁼ ^0.

εk = +1, εk = –1,

Fig. 3 I = I₀ I = I₀

Attention L’intensité en amont d’un dipôle est égale à sa valeur en aval ; le courant « ne s’use pas » dans un dipôle.

(6)

retenir l’essentiel

6

3 Tension aux bornes d’un dipôle – Loi des mailles

3.1. Tension aux bornes d’un dipôle

La tension entre deux points d’un dipôle est la grandeur électrique mesurée entre ces deux points par un voltmètre. Elle est représentée par une flèche. C’est une grandeur algébrique et elle s’exprime en volt (symbole V).

3.2. Loi des mailles

On choisit arbitrairement un sens de parcours (sens horaire ou anti-horaire).

Sur la figure ci-dessus :

• maille parcourue dans le sens horaire : ;

• maille parcourue dans le sens anti-horaire :

4 Conventions d’orientation pour un dipôle – Dipôle actif, dipôle passif

4.1. Convention récepteur et convention générateur

Le circuit étant orienté (sens du courant I défini), on peut choisir arbitrairement pour la tension U :

• le même sens que celui de I (flèches dans le même sens) ; c’est la convention générateur ;

• ou le sens opposé (flèches de sens opposé) ; c’est la convention récepteur. La somme des tensions aux bornes des

dipôles d’une maille est nulle :

• si la flèche tension est dans le sens du parcours ;

• si la flèche tension est dans le sens opposé à celui du parcours.

Fig. 4

U

A B

Dipôle

D₁

D2 D3

D₄

D₅ U2

U₁

U3

U₄ U5

εkU_k=0.

le longd’une maille

∑

εk = +1, U_k

εk = –1, U_k

Attention Les résultats obtenus en appliquant la loi des mailles sont indé- pendants du sens de

parcours choisi. U₁+U₂+U₃–U₄+U₅ = 0

U₁

– –U₂–U₃+U₄–U₅ = 0.

Fig. 5 Conseil

Il faut systématique- ment représenter sur les schémas électri- ques les sens d’orientation des branches (sens de l’intensité) et les sens choisis pour les flèches tension.

• Convention générateur • Convention récepteur

Conventions d’orientation d’un dipôle

I I

U U

(7)

1

7

4.2. Dipôle actif, dipôle passif

La caractéristique d’un dipôle est la courbe donnant la tension U à ses bornes en fonction de l’intensité I du courant qui le traverse, ou la courbe

Un dipôle passif est un dipôle dont la caractéristique passe par l’origine.

Un dipôle actif est un dipôle dont la caractéristique ne passe pas par l’origine.

5 Conducteur ohmique – Loi d’Ohm

5.1. Conducteur ohmique

Un conducteur ohmique est un dipôle dans lequel le passage d’un courant provoque un effet thermique appelé effet Joule. On lui donne souvent le nom de résistor.

5.2. Loi d’Ohm

Un conducteur ohmique est caractérisé par sa résistance et satisfait à la loi d’Ohm.

Loi d’Ohm pour un conducteur ohmique en convention récepteur :

La caractéristique d’un conducteur ohmique est une droite. C’est un dipôle passif.

La conductance G est l’inverse de la résistance ; elle s’exprime en siemens (symbole S).

U = f I( )

I = g U( ).

Fig. 6

U

O I

U

O I

a) Caractéristique d’un dipôle actif. b) Caractéristique d’un dipôle passif.

U=RI

U tension aux bornes d’un conducteur ohmique (V) R résistance d’un conducteur ohmique en ohm (Ω) I intensité du courant qui traverse le conducteur (A)

R U = RI

I

Fig. 7

I U O

Conseil Orienter de préfé- rence un conducteur ohmique en convention récepteur et appliquer la loi U = RI.

Si le conducteur ohmique est orienté en convention généra- teur, la relation de- vient U =−RI.

(8)

retenir l’essentiel

8

6 Sources d’énergie électrique – Modélisation d’un dipôle actif

6.1. Sources idéales d’énergie

6.1.1.Source ou générateur idéal de tension

C’est un dipôle actif qui impose une tension constante E, appelée force électromotrice (noté f.é.m.), entre ses bornes.

6.1.2.Source ou générateur idéal de courant

C’est un dipôle actif qui impose un courant constant d’intensité , appelé courant élec- tromoteur (noté c.é.m.), dans la branche dans laquelle il est placé.

6.2. Modélisation linéaire de Thévenin et de Norton d’un dipôle actif

Dans de nombreuses applications l’expérience montre qu’on peut modéliser un généra- teur réel par l’association :

• d’un générateur idéal de tension et d’un conducteur ohmique en série dont la résistance est appelée résistance interne du générateur ; c’est le modèle linéaire de Thévenin.

• ou d’un générateur idéal de courant et d’un conducteur ohmique en parallèle dont la conductance est appelée conductance interne du générateur ; c’est le modèle linéaire de Norton.

Attention Ne pas oublier que la tension E est indé- pendante de l’intensi- té I du courant débité.

Attention Ne pas oublier que le courant débité I₀ est indépendant de la tension U aux bornes.

I₀

Fig. 8

E

I I

U E

O

U = E quel que soit I

b) Générateur idéal de courant en convention générateur a) Générateur idéal de tension en convention générateur

I = I₀quel que soitU I0

U

I₀ I O

(9)

1

9

7 Point de fonctionnement d’un circuit

Le point de fonctionnement d’un circuit comportant deux dipôles est le point d’intersection des caractéristiques de ces deux dipôles.

• Caractéristique

Modélisation linéaire de Thévenin d’un dipôle actif (générateur de tension)

• Caractéristique

Modélisation linéaire de Norton d’un dipôle actif (générateur de courant) Fig. 9

U + I –

Conseil Pour la modélisation de Thévenin, la flè- che tension correspondant à la f.é.m.

doit être orientée du pôle – du générateur vers le pôle +.

Pour la modélisation de Norton, la flèche courant correspondant au c.é.m. doit être orientée du pôle – du générateur vers le pôle +.

• Représentation de Norton

• Représentation de Thévenin

I gU r

r I E

I₀

g 1

r′ ---

= r′ U

I

U=E–rI

I I₀–gU, soit I I₀ U r′ --- –

= =

U

O I E

I₀

Remarque Les deux représenta- tions sont équivalen- tes, ce qui impose : et (voir chapitre 3.)

r′=r E=rI₀.

U

I0

O I

Fig. 10

Dipôle 1 en convention générateur

Dipôle 2 en convention récepteur

U

Up

Ip

I (1) P

O

(2)

Up

En noir, caractéristique du dipôle (1) En couleur, caractéristique du dipôle (2)

Point de fonctionnement d’un circuit

Ip

(10)

retenir l’essentiel

10

8 Voltmètre et ampèremètre

8.1. Mesure des tensions

La tension U aux bornes d’un dipôle D se mesure en plaçant un voltmètre en parallèle.

Un voltmètre est idéal si son branchement ne modifie pas la tension aux bornes du dipôle dont il mesure la tension.

Un voltmètre idéal n’est traversé par aucun courant ; sa résis- tance est infinie.

8.2. Mesure des intensités

L’intensité I qui traverse un dipôle D se mesure en plaçant un ampèremètre en série avec le dipôle.

Un ampèremètre est idéal si son introduction ne modifie pas l’intensité du courant qui traverse le dipôle.

La tension aux bornes d’un ampèremètre idéal est nulle ; sa résistance est nulle.

D U

V

D A

I

Attention Les voltmètres et ampèremètres sont toujours considérés comme idéaux dans les exercices, sauf in- dication contraire.

On ne doit pas tenir compte de leur pré- sence dans les calculs.

(11)

savoir résoudre les exercices

1

11

1

On lit sur la courbe caractéristique du générateur (page suivante) les coordonnées du

point limite de linéarité :

Le générateur peut donc être considéré comme linéaire tant que la tension U est supé- rieure à 4,0 V.

a.En respectant les pôles du générateur, la modélisation linéaire de Thévenin donne : (1)

pour ; on obtient par lecture graphique sur la figure suivante :

1 – Caractéristique d’un générateur non linéaire

On considère le générateur ci-contre. En faisant débiter un générateur dans des résistances réglables, on a obtenu la caractéristique ci-dessous.

On considère que la caractéristique est linéaire tant que l’intensité du courant est inférieure à 0,10 A.

1

En précisant son domaine de validité en intensité, déduire des mesures les modèles linéaires du générateur :

a.modèle linéaire de Thévenin ; calculer la force électromotrice E et la résis- tance interne r ;

b.modèle linéaire de Norton ; calculer le courant électromoteur et la résis- tance interne

2

Ce générateur alimente un résistor de résistance R. Déterminer la valeur limite du domaine linéaire.

3

Déterminer graphiquement le point de fonctionnement quand le générateur alimente un résistor de résistance

I

U

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

0,05 0,1 0,15 0,2 I (A)

U (V)

Caractéristique du générateur

I₀ r′.

R_lim

R′ = 10 Ω.

résolution méthodique

0,10 A ; 4,0 V

( )

U = E U– _r = E rI–

U = E I = 0 E = 9,0 V.

(12)

savoir résoudre les exercices

12

r est l’opposé de la pente de la droite ; pour la calculer on considère les points (0 ; 0,9 V) et (0,10 A ; 4,0 V). Il vient soit :

b.En respectant les pôles du générateur, la modélisation de Norton donne :

L’application de la loi des nœuds conduit à

donc (2)

étant l’opposé de la pente de la droite, sa valeur est celle de r calculée plus haut.

Cherchons à retrouver ce résultat d’une autre manière :

•

pour on en déduit graphiquement que

•

pour On obtient en prolongeant la droite correspondant à la partie linéaire de la caractéristique la valeur

•

et

U (V) 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

0,05 0,1 0,15 0,2 I (A)

r 9 4– ---0,1 ,

=

r = 50 Ω

I + −

E Ur

U

I+ − r

I

+ −

U

U I0

+ − I

r′ I_r_′

Faire attention aux sens d’orientation des f.é.m. et c.é.m. : les flèches correspondantes doivent être dirigées du pôle négatif du générateur vers le pôle positif.

I = I_r′+I₀ U = –r′I I U

r′----

– +I₀⇒U r′I0–r′I

= =

r′

U = r′I0 I = 0, r′I0 = 9,0 V.

I = I₀ U = 0.

I₀ = 0,18 A.

r′I0 = 9,0 V I₀ = 0,18 A⇒r′ = 50 Ω.

(13)

1

13 Remarque : En comparant les relations (1) et (2) on constate que et ces

relations sont générales et seront utilisées au chapitre 3.

2

Ajoutons sur le graphe la caractéristique du résistor (convention récepteur sur le schéma ci-contre) à celle du générateur (figure ci-dessous).

La caractéristique du générateur n’est plus linéaire pour et À la limite, Il faut donc que :

3

La résistance étant inférieure à on est en dehors du domaine linéaire ; il faut donc utiliser la méthode graphique de résolution.

Ajoutons sur le graphe la caractéristique du résistor à celle du générateur (figure suivante). Elle passe par le point (0,20 A ; 2,0 V) et entre deux points de la caractéristique du générateur. Le point de fonctionnement est le point d’intersection du segment qui relie ces deux points avec la caractéristique du résistor. On lit directement ses coordon- nées sur les axes :

La détermination graphique est toujours entachée d’erreurs, ici de l’ordre de 10 %.

0,13 A et 1,4 V

r = r′ r′I₀ = E,

Les modélisations linéaires de Thévenin et de Norton des générateurs réels ne sont que des approximations. Selon la précision recherchée dans la détermination des valeurs de fonctionnement, ces approximations sont valables dans un domaine plus ou moins étendu.

U I

R

Le tracé d’une caractéristique n’a de sens que si les grandeurs correspondantes, U et I, sont défi- nies sur un schéma.

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

R40 Ω

R=40 Ω

0,05 0,1 0,15 0,2 I (A)

U (V)

II_lim = 0,10 A UU_lim = 4,0 V. R_lim U_lim

I_lim

--- 40 Ω.

= =

RR_lim = 40 Ω

R_lim,

(14)

savoir résoudre les exercices

14

2 – Modélisation d’une diode

Soit la tension aux bornes d’une diode à jonction et I l’intensité du courant qui la traverse selon les conventions de la figure ci-contre. En unités légales :

• si (on dit que la diode est bloquante) ;

• si (on dit que la diode est passante).

Le domaine d’utilisation de la diode est et

1

Montrer que, selon les valeurs de la tension la diode est équivalente à un interrupteur ouvert ou à un résistor en série avec un générateur idéal de tension.

2

Tracer la caractéristique

La résolution graphique s’impose quand le comportement d’un ou de plusieurs dipôles d’un circuit est non linéaire.

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

0,05 0,1 0,15 0,2 I (A)

point de fonctionnement U (V)

0,13

•

La flèche tension correspondant à la f.é.m. d’un générateur, ou la flèche courant correspondant au c.é.m., doit être orientée du pôle négatif vers le pôle positif du générateur.

•

Les modélisations linéaires de Thévenin et de Norton des générateurs réels ne sont que des approximations. Selon la précision recherchée dans la détermination des valeurs de fonctionnement, ces approximations sont valables dans un domaine plus ou moins étendu.

•

La résolution graphique s’impose quand le comportement d’un ou de plusieurs dipô- les d’un circuit est non linéaire.

en conclusion

U_D

UD

I = 0 U_D0,60 V I

U_D = 10I+0,60 I0

U_DU_Dmin = –3,0 V II_max = 0,10 A.

U_D, I = f U( _D).

(15)

1

15

1

Pour l’intensité qui traverse la diode est nulle. La diode est équiva-

lente à un interrupteur ouvert.

Pour on peut écrire la tension sous la forme Par identification, on a :

La diode est équivalente à l’association série d’un généra- teur idéal de tension et d’un résistor (figure ci-contre).

2

• Pour la caractéristique est le segment compris entre les points (– 3,0 V ; 0) et (0,60 V ; 0).

• Pour la caractéristique est le segment d’équa-

tion de pente compris

entre les points (0,60 V ; 0) et (1,6 V ; 0,10 A). Elle est limitée au point :

; 0,10 A).

La caractéristique est une courbe continue (figure ci-contre).

3

Un courant traverse le circuit, la diode est donc passante ; la diode est modélisable par l’association série du générateur idéal de tension et du résistor Représentons le circuit équivalent.

3

La diode est insérée dans le circuit ci-contre, qui com- prend un générateur réel, de résistance interne et de f.é.m. E ajustable, et un résistor de résistance

Quand on ajuste la f.é.m. à la valeur on constate qu’un courant traverse le circuit. Calculer l’intensité I, la tension et la tension aux bornes du générateur.

4

Calculer la valeur en deçà de laquelle la diode est bloquante.

5

Exprimer la relation simple entre les tensions et quand la diode est bloquante.

6

Tracer la courbe

et

U_D I

U_G R

r = 5,0 Ω

R = 15 Ω.

E = 10,0 V,

U_D U_G

E_min

U_D U_G U_D = f U( _G).

résolution méthodique

U_D0,60 V,

r′=10 Ω E′=0,60 V

I

UD

I0, U_D

U_D = r′I+E′.

E′ = 0,60 V r′ = 10 Ω

Il faut faire attention à l’orientation du circuit et aux sens respectifs des flèches représentant la force électromotrice E′ et la tension U_D.

0 0,08 0,06 0,04

0,02

0,60 U_{D max}= 1,6 V

−1

−2

−3

UG(V) 0,1

I(A)

UD

I = 0, I0, I U_D

---10 –0,060,

= 0,10 Ω^–¹

(U_Dmax = 0,60+10×0,1 = 1,6 V

E′ r′.

(16)

savoir résoudre les exercices

16

Orientons le circuit (flèche indiquant le sens arbitraire choisi pour I) et choisissons la convention récepteur pour chacun des résistors.

En choisissant le sens de parcours indiqué sur la figure ci-dessus pour appliquer la loi des mailles, il vient :

D’où

4

Le modèle utilisé est valide tant que la diode est passante ; la valeur de la f.é.m.

est celle pour laquelle l’intensité s’annule. D’après la relation il vient immédiatement :

En deçà de cette valeur la diode est bloquante.

Une application de la relation avec conduirait à une

valeur négative de l’intensité, en dehors du domaine de validité du modèle de la diode.

et

Il faut systématiquement représenter sur les schémas électriques les sens d’orientation des branches (sens de l’intensité) et les sens choisis pour les flèches tension avant d’appliquer la loi des mailles et la loi des nœuds.

Diode E′ r′I

RI

I

R E

UD

U_G

Générateur

r′

−r I r

E RI r′I E– – – ′–rI=0⇒E E– ′=(R+ +r r′)I⇒I 9,4

---30 0,3133.

= =

I = 0,31 A U_D E′+r′I 0,60 109,4

---30

+ 3,7333.

= = =

U_D = 3,7 V U_G = E rI– = 8,4 V

Les calculs intermédiaires doivent être conduits sans être arrondis. Ainsi le calcul précédent de la tension doit-il être conduit avec la valeur fractionnaire de I.

E_min

E E– ′ = (R+ +r r′)I, E_min = E′ U_Gmin = E_min = 0,60 V

E E– ′ = (R+ +r r′)I EE′

La valeur de l’intensité (ou de la tension) obtenue par l’utilisation d’un modèle de dipôle doit appartenir au domaine des intensités (ou des tensions) dans lequel ce modèle est valide.

(17)

1

17

5

La diode est équivalente à un interrupteur ouvert quand elle est bloquante, ce qui est

le cas quand V. Représentons le circuit équivalent (ci-dessous). Les tensions aux bornes des résistors sont nulles ; il vient immédiatement :

6

Calculons les valeurs extrêmes et de la tension E imposée par les condi- tions aux limites de fonctionnement de la diode :

• V ;

• soit

Quand la diode est bloquante Pour ce régime, la courbe est le segment de pente unitaire compris entre les points (−3,0 V ; −3,0 V) et (0,60 V ; 0,60 V) Quand la diode est passante, on peut écrire :

et d’où :

A.N. :

Pour ce régime, la courbe est le segment de pente 0,40 compris entre les points (0,60V ; 0,60 V) et (3,1 V ; 1,6 V).

La courbe complète est tracée ci-contre.

C’est une courbe continue qui présente une rupture de pente quand la diode passe du régime bloquant au régime passant.

U_GU_Gmin=0,60

Diode

RI = 0

I = 0

R E

UD

U_G

Générateur

−r I = 0 r

U_D = U_G

E_min E_max U_Gmin = U_Dmin = –3,0

U_Gmax = E′+(R+r′)Imax, U_Gmax = 3,1 V.

U_D = U_G. U_D = f U( _G)

U_G–RI U– _D = 0 U_D = E′+r′I,

U_D(V) 1,6 V 1 0,60 V

−1

−2

−3 0,60 V 3,1 V UG(V)

−1

−2

−3

U_D 1 r′

----R

 + 

  E′ r′

R----U_G

+ ⇒ U_D RE′+r′UG

R+r′

---

= =

U_D 9+10U_G ---.25

=

U_D = f U( _G)

•

Il faut systématiquement représenter sur les schémas électriques les sens d’orientation des branches (sens de l’intensité) et les sens choisis pour les flèches tension avant d’appliquer la loi des mailles et la loi des nœuds.

•

La valeur de l’intensité (ou de la tension) obtenue par l’utilisation d’un modèle de dipôle doit appartenir au domaine des intensités (ou des tensions) dans lequel ce modèle est valide.

en conclusion

(18)

retenir l’essentiel

18

Puissance en régime stationnaire

1 Puissance électrocinétique reçue par un dipôle

La puissance électrocinétique reçue par un dipôle en convention récepteur est :

• Conséquences

La puissance reçue par un dipôle en convention générateur est :

La puissance fournie par un dipôle est égale à l’opposée de la puissance reçue.

1.1. Signe de la puissance reçue et caractère d’un dipôle

La puissance reçue par un dipôle est une grandeur algébrique. Son signe indique le carac- tère générateur ou récepteur du dipôle.

Il est équivalent d’écrire :

(i) un dipôle a un caractère générateur si la puissance qu’il fournit est positive ; (ii) un dipôle a un caractère générateur si la puissance qu’il reçoit est négative.

Un dipôle a un caractère récepteur si la puissance qu’il reçoit est positive. Il transforme l’énergie qu’il reçoit en une autre forme d’énergie (thermique, mécanique, lumineuse…)

Un dipôle a un caractère générateur si la puissance qu’il reçoit est négative. Il transforme en énergie électrique une autre forme d’énergie.

Attention La relation n’est applicable qu’en convention récepteur.

⁼^UI

= UI

puissance du dipôle en watt (W) U tension aux bornes du dipôle (V)

I intensité du courant qui traverse le dipôle (A)

= –UI.

Conseil Choisir de préférence la convention généra- teur pour un dipôle de caractère généra- teur et la convention récepteur pour un dipôle de caractère récepteur.

(19)

2

– Puissance en régime stationnaire

19

1.2. Bilan de puissance dans un circuit

La puissance reçue est l’énergie reçue par unité de temps.

Comme l’énergie, la puissance se conserve.

On peut aussi écrire : la somme des puissances reçues par les dipôles d’un circuit est nulle.

2 Caractéristiques d’un conducteur ohmique

2.1. Résistance d’un conducteur ohmique homogène et de section constante

La résistance d’un conducteur ohmique homogène et de section constante (fig. 1) est :

La résistivité est une caractéristique du matériau conducteur. Elle dépend de la tempé- rature.

2.2. Effet Joule dans un conducteur ohmique

Le passage du courant dans un résistor provoque une dissipation d’énergie thermique dans ce dernier ; c’est l’effet Joule.

La puissance dissipée par effet Joule dans un conducteur ohmique est (convention récepteur) :

La somme des puissances fournies par les dipôles générateurs d’un circuit est égale à la somme des puissances reçues par les dipôles récepteurs de ce circuit.

R ρL ---S

=

R : résistance d’un conducteur ohmique en ohm (Ω) ρ : résistivité du matériau conducteur (Ω · m) L : longueur du conducteur (m)

S : section du conducteur (m²)

Section d’aire S

longueur L

Fig. 1

ρ

UI RI² U²

---R

= = =

R : résistance en ohm (Ω) I : intensité en ampère (A) U : tension aux bornes en volt (V)

(20)

savoir résoudre les exercices

20

1

Orientons le circuit et la tension U comme l’indique le schéma de l’énoncé. Le géné- rateur est en convention générateur et le résistor est en convention récepteur.

La tension U s’écrit de deux manières : et

D’où Ce qui conduit à :

On peut aussi appliquer la loi des mailles pour un sens de parcours donné (voir figure) :

avec On arrive au même résultat.

2

Il y a effet Joule dans les deux résistors R et r.

Le résistor étant en convention récepteur, il reçoit la puissance D’où :

Le résistor r étant en convention récepteur, il reçoit la puissance :

1 – Transfert de puissance

On considère un générateur de f.é.m. V et de résistance interne Ω alimentant un résistor de résistance Ω.

1

Déterminer la tension U aux bornes du résistor R et l’intensité I du courant qui le traverse.

2

Calculer les puissances dissipées par effet Joule.

3

Calculer la puissance reçue par le générateur idéal de tension.

4

Faire un bilan de puissance pour l’ensemble du circuit.

r

E

R U

E = 10 i

r = 5,0 R = 5,0

résolution méthodique

Ce choix des orientations est « naturel » car nous « devinons » qu’il conduira à des valeurs positives de l’intensité I et de la tension U. Nous pourrions aussi en choisir d’autres, les résultats seraient les mêmes.

U = RI U = E rI.– 10 5I– = 5I.

I=1,0 A et U=5,0 V

r

E

R U

RI

i

E rI U– – = 0, U = RI.

R = UI = RI². R=5,0 W

r= U_rI=rI² =5,0 W

(21)

2

21

3

Le générateur idéal de tension est en convention générateur ; il reçoit la puissance :

W.

Il fournit donc la puissance + 10 W, résultat attendu puisque c’est la source d’énergie.

4

La puissance fournie par le générateur idéal (10 W) est entièrement dissipée par effet Joule pour moitié dans le résistor r (5,0 W) et pour moitié dans le résistor R (5,0 W).

2 – Adaptation d’impédance

On considère un générateur de force électromotrice E et de résistance interne r qui alimente un radiateur électrique modélisable par un dipôle résistif de résis- tance R. L’effet du passage du courant est thermique ; c’est l’effet Joule.

1

Exprimer la puissance reçue par le radiateur en fonction de E, de r et de R.

2

Quelle est la valeur de la puissance quand R = 0 ? Quelle est la valeur de la puissance quand la résis- tance est très grande ? Que peut-on en déduire ?

3

Déterminer la valeur de R pour laquelle la puissance dissipée dans le radiateur est maximale ? Représenter l’allure de la courbe donnant la puissance en fonction de R.

Vérifier que les dipôles sont en convention récepteur avant d’appliquer la relation reçu = UI ; U et I sont orientés en sens opposés.

E = –EI = –10

Pour les calculs de puissance, il faut faire attention au dipôle considéré.

On calcule ici la puissance reçue par le générateur idéal de tension, à ne pas confondre avec la puissance reçue par le générateur qui s’écrit :

gén = –UI = –(E–R I)I = –5,0W.

La relation reçu = UI ne s’applique que si U et I sont orientés en sens opposés (convention récepteur).

en conclusion

r

E

R U

R

R₀ _R

R

(22)

savoir résoudre les exercices

22

1

On choisit les sens d’orientation définis sur le schéma ci-contre. La loi d’Ohm permet d’écrire :

et

Avec le sens de parcours choisi, la loi des mailles s’écrit : d’où

Le résistor étant en convention récepteur, la puissance qu’il reçoit est :

2

La résistance r est négligeable devant R quand R est très grand, d’où :

est toujours positive, nulle pour et R infini ; il existe donc (au moins) un maximum de la puissance.

3

4

Dans le cas où le radiateur a la résistance exprimer la puissance thermique dissipée dans le radiateur et la puissance thermique dissipée dans le générateur en fonction de E et de ? Faire un bilan de puissance.

5

Pour quelle valeur de r le rendement est-il maximal ? En déduire le type de généra- teur qu’il faut utiliser pour alimenter un radiateur électrique.

R₀,

R0 r0

R₀

résolution méthodique

r

E

R U

Ur

i

U_r = rI U = RI.

U+E U– _r = 0, I E r+R ---.

=

R = UI⇒R = RI²

_R RE²

r+R ( )² ---

=

(R=0)=0

(_R r) RE² R² ---

≈ E²

---R

= ≈0

R R = 0

Prendre l’habitude de confronter ses résultats à une analyse physique élémentaire. Une analyse trop rapide, faite à partir de l’expression conduirait à proposer que R est maximale quand R est infini ! Ce serait oublier que I dépend également de R.R = RI²

Point Maths. Une fonction de la variable est extrémale (minimale ou maximale) quand la dérivée par rapport à x est nulle.

f x( ) df

dx---

(23)

2

23 étant une fonction de R, sa valeur est extrémale (minimale

ou maximale) quand sa dérivée par rapport à R est nulle.

si

Cette condition est appelée « adaptation d’impédance ».

Il n’existe qu’un extremum ; c’est un maximum.

Vérifions qu’il en est bien ainsi pour la puissance :

4

et ; donc :

La puissance reçue par le générateur de tension s’écrit

Bilan : ou La puissance fournie par le générateur de tension est dissipée par effet Joule, pour moitié dans le générateur réel et pour l’autre moitié dans le radiateur.

5

De façon générale le rendement η est le rapport entre ce que l’on récupère (ce qui nous « intéresse ») et ce que l’on fournit (ce que l’on « dépense »). Ici, il s’agit de transfé- rer de l’énergie électrique du générateur au radiateur. Le rendement s’écrit donc :

Le rendement est une fonction décroissante de r ; il est maximal quand ! Le rendement est alors égal à 100 %.

On voit, et le résultat était attendu, que pour obtenir un bon rendement, on doit alimenter un radiateur avec un générateur de faible résistance interne.

R

dR

---dR E²(r+R)–2R r( +R) r+R ( )² ---

= dR

---dR = 0 r+R–2R = 0⇒ R₀=r

Point Maths. Une fonction est maximale quand la dérivée seconde par rapport à x est négative au point où elle est extrémale.

f x( ) d²f

dx² ---

d²R

dR² ---

 

 

R0

E² 8R³ ---

– <0.

=

R₀ R₀I² E² 4R₀ ---

= = r rI² R₀I² E²

4R₀ ---

= = = R₀ r E²

4R₀ ---

= =

E –EI E²

2R₀ ---.

–

= =

R+r+E = 0 –E = R+r.

η R₀

E

---

– 1

2--- 50 %

= = =

η R

E

---

– RI²

---EI RI

---E R

R+r ---.

= = = =

r = 0

•

En général, quand on cherche la valeur d’un paramètre pour laquelle une grandeur physique est extrémale, il faut calculer la dérivée de la grandeur par rapport au paramètre.

•

Prendre l’habitude de confronter ses résultats à une analyse physique élémentaire.

en conclusion

(24)

retenir l’essentiel

24

Méthodes d’étude d’un circuit électrique

en régime permanent

En complément de la loi des nœuds et de la loi mailles, l’étude d’un circuit électrique en régime permanent se fait à l’aide « d’outils » dont le choix facilite la résolution de problèmes.

1 Association en série

Des dipôles voisins sont en série quand ils ont une seule borne en commun. Ils sont tra- versés par le même courant.

1.1. Association de résistors en série

1.1.1.Loi d’association

Démonstration :

L’intensité du courant étant la même en tout point de la branche, rien n’est modifié si l’on permute les positions des résistors.

N résistors de résistance associés en série sont équivalents à un seul résistor de résistance égale à la somme des résistances de chacun d’eux : (1) Conseil

Pour savoir si des di- pôles sont en série, toujours se poser la question : sont-ils tous parcourus par le même courant ?

R₁, R₂, …, R_N

( )

R_éq R_éq = R₁+R₂+…+R_N Fig. 1

I R1 R2 R3

U1 U2 U3

U =U₁+U₂+U₃

R_éq=R₁+R₂+R₃ I

U

⇔ Association série de trois résistors

U = U₁+U₂+U₃ = R₁I+R₂I+R₃I = (R₁+R₂+R₃)I = R_éqI.

(25)

3

– Méthodes d’étude d’un circuit électrique en régime permanent

25 1.1.2.Diviseur de tension

La figure 3 représente un diviseur de tension : deux résistors en série sont soumis à une tension U. On cherche les tensions et aux bornes de chacun d’eux.

et

1.2. Association de générateurs en série

On considère N générateurs associés en série, caractérisés par leurs f.é.m. et résistances internes …, Ces N générateurs sont équivalents à un seul générateur de f.é.m. et de résistance interne

Remarque : les résistances s’associent comme énoncé au § 1.1.1.

Pour les associer, on les modélise en utilisant la représentation de Thévenin (fig. 5) :

• si les pôles du générateur sont placés dans le même sens que les pôles du générateur (la flèche correspondant à E_p est dans le même sens que celle de E_éq) ;

• dans le cas contraire.

Fig. 2

• R₁ et R₂ ne sont pas en série

• R₁ et R₃ ne sont pas en série

• Seuls R₂ et R₄ sont en série (le courant I₂ qui traverse R₂ est le même que celui qui traverse R₄). On peut appliquer

I₁≠I₂ ( ).

I₁≠I₃ ( ).

R_éq = R₂+R₄.

R1 R2

R3

I1 I2

E R4

I₃

U₁ U₂

Attention

• Si les flèches correspondant à U₁ ou U₂ ne sont pas dans le même sens que celle correspondant à U, il faut mettre un signe – dans leurs expressions.

• Il ne faut pas appliquer ces relations lorsque les deux ré- sistors ne sont pas en série.

Par exemple sur le schéma de la figure 2, R₁ et R₂ (ou R₁ et R₃) ne forment pas un diviseur de tension.

Seuls R₂ et R₄ forment un diviseur de tension.

Fig. 3

et U₁ R₁U

R₁+R₂ ---

= U₂ R₂U

R₁+R₂ ---

=

R₁ R₂

U1 U2

I

U

Diviseur de tension

U (R₁+R₂)I⇒I U R₁+R₂ ---

= =

U₁ R₁I⇒U₁ R₁U R₁+R₂ ---

= = U₂ R₂I⇒U₂ R₂U

R₁+R₂ ---.

= =

E₁ ; r₁

( ), (E₂ ; r₂), (E_N ; r_N).

Eéq r_éq.

E_éq = ε1E₁+ε2E₂+…+εkE_k+…+εNE_N r_éq = r₁+r₂+…+r_N





εk = + 1 (E_k ; r_k) E_éq ; r_éq

( )

ε_k = –1

Fig. 4 Association série de trois générateurs

E_éq = E₁+E₂–E₃ r_éq = r₁+r₂+r₃





E₁; r₁

E_éq

E₁ E2 E₃

I

E₂; r₂ E₃; r₃ Eéq; réq

⇔ I +

− − + + − − +

Électrocinétique. Tout le cours. Classe prépa PCSI MPSI PTSI. Bernard Gendreau. Christophe Gripon

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