1 – Filtre passif passe-bas

On considère le filtre de la figure suivante. On donne et

1

Déterminer les comportements asymptotiques du filtre. En déduire sa nature.

2

Exprimer la fonction de transfert sous la forme Exprimer la constante et la constante de temps

3

Calculer la durée la fréquence de coupure et le gain maximal

4

À l’entrée du filtre, on injecte la tension sinusoïdale

d’amplitude V et de fréquence Déterminer la tension de sortie.

C = 1,0µF, R₁ = 1,0 kΩ R₂ = 3,0 kΩ.

is=0 R1

u_e R₂ C u_s

H( )jω A₀ 1+jωτ ---.

= A₀

τ.

τ, f_c, G_max.

u_e( )t = U_emcos(2πft)

U_em = 10 f f_c

10---.

= u_s( )t

résolution méthodique

R₁,

R₂ u_s

u_e

--- R₂

R₁+R₂ ---≠0.

=

u_s = 0.

L’étude des comportements asymptotiques d’un quadripôle peut permettre d’en connaître la nature.

a)Basse fréquence b) Haute fréquence

i_s=0 R₁

ue

R₁

i_s=0

u_e

R₂ u_s=u_e R₂ u_s=0

Z R₂,

Y

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7

– Transfert d’un système linéaire – Filtres du premier ordre

113 Le courant de sortie est nul. Le résistor et le dipôle sont

traversés par le même courant ; ils sont en série. Le circuit (figure ci-contre) réalise un diviseur de tension qui permet d’exprimer facilement la fonction de transfert :

Par identification, on obtient :

La fonction de transfert est bien celle d’un filtre passe-bas, en accord avec la détermina-tion rapide de la première quesdétermina-tion.

3

4

Avec les données on a :

Travaillons en notation complexe pour déterminer la tension de sortie.

• Tension d’entrée en notation complexe :

• Tension de sortie en notation complexe à partir de la fonction de transfert :

avec

Lorsque des éléments d’un quadripôle sont en parallèle, on simplifie souvent la détermination de la fonction de transfert en utilisant l’admittance équivalente.

A₀ R₂

Il faut vérifier que l’expression de la fonction de transfert confirme la prévision des comportements asymptotiques d’un quadripôle.

τ=0,75 ms f_c 1

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savoir résoudre les exercices

114

• Tension de sortie réelle en prenant la partie réelle de son expression complexe :

rad.

Finalement :

2 – Filtre actif passe-haut. Bilan de puissance

On considère le filtre ci-contre. Le dipôle placé en sortie est un résistor de résis-tance

Données :

1

Déterminer les comportements asymptotiques du filtre. En déduire sa nature.

2

Calculer la constante de temps du circuit RC.

3

Soit x la pulsation réduite avec

Exprimer la fonction de transfert sous la forme réduite Dépend-elle de la résistance de charge ?

4

Quels sont la nature et l’ordre du filtre ? Calculer la fréquence de coupure

5

On place en entrée un générateur idéal de tension avec et de fréquence Déterminer la tension et l’intensité de sortie.

6

Calculer la puissance moyenne reçue par la charge ? Quelle est la puissance moyenne reçue à l’entrée de l’AO ? Que doit-on en conclure ?

u_s A₀U_em 1+ω²τ²

---cos(2πft–α) 0,75 10· 1+10^–2

---cos(2πft–α)

= = ≈7,5cos(2πft–α)

α

tan =0,10⇒α≈0,10

u_s( )t =7,5cos(1,3 10· ²t–0,10) (V)

•

L’étude des comportements asymptotiques d’un quadripôle peut permettre d’en connaître la nature.

•

Il faut vérifier que l’expression de la fonction de transfert confirme la prévision des comportements asymptotiques d’un quadripôle.

•

Lorsque des éléments d’un quadripôle sont en parallèle, on simplifie souvent la détermination de la fonction de transfert en utilisant l’admittance équivalente.

en conclusion

R_c.

C = 0,10 µF, R = 5,0 kΩ, R_c = 0,50 kΩ.

us

ue

C

R RC

+

−

τ

x ω

ωc

--- f

f_c

---- RCω.

= = =

H( ).jx R_c

f_c. u_e( )t = E_mcos(2πft)

E_m = 2,0 V f f_c

----2.

= u_s( )t

i_s( )t

c

+

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7

– Transfert d’un système linéaire – Filtres du premier ordre

115

1

Appliquons la méthode du cours.

• À basse fréquence, le condensateur est équivalent à un interrupteur ouvert. Il n’y a pas de courant dans le résistor R. L’analyse de la figure 1 conduit à

• À haute fréquence, le condensateur est équivalent à un interrupteur fermé. L’analyse de la figure 2 conduit à

La tension de sortie est nulle seulement à basse fréquence ; le filtre est un filtre passe-haut.

2

7

Dans la pratique, l’amplitude de l’intensité du courant de sortie est limitée à et l’amplitude de la tension de sortie est limitée à

par un système électronique interne à l’AO. Déterminer :

• la valeur maximale de l’amplitude de la tension d’entrée ;

• la valeur de la résistance de charge quand les amplitudes de la tension et de l’intensité sont maximales ;

• la valeur maximale de la puissance moyenne de sortie de l’AO.

I_smax = 20 mA U_smax = 13 V

U_{e max} Rc′

c max

résolution méthodique

u_s = 0.

i_s

u_e RC

+

−

u_s=u_– =0 R

i₊=0

u– =u₊=0 ε =0 i–=0 u₊=R i₊=0

Figure 1 : Basse fréquence

u_s = u_e.

is

u_e R_C

+

−

us=u– =ue

R

i₊=0

u_– =u₊=ue

ε =0 i_–=0 u₊=u_–

Figure 2 : Haute fréquence

τ =RC=0,50 ms

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savoir résoudre les exercices

116

3

Analysons la figure 3. Le courant d’entrée + est nul

En conséquence, le condensateur C et le résistor R sont en série. Le circuit réalise un diviseur de tension :

et

La fonction de transfert ne dépend pas de la valeur de la résistance de charge.

4

On reconnaît la fonction de transfert d’un filtre passe-haut du premier ordre.

5

Travaillons en notation complexe pour déterminer la tension de sortie.

• Tension d’entrée en notation complexe :

• Tension complexe de sortie exprimée à partir de la fonction de transfert :

avec

• Tension de sortie en prenant la partie réelle de son expression complexe :

Finalement :

is

Quand un circuit comporte un AO, mettre en place tout de suite sur le schéma du circuit les caractéristiques de l’amplificateur opérationnel : les courants d’entrée i + et i – sont nuls, la ten-sion différentielle d’entrée ε est nulle.

Dans son domaine normal d’utilisation, la tension de sortie d’un AO ne dépend pas de la charge.

f_c f

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7

– Transfert d’un système linéaire – Filtres du premier ordre

117

6

La charge reçoit la puissance :

Le courant d’entrée + de l’AO est nul ; la puissance transférée à cette entrée est nulle.

C’est donc la source d’alimentation de l’AO (jamais représentée dans les schémas) qui fournit toute l’énergie à la charge.

7

• Valeur maximale de l’amplitude de la tension d’entrée :

• Valeur de la résistance de charge :

• Valeur maximale de la puissance moyenne de sortie de l’AO :

Ne pas oublier que, contrairement aux courants d’entrée, le courant de sortie d’un AO est en géné-ral non nul.

c

U_{s max} 2

--- 

 ² R_c

---0,89 2

--- 

 ² 5 10· ²

---⇒c 0,80 mW.

= = =

U_emax

U_{e max}=U_smax 5=29 V R′c

R′c

U_{s max} I_{s max}

--- 0,65 kΩ

= =

c max

c max

1

2---R′cI_{s max}² 0,13 W

= =

Rappel. La puissance moyenne reçue par un résistor de résistance R traversé par un courant sinusoïdal d’amplitude et de valeur efficace s’écrit :

Le montage de l’AO est appelé « montage en suiveur » car la tension de sortie est égale à la ten-sion d’entrée +. La puissance reçue par la charge est entièrement fournie par la source d’alimen-tation de l’AO.

Les puissances mises en jeu par un AO sont toujours faibles. Malgré son nom, « amplificateur », il ne peut pas servir d’amplificateur de puissance d’une chaîne « HI-FI » par exemple, qui mettent en jeu des puissances de l’ordre de 10 watts.

I_max I_e RI_e² 1

2--RI_max² .

= =

•

Quand un circuit comporte un AO, il faut mettre en place tout de suite sur le schéma du circuit les caractéristiques de l’amplificateur opérationnel : les courants d’entrée i+ et i– sont nuls, la tension différentielle d’entrée est nulle.

•

Contrairement aux courants d’entrée, le courant de sortie d’un AO est en général non nul.

•

Dans son domaine normal d’utilisation, la tension de sortie d’un AO ne dépend pas de la charge.

ε

en conclusion

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savoir résoudre les exercices

118

1

Appliquons la méthode du cours.

• À basse fréquence, le condensateur est équivalent à un interrupteur ouvert (figure a) ; il n’y a pas de courant dans les résistors. Appliquons la loi des mailles (sens trigonométrique) :

d’où soit

• À haute fréquence, le condensateur est équivalent à un interrupteur fermé donc (figure b). Appliquons la loi des mailles (sens trigonométrique) :

d’où soit

On peut déduire de ce comportement que ce quadripôle n’est ni un filtre passe-bas, ni un filtre passe-haut.

2

Dans chacune des branches, le condensateur et le résistor sont en série. Chacun des circuits RC réalise un diviseur de tension, ce qui permet d’écrire :

Dans le document Électrocinétique. Tout le cours. Classe prépa PCSI MPSI PTSI. Bernard Gendreau. Christophe Gripon (Page 112-118)