On considère le circuit suivant.
Données : ; ;
L’armature supérieure porte la charge À la date on ouvre l’interrupteur K.
1
Quelle est la tension aux bornes du conden-sateur avant la fermeture de l’interrupteur ?2
Quelles sont les valeurs et de la tension et des intensités après fermeture de l’interrupteur ?3
Établir l’équation différentielle de la tension aux bornes du condensateur.4
Mettre l’équation différentielle sous la forme Calculer la pulsation propre le coefficient d’amortissement et le facteur de qualité Q du circuit. En déduire la nature du régime.5
Mettre l’équation différentielle sous la forme canonique en posant et et résoudre l’équation différentielle. En déduire les expressions et de la tension et de l’intensité.6
Tracer les courbes correspondantes.C = 1,0 µF L = 0,10 H R = 1,0 kΩ. Q0 = 20 µC.
iR R
i iL
L C u
K
t = 0,
U0
u0+, i0+, iL0+ iR0+
d2u dt2
--- 2σω0
du ---dt ω0
2u
+ + = 0.
ω0, σ
d2y dx2 --- 2σdy
dx--- y
+ + = 0
x = ω0t y u U0
---= u t( ) i t( )
résolution méthodique
Q0 = CU0⇒ U0 = 20 V
iL0+ = iL0– = 0
u0+ = u0– = U0 = 20 V( ) u = RiR
iR0+
u0+
---R U0
---R 20 mA( )
= = =
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savoir résoudre les exercices
58
La loi des nœuds permet d’écrire :
3
Écrivons les différentes relations entre les grandeurs qui vont nous servir :(loi des nœuds), et (loi d’Ohm).
Il vient :
Ce qui conduit à :
4
Divisons l’équation par LC :On peut alors identifier les termes recherchés :
et et
Remarque : Un circuit RLC série devient idéal quand ; il se réduit alors à un circuit .
Pour réduire à un circuit LC un circuit RLC parallèle il faut que On comprend alors que les expressions du facteur de qualité de chacun des circuits soient inverses l’une de l’autre.
Le régime est pseudo-périodique car l’amortissement est inférieur à 1 (facteur de qualité supérieur à 0,5).
i0+ = iR0++iL0+ = iR0+ = 20 mA( )
Il faut mettre un signe moins car le condensateur est en convention générateur.
u LdiL
Les expressions de et de Q ne sont pas celles du circuit RLC série car les trois composants sont en
parallèle. En série, alors que,
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4
– Circuits RC, RL et RLC série soumis à un échelon de tension59
5
Voir § 3.2 de « Retenir l’essentiel » pour établir l’équation différentielle réduite.Appliquons la méthode donnée dans « Retenir l’essentiel » (point méthode 2) pour résoudre l’équation différentielle.
a.Solution générale.
• Équation caractéristique : Discriminant réduit :
• Solutions : et avec et
Les solutions sont complexes, le régime est pseudopériodique.
• Solution de l’équation différentielle :
avec A et B constantes réelles.
b.Détermination des constantes en écrivant les conditions initiales imposées au circuit, à savoir :
• Continuité de la tension aux bornes du condensateur :
• Continuité de l’intensité du courant qui traverse la bobine :
Il faut chercher D’après la deuxième question, la condition implique
Par ailleurs et ;
donc D’où :
c. Solution de l’équation différentielle
Une équation différentielle réduite (sous forme canonique) ne contient que des termes sans dimensions. Cela simplifie sa résolution.
r2+2σr+1 = 0.
C’est bien en écrivant la continuité de l’intensité du courant qui traverse la bobine que l’on détermine la constante B. Mais ici, comme parfois, la détermination de la relation entre les constantes est indirecte.
y e–σx cos( –∆x) σ
La résolution d’une équation différentielle du second ordre sans second membre impose l’intro-duction de deux constantes :
Il faut écrire la solution complète de l’équation différentielle avant de déterminer les constantes.
Les constantes sont déterminées en écrivant les continuités : – de la tension aux bornes des condensateurs,
– et de l’intensité du courant qui traverse les bobines.
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savoir résoudre les exercices
60
A.N. :
Sachant que et que il vient :
L’expression de l’intensité se déduit de la relation
On vérifie qu’à la date l’intensité est égale à 20 mA.
6
Les courbes sont tracées ci-dessous.y = e–0,158x[cos(0,987x)–0,16sin(0,987x)].
Il faut maintenant revenir à la fonction u t( ) en utilisant les relations x = ω0t et u = U0y.
ω0 = 3,1 10· 3 rad s· –1 U0 = 20 V,
u t( ) = 20e–5,0·102t[cos(3,1 10· 3t)–0,16sin(3,1 10· 3t)] V( ) i –Cdu
---dt.
=
i t( ) = e–5,0·102t[20cos(3,1 10· 3t)+60sin(3,1 10· 3t)] mA( ) t = 0
20
u V( ) i A( )
t s( ) t s( )
15 10 5 0
−5
−10
0,002 0,006 0,01 0,002 0,006 0,01
0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05
−0,01
−0,02
−0,03
0,004 0,008
0,004 0,008
•
Une équation différentielle réduite (sous forme canonique) ne contient que des termes sans dimension. Cela simplifie sa résolution.•
La résolution d’une équation différentielle du second ordre sans second membre impose l’introduction de deux constantes.Il faut écrire la solution complète de l’équation différentielle avant de déterminer les constantes.
Les constantes sont déterminées en écrivant les continuités : – de la tension aux bornes des condensateurs,
– et de l’intensité du courant qui traverse les bobines.
•
Le facteur de qualité Q d’un circuit RLC parallèle s’écrit Q R Lω0---.
=
en conclusion
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4
– Circuits RC, RL et RLC série soumis à un échelon de tension61
1
La pulsation propre du circuit LC est :La résistance du circuit est nulle , donc :
2
Quand le circuit est fermé, la loi des mailles s’écrit : avecIl vient D’où :
3 – Circuit LC
On considère le circuit ci-dessous.
Données : et
Le condensateur est chargé ; la tension à ses bornes est À la date on ferme l’interrupteur K.
1
Calculer la pulsation propre est du circuit. Quelle est la valeur du coefficient d’amortissement du circuit ? Quelle est la valeur du facteur de qualité Q ?2
Montrer que l’équation différentielle de la tension aux bornes du condensateur s’écrit :3
Résoudre l’équation différentielle. En déduire les expressions et de la tension et de l’intensité.4
Calculer l’énergie totale du circuit. Conclure.C = 1,0 µF L = 10 mH.
U0 = 20 V.
u C L
i K
t = 0,
ω0
σ
d2u dt2 --- ω0
2u
+ = 0
u t( ) i t( )
résolution méthodique
ω0 1 LC
--- 1,0 10· 4 rad s· –1
= =
σ = 0 et Q = ∞
On peut dire que la « qualité » du circuit LC est infinie. Le circuit LC est un circuit idéal, car dans la réalité la résistance d’une bobine n’est jamais nulle.
Ldi
dt---–u = 0, i –Cdu
---dt.
=
Il faut mettre un signe moins car le condensateur est en convention générateur.
LCd2u dt2
---+u = 0.
d2u dt2 --- ω0
2u
+ = 0
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savoir résoudre les exercices
62
3
Appliquons la méthode donnée dans « Retenir l’essentiel » (point méthode 2) pour résoudre l’équation différentielle.a.Solution générale de l’équation différentielle.
• Équation caractéristique :
• Posons avec Les solutions sont complexes : et
• Solution de l’équation différentielle :
avec A et B constantes réelles.
b.Détermination des constantes en écrivant les conditions initiales imposées au circuit, à savoir :
• Continuité de la tension bornes du condensateur :
• Continuité de l’intensité du courant qui traverse la bobine :
c. Solution de l’équation différentielle : ; A.N. :
L’expression de l’intensité se déduit de la relation En effet :
A.N. :
4
L’énergie du circuit est la somme des énergies des deux composants :⇒
L’énergie totale est constante. Elle est égale à l’énergie initialement stockée dans le conden-sateur.
r2 ω0
+ 2 0⇒r2 ω0
2. –
= =
r2 j2ω0
= 2 j2 = –1.
r1 = jω0 r2 = –jω0. u = Acos(ω0t)+Bsin(ω0t),
ut=0+ = ut=0– = U0⇒A = U0. i0+ = i0– = 0.
i0+ C du ---dt
0+
– 0 du
---dt
0
⇒ ω0B 0⇒B 0.
= = = = =
u = U0cos(ω0t) u t( ) = 20cos(1,0 10· 4t) V( )
i –Cdu ---dt.
= i –Cdu
---dt CU0ω0sin(ω0t)
= =
i t( ) = 0,20sin(1,0 10· 4t) A( ) Le régime d’un circuit LC est sinusoïdal.
w wC+wL 1 2---Cu2 1
2---Li2
+ 1
2---C U[ 0cos(ω0t)]2 1
2---L CU[ 0ω0sin(ω0t)]2 +
= = =
w 1
2---CU02([cos(ω0t)]2+[sin(ω0t)]2)
=
w 1
2---CU02 0,20 mJ
= =
Un circuit LC est un oscillateur électrique ; la tension et l’intensité sont des fonctions sinusoïdales du temps.
L’énergie d’un circuit LC est constante ; elle est alternativement stockée par le con-densateur et par la bobine. C’est un circuit idéal, sans réalité physique.
en conclusion
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5
– Circuits linéaires en régime sinusoïdal forcéretenir l’essentiel
63