1
La courbe ci-contre est celle du gain exprimé en décibels, d’un filtre de pulsation de résonance en fonction de la pulsation réduiteQuelle est la nature du filtre ?
2
Tracer les asymptotes. Quel est l’ordre du filtre ?3
La fonction de transfert réduite peut se mettre sous la formeDéterminer graphiquement la constante et le facteur de qualité Q. On donne
4
On injecte en entrée une tension triangulaire positive de fréquence et d’amplitude 1,0 V d’expression :(en volts).
Déterminer la tension de sortie en ne gardant que les termes pertinents.
5
Par un dispositif approprié, on triple la pulsation de résonance du filtre, toutes choses égales par ailleurs. Déterminer la tension de sortie en fonction de la pulsation réduite.•
Faire apparaître le plus tôt possible la pulsation réduite pour simplifier le calcul de la fonction de transfert.•
L’équation différentielle d’un système du deuxième ordre se déduit de la fonction de transfert en remplaçant chaque terme par l’opérateur et chaque terme par l’opérateurjω d
dt--- ( )jω 2
d2 dt2 ---.
en conclusion
G(x)
2 log (x) 0 1
– 1 – 2
– 10 (dB)
– 20
– 30
– 50 – 40
G x( ), ωr,
x ω
ωr
---.
=
H( )jx A0 1 1 jQ x 1
---x
–
+
---.
=
A0, log 2( ) = 0,30.
ωr
ue( )t 0,5 4 π2
--- cosωrt 1
9---cos3ωrt 1
25---cos5ωrt …
+ + +
+
=
us( )t
u′s( )t
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savoir résoudre les exercices
146
1
On reconnaît sur la figure ci-contre la courbe du gain d’un filtre passe-bande.2
On constate que les asymptotes se coupent au point (0 ; – 14 dB).On lit sur la courbe que l’ordonnée du point d’abs-cisse – 1 est égale à – 34 dB ; la pente de l’asymptote basse fréquence est donc égale à 20 dB par décade.
On lit aussi sur la courbe que l’ordonnée du point d’abscisse 1 est égale à –34 dB ; la pente de l’asymp-tote haute fréquence est donc égale à – 20 dB par décade.
Le filtre est passe-bande du second ordre.
3
On sait (voir § 2.4. du cours) que les asymptotes se coupent au point On en déduit
4
Travaillons en notation complexe. La tension d’entrée s’écrit sous la forme d’une somme de tensions :D’après le théorème de superposition, la tension de sortie s’écrit sous la forme d’une somme de tensions :
résolution méthodique
Lorsque la tension d’entrée d’un quadripôle est une somme de tensions sinusoïdales, il faut cal-culer indépendamment la tension de sortie de chacune des tensions composantes. La tension de sortie est égale à la somme des tensions de sortie.
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8
– Filtres du deuxième ordre147 Exprimons chacune des composantes de la tension de sortie :
• ;
On voit les amplitudes des tensions composantes de pulsations réduites supérieures à 1 sont inférieures à 1 % de l’amplitude de la tension de pulsation réduite x = 1 ; on peut négliger ces termes. La tension de sortie se réduit à :
5
Exprimons chacune des composantes de la tension de sortie :• ;
?Plus Grand Que? 1
α3
Le filtre permet de sélectionner en sortie la composante sinusoïdale de la tension d’entrée dont la pulsation est égale sa pulsation de résonance.
La figure ci-contre est une simulation obtenue avec un logiciel de calcul formel (Maple). T est la période.
ue(t)
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savoir résoudre les exercices
148
Comparons les amplitudes des tensions de sortie :
;
Les amplitudes des composantes de rangs différents de 1 et 3 sont négligeables. La ten-sion de sortie peut s’écrire :
La tension de sortie n’est pas sinusoïdale.
U1 U3
--- 27
40--- 0,67
= = 18
525--- 0,034?Moins Que
= =
u′s( )t 4 π2 --- 3
40--- ωrt π ---2
+
cos 1
9---cos3ωrt
+ V( )
=
La figure ci-contre est une simulation obtenue avec un logiciel de calcul formel (Maple).
La tension de sortie n’est pas sinusoïdale. ue(t)
u(V) 1 0,8 0,6 0,4 0,2
1 0,8 0,6 0,4 0,2 0
t T ----us′(t)
Lorsque la tension d’entrée d’un quadripôle est une somme de tensions sinusoïdales, il faut calculer indépendamment la tension de sortie de chacune des tensions compo-santes. La tension de sortie est égale à la somme de tensions de sortie.
en conclusion
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Index
149
Index
A
Adaptation d’impédance96 Admittance67
complexe67
Amortissement126
,
129,
132 Amplificateur opérationnel101 Amplitude complexe66 Analyse de Fourier65 ARQP53ARQS53 Association
en série72 parallèle73
Association de générateurs en parallèle28 en série25 Association de résistors
en parallèle27 en série24
B
Bande passante à –3 dB102 Bobine44
Branche4
C
Capacité C d’un condensateur39 Caractéristique d’un dipôle7 Circuit
LC61 RC39 RL44 RLC47 Circuit électrique4
Coefficient d’amortissement48 Comportements asymptotiques d’un filtre108
Condensateur39 Conductance7
,
67 Conducteur ohmique7 Constante de temps41,
44 Courant électromoteur8D
Échelon de tension40 Énergie
électrique40 magnétique44
F
Facteur
de puissance90 de qualité126
,
129,
132 Facteur de qualité48 Facteur de qualité Q76,
77 Filtrecoupe-bande137 passe-bande140
,
145passe-bas du deuxième ordre 126
passe-bas du premier ordre 102
passe-haut du deuxième ordre 132
passe-haut du premier ordre 105
Fonction de transfert100 Force électromotrice8 Fréquence
caractéristique132 de résonance129 propre129
Fréquence de coupure102
,
105G
Générateur6
,
18de signaux électriques (GBF ) 64
réel71 Générateur idéal
de courant71 de tension71
I
Impédance67
Impédances complexes66 Inductance44
propre44 Intégrateur110
Intégrateur et pseudo-intégrateur 120
Intensité5
L
La loi d’ohm en représentation complexe66
Loi
d’Ohm7 de Pouillet73 des mailles6
,
69 des nœuds5,
69des nœuds en termes de poten-tiel70
Loi de Pouillet26 Loi des nœuds30
en termes de potentiels30
,
31 Lois de Kirchhoff32M
Maille4 Masse64
,
65 Masse d’un circuit30 Multimètre numérique64© Nathan,classe prépa
150
N
Nœud4
O
Oscilloscope65
P
Passe-tout déphaseur du premier ordre118
Période propre48 Point de fonctionnement9 Potentiel30
Puissance18 instantanée89 moyenne89
,
90 Pulsationcaractéristique132 de résonance129 propre129
Pulsation de coupure102
,
105 Pulsation propre48Q
Quadripôle99
R
Réactance67 Récepteur6
,
18Réduction canonique41
,
48 Réduction du circuit31Relèvement du facteur de puissance 95
Représentations de Thévenin et de Norton29
Résistance7
,
67 critique51 Résistivité19 Résistor7 Résonance128en intensité75 en tension78
Résonance en puissance93
S
Signaux sinusoïdaux63 Stabilité109
Susceptance67
T
Tension6
alternative sinusoïdale52 en créneaux52
Théorème de Millman30
,
70V
Valeur efficace64 moyenne63 Valeur efficace90
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