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On étudie le circuit RC série ci-contre, soumis à un générateur idéal de tension, de f.é.m. :Le régime forcé est supposé établi . Établir l’expres-sion de l’intensité du courant circulant dans ce cir-cuit.
Données : ; ;
;
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Même question pour un circuit RL. On prendra les mêmes valeurs numériques avec3
Même question pour un circuit RLC série : calculer l’expression de avec les valeurs numériques données au 1. et au 2. Comment aurait-il été possible d’obtenir les résultats des questions 1. et 2. à partir de celui obtenu pour ce cir-cuit RLC série ?R
C e(t)
i(t)
e t( ) = Emcos(ωt).
Em = 10 V ω = 63.102rad s· –1 R = 1,0 kΩ C = 0,16 µF.
L = 91 mH.
i t( )
résolution méthodique
i t( ) = Imcos(ωt+ϕ).
e t( ) i t( )
e t( ) = Emexp(jωt) i t( ) = Imexp(jωt), Em = Em Im = Imexp( ).jϕ
Pour étudier un circuit en régime sinusoïdal forcé, il faut commencer par transformer les grandeurs réelles en grandeurs complexes associées.
Connaissant on obtient :
avec x t( ) = Xmcos(ωt+ϕ),
x t( ) = Xmexp(jωt) Xm = Xmexp( ).jϕ
Im Em
R 1
jCω ---+ ---.
=
Seules les grandeurs réelles ont un sens physique, les résultats sont donc fréquemment demandés sous forme réelle. Or les calculs sont menés avec les grandeurs complexes associées. Il faut donc, à la fin du calcul, faire le passage inverse à celui du départ : « projeter » les grandeurs complexes en gran-deurs réelles. C’est une difficulté importante pour les élèves, surtout pour ce qui concerne la phase.
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savoir résoudre les exercices
L’amplitude de la tension est bien homogène à une tension et est sans dimension.
A.N. :
ou Pour connaître la bonne valeur de évaluons :
; Transformation d’une grandeur complexe en grandeur réelle
Connaissant avec
• L’amplitude de de est le module de l’amplitude complexe
Vérifier l’homogénéité des expressions obtenues.
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– Circuits linéaires en régime sinusoïdal forcéL’amplitude de l’intensité est bien homogène à une intensité et est sans dimension.
A.N. :
ou Pour connaître la bonne valeur de évaluons :
donc
On vérifie l’homogénéité des expressions obtenues.
Lω
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savoir résoudre les exercices
Pour connaître la bonne valeur de évaluons :
donc
• Pour obtenir les résultats cherchés au 1. pour un circuit RC, il suffit de faire tendre L vers zéro dans ces expressions. En effet, l’impédance de la bobine qui vaut tend vers zéro si L tend vers zéro. Une bobine d’inductance nulle est donc équivalente à un interrupteur fermé. Un cir-cuit RLC série pour lequel L est nul est donc équivalent à un circir-cuit RC.
• Pour obtenir les résultats cherchés au 2. pour un circuit RL, il suffit de faire tendreC vers l’infini dans ces expressions. En effet, l’impédance du condensateur qui vaut tend vers zéro si C tend vers l’infini. Un condensateur de capacité infinie est donc équivalent à un interrupteur fermé. Un circuit RLC pour lequel C est infini est donc équivalent à un circuit RL.
Lω
Cω1
---Attention : Un condensateur de capacité nulle n’est pas équivalent à un interrupteur fermé, c’est une erreur assez fréquente.
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– Circuits linéaires en régime sinusoïdal forcé85
2 – Circuit RLC parallèle
On considère un circuit composé de trois dipôles linéaires regroupés en parallèle : un résistor de résistance R, une bobine idéale d’inductance L et un condensateur idéal de capacité C. On suppose que le régime permanent est atteint.
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Le circuit est alimenté par un générateur de courant idéal de c.é.m.a.Établir l’expression de la tension aux bornes du résistor, de la bobine et enfin du générateur.
b.Donner l’allure de la courbe représentant la variation de l’amplitude de la tension aux bornes du résistor en fonction de
Pour quelle valeur de est-elle maximale ?
c. Soit la valeur maximale de On note et les deux pulsations pour lesquelles l’amplitude de la tension aux bornes du résistor est égale à
Exprimer le facteur de qualité du circuit en fonction de R,L et Cette expression correspond-t-elle à celle d’un circuit RLC série ? Commentaires.
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Le circuit est alimenté par un générateur de tension idéal de f.é.m.Établir l’expression de l’amplitude de l’intensité traversant le générateur et donner l’allure de la courbe
• Pour étudier un circuit en régime sinusoïdal forcé, il faut commencer par transfor-mer les grandeurs réelles en grandeurs complexes.
Transformation d’une grandeur réelle en grandeur complexe associée
Connaissant on obtient
avec
À la fin d’un calcul, on a souvent besoin d’un résultat « physique » et il faut faire la transformation inverse.
Transformation d’une grandeur complexe en grandeur réelle
– l’amplitude de de est le module de l’amplitude complexe ; – la phase de est l’argument de
• Vérifier l’homogénéité des expressions obtenues en repérant les grandeurs homogè-nes à des impédances et en utilisant le fait que RC et sont homogèhomogè-nes à des temps (constantes de temps d’un circuit RC et d’un circuit RL).
x t( )=Xmcos(ωt+ϕ), x t( )= Xmexp(jωt) Xm=Xmexp( ).jϕ
Xm x t( ) Xm
ϕ x t( ) Xm.
L R
---en conclusion
i0 = I0mcos( ).ωt
Um ω ω.
Umax Um. ω1 ω2(ω1ω2) Umax
---.2
Q ω0
ω2–ω1
---= ω0.
e=Emcos( ).ωt Im
Im( ).ω
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a. Le générateur, le résistor, le condensateur et la bobine étant en parallèle, la tension est la même aux bornes de chacun d’eux.Soit et
• avec ;
• ;
•
Vérification de l’homogénéité
est le rapport entre l’impédance d’une bobine et celle d’un condensateur,
c’est donc une grandeur sans dimension ;
;
b. et
qui est une grandeur positive, passe donc par un maximum. Cherchons pour quelle valeur de
L’expression de obtenue au 1. a. com-porte le facteur à la fois au numérateur et au dénominateur, ce qui rend l’étude de la recherche du maximum plus difficile que dans le cas étudié en cours pour le circuit RLC série. On peut facilement simplifier l’étude en divisant le numérateur et le déno-minateur par On obtient :
Cette fraction est maximale si le dénominateur est minimal, donc si : soit
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– Circuits linéaires en régime sinusoïdal forcé87 c.
Les solutions positives (seules pertinentes) de ces deux équations sont :
et
Vérification de l’homogénéité des relations de type :
• le rapport est bien sans dimension (rapport entre deux impédances au carré).
Remarque : On peut aussi vérifier l’homogénéité de cette dernière relation en remarquant que est homogène à un temps, comme En effet, une pulsation est homogène à l’inverse d’un temps
•
Remarque : On peut aussi vérifier l’homogénéité de cette dernière relation directement en remarquant que RC est homogène à un temps.
On remarque que ce facteur de qualité est l’inverse de celui d’un circuit RLC série. En fait, dans les deux cas, un facteur de qualité infini correspond à un circuit non amorti, constitué uniquement d’une bobine idéale et d’un condensateur. En effet,
• Quand on obtient une fonction comportant à la fois au numérateur et au dénominateur, on essaye, lorsque c’est possible, de simplifier afin que seul le dénominateur dépende de Il est alors plus simple de chercher la valeur de pour laquelle cette fonction est extrémale.
• Quand le dénominateur se présente sous la forme avec A constant, cette fonction est minimale quand est minimale. Assez souvent, pour obtenir le minimum, il suffit de cher-cher la valeur de pour laquelle est nul. Si ce n’est pas possible, il faut dériver la fonction.
ω ω.
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• pour un circuit série, cela correspond à R très petit, et donc ;
• pour un circuit parallèle, cela correspond à R très grand, et donc
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Soit l’intensité du courant circulant dans le générateur.Avec les notations du 1. b. et en notant et on a :
Attention : Le facteur de qualité pour un circuit comportant trois éléments R, L et C n’est pas toujours égal à Lω0 (voir chapitre 4 exercice 4 de « Savoir résoudre les exercices »,)
---R
•Quand on obtient une fonction comportant à la fois au numérateur et au déno-minateur, on essaye, lorsque c’est possible, de simplifier afin que seul le dénomina-teur dépende de Il est plus simple alors de chercher la valeur de pour laquelle cette fonction est extremum.
•Quand le dénominateur se présente sous la forme avec A constant, cette fonction est minimale quand est minimale. Assez souvent, pour obtenir le mini-mum, il suffit de chercher la valeur de pour laquelle est nul. Si ce n’est pas possible, il faut dériver la fonction.
• Le facteur de qualité pour un circuit comportant trois éléments R, L et C n’est pas toujours égal à
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– Puissance en régime sinusoïdal forcéretenir l’essentiel
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