Calcul matriciel
Jérôme Feret
DIENS (INRIA,ÉNS,CNRS) 14-18 mars 2016
1 Matrices
1.1 Algèbre des matrices
Définition 1.1 (matrice). Soient m, n∈N deux entiers positifs. On appelle une matrice d’éléments deK àm lignes et à n colonnes une famille d’éléments (ai,j)1≤i≤m,1≤j≤n deK indexée par les couple(i, j) oùi varie entre 1et m, etj varie entre 1 etn.
On dit aussi que (ai,j)1≤i≤m,1≤j≤n est une matrice de taille m×n.
On noteMm,n(K)l’ensemble des matrices de tailles m×n d’élément deK. Enfin, lorsquem=n, on dit que les matrices deMm,n(K)sont carrés de taillem.
Définition 1.2 (ligne). Soientm, n∈Ndeux entiers positifs SoitA ∆= (ai,j)1≤i≤m,1≤j≤n ∈ Mm,n(K) une matrice de taillem×n. Soiti0un entier entre1etm. On appellei0-ième ligne deA, la famille denéléments deK(ai0,j)1≤j≤n.
Définition 1.3 (colonne). Soient m, n∈ N deux entiers positifs Soit A = (a∆ i,j)1≤i≤m,1≤j≤n ∈ Mm,n(K) une matrice de taillem×n. Soitj0 un entier entre1 etn. On appellej0-ième colonne de A, la famille de méléments de K(ai,j0)1≤i≤m.
Définition 1.4 (somme). Soient m, n∈ N deux entiers positifs. SoientA ∈ Mm,n(K) et B ∈ Mm,n(K).
On noteA= (a∆ i,j)1≤i≤m,1≤j≤n etB= (b∆ i,j)1≤i≤m,1≤j≤n. La matrice (ai,j+bi,j)1≤i≤m,1≤j≤n est appelée la somme des deux matricesA etB. On la noteA+B.
Définition 1.5(produit externe). Soientm, n∈Ndeux entiers positifs SoientA∈ Mm,n(K)etλ∈K. On note A= (a∆ i,j)1≤i≤m,1≤j≤n. La matrice (λ·ai,j)1≤i≤m,1≤j≤n est appelée le produit de la matrice A par le scalaire λ. On la note λ·A.
Définition 1.6. Soient m, n ∈N deux entiers positifs. Soit k un entier entre 1 et m et soit k0 un entier entre1etn. On noteEk,k0
= (δ∆ ki ·δkj0)la matrice de taillem×ndont tous les éléments sont nuls, sauf dans la case à la ligne ket à la colonnek0 dans laquelle la valeur est1.
Propriété 1.1. Soientm, n∈Ndeux entiers positifs(Mm,n(K),+,·)est unK-espace vectoriel de dimension m·n. De plus, la famille des matrices élémentaire(Ei,jm,n)1≤i≤m,1≤j≤n est une base de(Mm,n(K),+,·).
Définition 1.7 (produit interne). Soient m, n, o ∈ N trois entiers positifs. Soient A ∈ Mm,n(K) et B ∈ Mn,o(K). On note A = (a∆ i,j)1≤i≤m,1≤j≤n et B = (b∆ i,j)1≤i≤n,1≤k≤o. La matrice (ci,j)∈ Mm,o(K) définie par :
ci,j=∆
n
X
k=1
ai,k·bk,j,
pour1≤i≤met1≤j≤o, est appelée le produit entreAet B, et est notéeA×B.
Propriété 1.2. Soient m, n, o, p∈ Nquatre entiers. Soient A ∈ Mm,n(K), B ∈ Mn,o(K), C ∈ Mo,p(K) trois matrices à valeur dansK.
Alors :
A×(B×C) = (A×B)×C.
Propriété 1.3. Soientm, n, o∈Ntrois entiers naturels. Soit A∈ Mm,n(K)une matrice de taille m×nà valeur dans K. La fonction φ : Mn,o(K)→ Mm,o(K)qui à toute matrice B ∈ Mn,o(K)de taille n×o à valeur dansKassocie la matriceA×B est une application linéaire entre(Mn,o(K),+,·)et(Mm,o(K),+,·).
Définition 1.8(transposée). Soientm, n∈Ndeux entiers positifs SoitA∈ Mm,n(K)une matrice de taille m×n d’éléments de K. On note A= (a∆ i,j)1≤i≤m,1≤j≤n. La matrice (aj,i)1≤j≤n,1≤i≤m est une matrice de taille n×m d’éléments deK. Cette matrice est appelée la transposée deA et est notéTA.
Propriété 1.4. Soient m, n, o ∈ N trois entiers positifs. Soient A ∈ Mm,n(K) et B ∈ Mn,o(K) deux matrices de taillesm×n etn×o, et d’éléments de K. Alors, on a :
T(M×N) =TN×TM.
Propriété 1.5. Soientm, n∈Ndeux entiers positifs. Soit A∈ Mm,n(K)une matrice à valeur dans Ket de taille m×n. Alors, on a :
T(TA) =A.
Propriété 1.6. Soient m, n, o∈N trois entiers naturels. Soit A∈ Mn,o(K)une matrice de taille n×o à valeur dans K. La fonction φ : Mm,n(K)→ Mm,o(K)qui à toute matriceB∈ Mm,n(K)de taillem×oà valeur dansKassocie la matriceB×Aest une application linéaire entre(Mm,n(K),+,·)et(Mm,o(K),+,·).
1.2 Transformations élémentaires
1.2.1 Matrice identité
Définition 1.9(identité). Soientm, n∈Ndeux entiers positifs. On noteIm,n∈ Mm,n(K)la matrice carrée (δij)1≤i≤m,1≤j≤n.
Propriété 1.7. Soientm, n∈Ndeux entiers positifs et soitA∈ Mm,n(K). On a :A=Im,m×A.
Propriété 1.8. Soientm, n∈Ndeux entiers positifs et soitA∈ Mm,n(K). On a :A=A×In,n. Propriété 1.9. Soientm, n∈Ndeux entiers positifs tels que m≤n, alors Im,n×In,m=Im,m. 1.2.2 Permutation de lignes et de colonnes
Définition 1.10 (matrice de permutation). Soitn∈N. Soient k et k0 deux entiers entre1 etn. On note Swapn(k, k0)la matrice In,n−En,nk,k−En,nk0,k0+En,nk,k0+En,nk0,k.
Propriété 1.10 (permutation de lignes). Soientm, n∈Ndeux entiers positifs et soient k, k0 deux entiers compris entre 1 et m. Soit A ∈ Mm,n(K) une matrice de taille m×n d’éléments de K. Alors la matrice Swapm(k, k0)×Aest la matrice dont lal-ième ligne est lal-ième ligne deApourl6∈ {k, k0}, lak-ième ligne est lak0-ième ligne deA, et lak0-ième ligne est lak-ième ligne deA.
Propriété 1.11(permutation de colonnes). Soientm, n∈Ndeux entiers positifs et soientk, k0 deux entiers compris entre 1 et n. Soit A ∈ Mm,n(K) une matrice de taille m×n d’éléments de K. Alors la matrice A×Swapn(k, k0)est la matrice dont lal-ième colonne est lal-ième colonne deApourl6∈ {k, k0}, lak-ième colonne est lak0-ième colonne deA, et lak-ième colonne est la k0-ième colonne de A.
Propriété 1.12. Soitn∈Nun entier. Soientk, k0 deux entiers compris entre1 etn. On a : (Swapn(k, k0))2=In,n
1.2.3 Multiplication d’une ligne ou d’une colonne par un scalaire
Définition 1.11 (matrice de dilatation). Soit n ∈ N. Soient k un entier entre 1 et n et λ ∈ K\ {0} un scalaire non nul. On noteDilatn(k, λ)la matrice In,n+ (λ−1)·En,nk,k.
Propriété 1.13 (dilatation de lignes). Soient m, n∈Ndeux entiers positifs et soient k un entier compris entre1 etmetλ∈K\ {0} un scalaire non nul. SoitA∈ Mm,n(K)une matrice de taillem×n d’éléments deK. Alors la matrice Dilatm(k, λ)×A est la matrice dont la l-ième ligne est lal-ième ligne de A pour l6=k, la k-ième ligne est lak-ième ligne deA multipliée par le scalaire λ.
Propriété 1.14 (dilatation de colonnes). Soient m, n ∈ N deux entiers positifs et soit k, k0 deux entiers compris entre 1 et n et λ∈ K\ {0} un scalaire non nul. Soit A ∈ Mm,n(K) une matrice de taille m×n d’éléments deK. Alors la matriceA×Dilatn(k, λ)est la matrice dont lal-ième colonne est lal-ième colonne deApour l6=k, lak-ième colonne est la k-ième colonne de Amultipliée par le scalaire λ.
Propriété 1.15. Soitn∈Nun entier, soit kun entier entre 1 etn, et soit λ, µ∈K∈ \{0} deux scalaires non nuls. AlorsDilatn(k, λ)×Dilatn(k, µ) =Dilatn(k, λ·µ).
1.2.4 Ajout de lignes et de colonnes
Définition 1.12(matrice de combinaison). Soitn∈N. Soientketk0 deux entiers distincts entre1etnet soit λ∈Kun scalaire. On noteAddn(k, k0, λ) la matriceIn,n+λ·En,nk,k0.
Propriété 1.16(ajout d’une ligne). Soientm, n∈Ndeux entiers positifs et soientk, k0 deux entier distincts compris entre1 etm, et soitλ∈K un scalaire. SoitA∈ Mm,n(K)une matrice de taille m×n d’éléments deK. Alors la matriceAddm(k, k0, λ)×A est la matrice dont la l-ième ligne est lal-ième ligne deA pour l6=k, la k-ième ligne est lak-ième ligne deA plus la k0-ième ligne deA multipliée par le scalaireλ.
Propriété 1.17 (ajout d’une colonne). Soient m, n ∈ N deux entiers positifs et soit k, k0 deux entiers distincts compris entre1etnetλ∈Kun scalaire. SoitA∈ Mm,n(K)une matrice de taillem×nd’éléments deK. Alors la matrice A×Addn(k, k0, λ)est la matrice dont la l-ième colonne est la l-ième colonne deA pour l 6= k0, la k0-ième colonne est la k0-ième colonne de A plus la k-ième colonne de A multipliée par le scalaire λ.
Propriété 1.18. Soitn∈Nun entier, soit k, k0 deux entiers distincts entre 1 et n, et soit λ, µ∈K deux scalaires. AlorsAddn(k, k0, λ)×Addn(k, k0, µ) =Addn(k, k0, λ+µ).
1.3 Matrices inversibles
1.3.1 Inversibilité à gauche et à droite
Définition 1.13 (matrice inversible à gauche). Soient m, n∈N deux entiers positifs. Soit A∈ Mm,n(K) une matrice de taillem×nà valeur dansK. On dit queAest inversible à gauche si et seulement si il existe une matrice B∈ Mn,m(K)de taillen×mà valeur dansKtelle que B×A=In,n.
La matrice B est alors appelée un inverse à gauche de A.
Définition 1.14 (matrice inversible à droite). Soient m, n ∈N deux entiers positifs. Soit A ∈ Mm,n(K) une matrice de taille m×n à valeur dansK. On dit queAest inversible à droite si et seulement si il existe une matrice B∈ Mn,m(K)de taillen×mà valeur dansKtelle que A×B=Im,m.
La matrice B est alors appelée un inverse à droite de A.
Propriété 1.19. Soientm, n∈N deux entiers positifs. SoitA∈ Mm,n(K)une matrice de taille m×nà valeur dans K. La matriceAest inversible à gauche si et seulement si la matriceTAest inversible à droite.
De plus, soit B ∈ Mn,m(K) une matrice de taille n×m à valeur dans K. Alors la matrice B est un inverse à gauche deA si et seulement si la matrice TB est un inverse à droite de TA.
Définition 1.15(matrice inversible). Soientm, n∈Ndeux entiers positifs. SoitA∈ Mm,n(K)une matrice de taille m×n à valeur dans K. On dit que A est inversible si et seulement si il existe une matrice B ∈ Mm,n(K)telle queA×B=Im,m etB×A=In,n.
La matrice B est alors appelée un inverse deA.
1.3.2 Inversion à gauche
Définition 1.16. Soientm, n∈Ndeux entiers positifs. Une matriceA∈ Mm,n(K)de taille m×nest dite échelonnée, si et seulement si il existe une fonction pivot qui associe à chaque indice de ligne de A non nulle un indice de colonne, tel que :
1. Pour chaque ligne non nulle d’indice i, la première colonne non nulle a pour indicepivot(i).
2. Pour chaque ligne non nulle d’indice i,Ai,pivot(i)= 1.
3. Pour chaque lignei non nulle,Ai,pivot(i) est le seul élément non nul de la colonnepivot(i).
4. Pour chaque paire de lignes non nulles, d’indicei etj, on a :i < j =⇒ pivot(i)<pivot(j).
5. Les lignes nulles, si il y en a, sont à la fin de la matrice.
Algorithme 1.1 (pivot de Gaus). Soient m, n∈N deux entiers positifs. Soit A∈ Mm,n(K) une matrice de taille m×n. Alors, quitte à permuter les lignes de A, multiplier les lignes de A par une constante non nulle, et ajouter à une ligne une autre ligne multipliée par une constante, alors on peut écrireAsous forme échelonnée.
On suppose m≥1 etn≥1.
1. Posonsp←1.
2. Si A n’est pas échelonnée, on prend la première colonne j0 telle qu’il existe une ligne i0 telle que ai,j6= 0, avec i≥p.
3. On permute la lignepet la lignei0.
4. On utilise la ligneppour annuler le reste de la colonnej0. 5. On pose p←p+ 1.
Algorithme 1.2 (inversion à gauche). Soientm, n∈Ndeux entiers positifs. Soit A∈ Mm,n(K).
1. On utilise l’algorithme 1.1 permet de vérifier si Aa un inverse à gauche.
2. — soit la matrice n’est pas inversible ;
— soit la matrice est inversible :
(a) on a calculé une matrice B ∈ Mm,m(K) carrée de taille m et à valeur dans K qui vérifie : B×A=Im,n;
(b) on calculeB×Im,men faisant agir les mêmes transformations élémentaires qui ont transformé Aen Im,n surIm,m;
(c) l’ensemble des inverses à gauche de A est alors l’ensemble des matrices C×B×Im,m pour chaque matriceC= (c∆ i,j)1≤i≤n,1≤j≤m∈ Mn,m(K)de taillen×mà valeur dansKet telle que pour toutitel que1≤i≤net pour toutj tel que1≤i≤n, on ait ci,j=δji.
Théorème 1.1. Soient m, n∈N deux entiers positifs. Soit A ∈ Mm,n(K) une matrice à valeur dans K. Alors les assertions suivantes sont équivalentes :
1. Aest inversible à gauche ;
2. m≥netA peut s’écrire sous la formeB×Im,n oùB est le produit de0, une, ou plusieurs matrices de transformation élémentaire, toutes carrées et de taillem;
3. les lignes de Aforment une famille génératrice de Rn; 4. les colonnes deA forment une famille libre dansRm;
5. pour toute matrice X ∈ Mn,1(K)telle queA×X = (0)1≤i≤n,j=1, on aX = (0)1≤i≤m,j=1; 6. pour toute matrice Y ∈ Mn,1(K), il existe une matriceX ∈ Mm,1(K)telle que TA×X=Y.
1.3.3 Inverse à droite
Algorithme 1.3(inversion à droite). SoitA∈ Mm,n(K)une matrice de taille m×nà valeur dans K. On utilise l’algorithme 1.2 pour décider si la transposée deA est inversible à gauche, et calculer ses inverses à gauche.
1. si TA n’est pas inversible à gauche, alorsAn’est pas inversible à droite ;
2. les inverses à droites de A sont alors les transposées des inverses à gauche deTA.
Théorème 1.2. Soient m, n∈N deux entiers positifs. Soit A ∈ Mm,n(K) une matrice à valeur dans K. Alors les assertions suivantes sont équivalentes :
1. Aest inversible à droite ;
2. m≤netA peut s’écrire sous la formeIm,n×B oùB est le produit de0, une, ou plusieurs matrices de transformation élémentaire, toutes carrées et de taillen;
3. les colonnes deA forment une famille génératrice de Rm; 4. les lignes de Aforment une famille libre dans Rn;
5. pour toute matrice X ∈ Mm,1(K)telle que TA×X = (0)1≤i≤n,j=1, on a X= (0)1≤i≤m,j=1; 6. pour toute matrice Y ∈ Mm,1(K), il existe une matriceX ∈ Mn,1(K)telle que A×X =Y. 1.3.4 Inverses
Algorithme 1.4(pivot de Gauss sur une matrice carrée). Soitn∈Nun entier naturel. SoitA∈ Mn,n(K) une matrice carrée de taillen à valeur dansK.
On suppose quen≥1.
1. On pose p= 1,X0=A, etY0=In,n.
2. Sip=n+ 1,A est inversible, et son inverse est Yn. 3. On noteXp−1= (xi,j)1≤i≤n,1≤j≤n.
4. Si pour touti≥p,xi,p= 0 alors la matriceA n’est pas inversible.
5. On prends le plus petit indice i0 tel quei0≥pet tel quexi0,p6= 0.
6. On permute la lignepet la lignei0 à la fois dans la matriceXp−1 et dans la matriceYp−1.
7. On utilise la ligne ppour annuler le reste de la colonnej0 dans la matrice Xp−1, tout en effectuant les mêmes transformations dans la matrice Yp−1
8. On pose Xp et Yp les matrices obtenues.
9. p←p+ 1,
Théorème 1.3. Soient m, n∈N deux entiers positifs. Soit A ∈ Mm,n(K) une matrice à valeur dans K. Alors les assertions suivantes sont équivalentes :
1. Aest inversible ;
2. Apeut s’écrire sous la forme d’un produit de0, une, ou plusieurs matrices de transformation élémen- taire, toutes carrées et de taillen;
3. m≥net les colonnes de Aforment une famille génératrice de Rm; 4. m≤net les colonnes de Aforment une famille libre de Rm; 5. m≥net les lignes deA forment une famille libre dans Rn; 6. m≤net les lignes deA forment une famille génératrice de Rn.
7. m≥net pour toute matriceX ∈ Mm,1(K)telle queTA×X = (0)1≤i≤n,j=1, on aX = (0)1≤i≤m,j=1; 8. m≥net pour toute matriceY ∈ Mm,1(K), il existe une matriceX∈ Mn,1(K)telle queA×X =Y. 9. m≤net pour toute matriceX ∈ Mn,1(K)telle que A×X = (0)1≤i≤m,j=1, on aX = (0)1≤i≤n,j=1; 10. m≤net pour toute matriceY ∈ Mn,1(K), il existe une matriceX ∈ Mm,1(K)telle queTA×X =Y.
