: le n -ième lancer a donné Face, P

(1)

Énoncé

Dans ce problème

¹

, on considère une suite de lancers indépendants d'une même pièce, pouvant donner Face avec la probabilité p ∈]0, 1[ et Pile avec la probabilité q = 1 − p . Pour tout entier n ≥ 1 , on considère les événements

F

n

: le n -ième lancer a donné Face, P

n

: le n -ième lancer a donné Pile.

Dans la première partie, on s'intéresse au numéro du lancer où, pour la première fois, on a obtenu deux Faces consécutifs. Dans la partie II, on généralise avec r lancers consécutifs donnant Face.

Préliminaires

1. Soit n ∈ N

^∗

, L = (L

1

, · · · , L

n

) ∈ { Pile , Face }

ⁿ

et m ≥ n . L'expérience aléatoire consiste à réaliser m lancers. Quelle est la probabilité d'obtenir L lors des n premiers lancers ? Vérier que cette probabilité est indépendante de m (toujours ≥ n ).

2. Soit a , b , c réels. Montrer que





1 1 1

a b c

a

²

b

²

c

²





est inversible si et seulement si a, b, c sont deux à deux distincts.

I. Première obtention de deux Faces consécutifs.

Pour tout entier n ≥ 1 , on considère l'événement E

n

dont la probabilité est notée p

n

E

n

: une suite de deux Faces consécutifs est obtenue pour la première fois à l'issue du n -ième lancer.

1. Établissement d'une relation de récurrence.

a. Préciser les événements E

₁

, E

₂

, E

₃

et leurs probabilités p

₁

, p

₂

, p

₃

. b. Montrer que

∀n ∈ N

^∗

, E

n+3

= F

n+3

∩ F

n+2

∩ P

n+1

∩ E

n

∩ · · · ∩ E

2

∩ E

1

c. Montrer que

∀n ∈ N

^∗

, p

n+3

= p

²

q 1 −

n

X

k=1

p

k

!

1d'après E.P.I.T.A. 2016 Épreuve optionnelle

d. En déduire :

∀n ∈ N

^∗

, p

n+3

= p

n+2

− p

²

qp

n

Quelle valeur doit-on conventionnellement attribuer à p

₀

pour que la relation soit valable pour n = 0 ?

2. Suites et matrices.

On considère dans cette question le polynôme P = X

³

− X

²

+ p

²

q , l'ensemble U des suites (u

_n

)

_n∈

N

à valeurs réelles telles que

∀n ∈ N , u

n+3

= u

n+2

− p

²

q u

n

et la matrice

A =





0 1 0

0 0 1

−p

²

q 0 1



 .

a. Montrer que U est un R-espace vectoriel et préciser sa dimension. Préciser une base de U (nommée B ) dans laquelle la matrice du vecteur (u

n

)

_n∈

N

est



 u

0

u

1

u

2



 .

Montrer que (u

n

)

_n∈

N

7→ (u

n+1

)

_n∈

N

dénit un endomorphisme de U (nommé S ) dont la matrice dans B est A .

b. Former la division euclidienne de P par X − p . Montrer que P admet trois racines réelles p , r

1

, r

2

avec −1 < r

2

< 0 < r

1

< 1 .

c. Soit λ ∈ R. Sous quelle condition la matrice A − λI

₃

est-elle non inversible ? d. Montrer que U admet une base (nommée G ) formée de suites géométriques sauf

pour une valeur particulière de p à préciser. Quelle est la matrice de S dans cette base ? Quelle est la matrice de passage de B dans G ?

3. Expression des probabilités p

n

. Montrer que

∀n ∈ N , p

_n

= p

²

r

ⁿ⁻¹₁

− r

ⁿ⁻¹₂

r

1

− r

2

4. Temps d'attente moyen.

a. Calculer la limite de ( P

n

k=1

p

_k

)

_n∈

N^∗

. b. Calculer la limite de ( P

n

k=1

kp

k

)

_n∈N∗

en fonction de p seulement (ni r

1

ni r

2

ne

doivent gurer dans l'expression de la limite).

(2)

II. Première obtention de r Faces consécutifs.

Dans cette partie r ∈ N avec r ≥ 3 . Pour tout entier n ≥ 1 , on considère l'événement E

_n

dont la probabilité est notée p

n

E

_n

: une suite de r Faces consécutifs est obtenue pour la première fois à l'issue du n -ième lancer.

1. Montrer que

∀n ∈ N

^∗

, p

_n+r+1

= p

^r

q 1 −

n

X

k=1

p

_k

!

En déduire :

∀n ∈ N

^∗

, p

_n+r+1

= p

_n+r

− p

^r

qp

_n

Quelle valeur doit-on conventionnellement attribuer à p

0

pour que la relation soit valable pour n = 0 ?

2. Développements limités.

On considère le polynôme B = 1 − X + p

^r

q X

^r+1

et un intervalle ouvert I contenant 0 dans lequel B ne s'annule pas.

a. Justier l'existence de I .

b. Soit F =

^Q_B

avec Q ∈ R

r

[X ] . Montrer que F (restreinte à I ) admet des dévelop- pements limités en 0 à tous les ordres. On note u

₀

, u

₁

, · · · les coecients de ces développements :

∀n ∈ N , F (x) = u

0

+ u

1

x + · · · + u

n

x

ⁿ

+ o(x

ⁿ

) Montrer que

∀m ≥ r + 1, u

_m

= u

_m−1

− p

^r

q u

_m−r−1

c. Former le produit des deux développements limités

p

q + p

^r

x

^r

+ o(x

^r

)

1 − x + p

^r

qx

^r+1

3. Fonction génératrice.

Préciser le polynôme Q ∈ R

r

[X ] tel que, pour tout n > r , le développement limité en 0 à l'ordre n de G =

^Q_B

soit

G(x) = p

₀

+ p

₁

x + · · · + p

_n

x

ⁿ

+ o(x

ⁿ

).

Calculer G(1) et G

⁰

(1) .

Corrigé

Préliminaires

1. Les issues de l'expérience sont les suites de m Pile ou Face. la probabilité (élémentaire) d'une issue est

p

^{Nb de Face}

q

^{Nb de Pile}

L'événement L xe les n premiers Pile ou Face, les suivants sont quelconques. On en déduit

P (L) = p

^{Nb Face ds}^L

q

^{Nb Pile ds}^L

m−n

X

k=0

m − n k

p

^k

q

^m−n−k

| {z }

=1

= p

^NbFace^L

q

^NbPile^L

Cette probabilité est indépendante du nombre total m de lancers. On aurait aussi pu raisonner en utilisant l'indépendance des événements.

2. On transforme la matrice par les opérations élémentaires suivantes qui conservent le rang

L

3

← L

3

− aL

1

L

2

← L

2

− aL

1

L

3

← L

3

− bL

2

On obtient la matrice triangulaire supérieure





1 1 1

0 b − a c − a 0 0 (c − a)(c − b)





Elle est inversible si et seulement si ses termes diagonaux sont non nuls c'est à dire lorsque a , b , c sont deux à deux distincts.

I. Première obtention de deux Faces consécutifs.

1. Établissement d'une relation de récurrence.

a. On ne peut obtenir deux Face en un seul lancer : E

1

= ∅ , p

1

= 0 . L'événement E

2

et le singleton {(F, F )} donc p

2

= p

²

. L'événement E

3

est aussi un singleton.

Il ne peut se réaliser que d'une seule manière : E

3

= {(P, F, F )} donc p

3

= qp

²

. b. L'événement E

n+3

se réalise si et seulement si Face est obtenu aux lancers n + 2

et n + 3 et aucune séquence de 2 Face consécutifs n'a été obtenu auparavant c'est

(3)

à dire

E

_n+3

= F

_n+3

∩ F

_n+2

∩

n+1

[

k=1

E

_k

= F

n+3

∩ F

n+2

∩ E

n+1

∩ E

n

∩ · · · ∩ E

1

= F

n+3

∩ F

n+2

∩ P

n+1

∩ E

n

∩ · · · ∩ E

1

car

F

n+3

∩ F

n+2

∩ E

n+1

= F

n+3

∩ F

n+2

∩ P

n+1

.

Comme on a obtenu un Face au lancer n + 2 et que cela n'était pas la première séquence de Face, on avait forcément un Pile au lancer n + 1 .

c. La relation précédente, s'écrit encore

E

_n+3

= F

_n+3

∩ F

_n+2

∩ P

_n+1

∩

n

[

k=1

E

_k

. Comme les événements E

_k

sont deux à deux incompatibles,

P

n

[

k=1

E

_k

!

= 1 −

n

X

k=1

p

_k

⇒ p

_n+3

= p

²

q 1 −

n

X

k=1

p

_k

! .

d. Détachons le p

_n

de la somme dans la parenthèse : p

n+3

= p

²

q 1 −

n−1

X

k=1

p

k

− p

n

!

= p

n+2

− p

²

qp

n

.

On connait les valeurs de p

1

, p

2

et p

3

. Pour que la relation de récurrence soit vériée pour n = 0 , on doit avoir

p

₃

= p

₂

− p

²

qp

₀

⇒ −p

²

qp

₀

= qp

²

− p

²

= −p

³

⇒ p

₀

= p q . 2. Suites et matrices

a. Toute combinaison linéaire de suites vériant la relation de récurrence vérie encore cette relation. L'ensemble U est donc un sous-espace du R-espace formé par toutes les suites réelles. La dimension de U est 3 car l'application

ϕ :

( U → R

³

(u

n

)

_n∈N

7→(u

0

, u

1

, u

2

)

est un isomorphisme. En eet toute suite vériant la relation de récurrence d'ordre 3 est complètement déterminée par ses trois premiers termes. Dénissons des suites particulières β

₀

, β

₁

, β

₂

de U par leurs premiers termes :

β

0

: 1, 0, 0, · · · ; β

1

: 0, 1, 0, · · · ; β

2

: 0, 0, 1, · · · ; et B = (β

0

, β

1

, β

2

).

C'est une base de U car son image par ϕ est la base canonique de R

³

. Dans B , les coordonnées d'un vecteur (u

n

)

_n∈N

sont les trois premiers termes (u

0

, u

1

, u

2

) . L'application S de décalage d'indice est clairement linéaire. De plus, si (u

n

)

_n∈N

∈ U c'est à dire vérie la relation de récurrence, la suite décalée la vérie aussi.

Donc S est un endomorphisme.

Les coordonnées de S((u

_n

)

_n∈

N

) dans B sont (u

₁

, u

₂

, u

₃

) soit



 u

₁

u

₂

u

₃



 =



 u

₁

u

₂

−p

²

qu

₀

+ u

₂



 =





0 1 0

0 0 1

−p

²

q 0 1







 u

₀

u

₁

u

₂



 ⇒ Mat

B

S = A.

b. La division euclidienne de P par X − p conduit à

P = X

³

− X

²

+ p

²

q = (X − p)(X

²

− qX − pq)

Étudions dans [−1, +1] le polynôme du second degré f (x) = x

²

− qx − pq . En calculant la dérivée f

⁰

(x) = 2x − q , on montre qu'elle atteint son minimun en

^q₂

. De plus, comme

f (−1) = 1 + q

²

> 0, f (0) = −pq < 0, f ( q

2 ) = − q

²

4 − pq < 0, f (1) = p

²

> 0 la fonction f s'annule en un r

₂

∈] − 1, 0[ et en un r

₁

∈]

^q₂

, 1[⊂]0, 1[ .

c. Transformons A − λI

3

par opérations élémentaires :





−λ 1 0

0 −λ 1

−p

²

q 0 1 − λ









1 0 −λ

−λ 1 0

0 1 − λ −p

²

q









1 0 −λ

0 1 −λ

²

0 1 − λ −p

²

q









1 0 −λ

0 1 −λ

²

0 0 −p

²

q − (1 − λ)(−λ

²

)



 =





1 0 −λ

0 1 −λ

²

0 0 −p

²

q + λ

²

− λ

³





On en déduit que A − λI

₃

est non inversible si et seulement si P(λ) = 0 .

(4)

d. Les réels p , r

1

, r

2

sont les racines de P donc les suites géométriques de raison p , r

1

, r

2

sont dans U . La matrice dans B de la famille G formée par ces suites est





1 1 1

p r

₁

r

₂

p

²

r

²₁

r

²₂





Cette matrice (de VanderMonde) est inversible si r

1

, r

2

, p sont deux à deux distincts. Il s'agit alors de la matrice de passage de B vers G . On a montré que r

1

6= r

2

. En revanche, il est possible d'avoir r

1

= p si p est racine double de P c'est à dire si p =

²₃

. Lorsque G est une base, la matrice de S dans G est





p 0 0 0 r

1

0 0 0 r

2





3. Expression des probabilités p

_n

.

La suite proposée est une combinaison des suites géométriques de raison r

₁

et r

₂

. Elle est donc dans U . Il sut de montrer que les trois valeurs initiales coincident avec p

₀

, p

₁

, p

₂

.

Pour n = 0 :

p

²

1 r₁

−

_r¹

2

r

1

− r

2

= − p

²

r

1

r

2

= p

²

pq = p

q = p

0

car r

₁

et r

₂

sont les racines de x

²

− qx − pq donc r

₁

r

₂

= −pq . Pour n = 1 , le numérateur s'annule. La valeur est donc celle de p

₁

. Pour n = 2 , on simplie par r

₁

− r

₂

et on obtient p

²

= p

₂

.

4. Temps d'attente moyen.

a. Il s'agit de sommes géométriques convergentes

n

X

k=1

p

k

= p

²

r

1

− r

2

1 − r

ⁿ₁

1 − r

1

− 1 − r

₂ⁿ

1 − r

2

La suite converge vers p

²

r

1

− r

2

1 1 − r

1

− 1 1 − r

2

= p

²

r

1

− r

2

r

₁

− r

₂

(1 − r

1

)(1 − r

2

) = p

²

p

²

= 1 car f (x) = x

²

− qx − pq = (x − r

1

)(x − r

2

) donc

(1 − r

1

)(1 − r

2

) = f (1) = p

²

.

Ce résultat est cohérent avec l'interprétation probabiliste des p

_k

pour k ≥ 1 .

b. La limite demandée se calcule à l'aide de dérivées. Considérons g(x) =

n

X

k=0

x

^k

= 1 − x

ⁿ⁺¹

1 − x g

⁰

(x) =

n

X

k=1

kx

^k−1

= 1 − x

ⁿ⁺¹

(1 − x)

²

− (n + 1) x

ⁿ

1 − x

Pour |x| < 1 , les suites (x

^k

) et (kx

^k−1

) convergent vers 0 . On en déduit que

n

X

k=1

kx

^k−1

!

n∈N

→ 1

(1 − x)

²

Par linéarité, la limite demandée est

p

²

r

1

− r

2

1 (1 − r

1

)

²

− 1 (1 − r

2

)

²

= p

²

r

1

− r

2

r

²₂

− r

₁²

− 2(r

₂

− r

₁

) (1 − r

1

)

²

(1 − r

2

)

²

= p

²

(2 − r

1

− r

2

)

p

⁴

= 2 − q

p

²

= 1 + p p

²

II. Première obtention de r Faces consécutifs.

1. En raisonnant exactement comme dans la première partie, on obtient p

₁

= · · · = p

_r−1

= 0, p

_r

= p

^r

, p

_r+1

= qp

^r

L'événement E

n+r+1

est réalisé si Face est sorti aux r derniers lancers mais pas au pré- cédent et si aucune séquence ne s'est réalisée lors des n premiers tirages. Or l'événement une séquence de r Face s'est réalisée lors des n premiers lancers est l'événement

E

₁

∪ · · · ∪ E

_n

qui est une union d'événements incompatibles. On en déduit

∀n ∈ N

^∗

, p

n+r+1

= p

^r

q 1 −

n

X

k=1

p

k

!

En isolant le k = n de la somme et en utilisant la formule au rang n − 1 , on obtient

∀n ∈ N

^∗

, p

_n+r+1

= p

_n+r

− p

^r

qp

_n

La valeur choisie conventionnellement pour p

0

doit vérier

p

_r+1

= p

_r

− p

^r

qp

₀

⇔ p

^r

qp

₀

= p

^r

− qp

^r

= p

^r+1

⇔ p

₀

= p

q

(5)

2. a. Il existe un intervalle ouvert I contenant 0 et dans lequel B ne s'anulle pas car B est une fonction polynomiale donc continue telle que B (0) = 1 6= 0 .

b. La fraction F est C

^∞

dans I , elle admet donc des développements limités à tous les ordres.

Pour tout m > r + 1 , considérons un entier n ≥ m + r + 1 et Q = BF = 1 − X + p

^r

qX

^r+1

(u

0

+ u

1

x + · · · + u

n

x

ⁿ

+ o(x

ⁿ

))

En développant à droite, on obtient un développement limité à l'ordre n dont le coecient de x

^m

est

u

m

− u

m−1

+ p

^r

q u

m−r−1

Or ce coecient est nul car, à droite, le polynôme Q est de degré r . Cela prouve,

∀m ≥ r + 1, u

_m

= u

_m−1

− p

^r

q u

_m−r−1

c. En développant le produit, il ne faut surtout pas oublier de tronquer en o(x

^r

) . On obtient

p

q + p

^r

x

^r

+ o(x

^r

)

1 − x + p

^r

qx

^r+1

= p q − p

q x + p

^r

x

^r

+ o(x

^r

)

3. Comme G =

^Q_B

avec deg(Q) ≤ r , le polynôme Q est la partie polynomiale du dé- veloppement limité de BG à l'ordre r . On peut calculer car on connait le début du développement de G :